[精品]一 二元一次不定方程ppt

1、知識(shí)回顧 回顧一下我們學(xué)過(guò)的方程，一元一次回顧一下我們學(xué)過(guò)的方程，一元一次 方程，如：方程，如：x+2=5，滿足方程的解滿足方程的解x=3. 一元一次方程一元一次方程的特征是只含有一個(gè)的特征是只含有一個(gè) 未知數(shù)未知數(shù)x，含有未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)，含有未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù) 一樣多，一樣多，x有有整數(shù)解，而且整數(shù)解，而且僅有一個(gè)解僅有一個(gè)解. 導(dǎo)入新課 當(dāng)方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)當(dāng)方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù) 時(shí)怎樣解？如方程：時(shí)怎樣解？如方程：x+y=3，想一想這想一想這 樣的方程該怎樣解呢？它的解是否只樣的方程該怎樣解呢？它的解是否只 有一組有一組?類(lèi)似這樣的方程是否一定有解類(lèi)似這樣的

2、方程是否一定有解 呢？呢？ 雞翁一，值錢(qián)五，雞母一，雞翁一，值錢(qián)五，雞母一， 值錢(qián)三，雞雛三，值錢(qián)一，百錢(qián)值錢(qián)三，雞雛三，值錢(qián)一，百錢(qián) 買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何. 你能算出有多你能算出有多 少只雞嗎？少只雞嗎？ 上面的問(wèn)題即是著名的上面的問(wèn)題即是著名的“百錢(qián)買(mǎi)百百錢(qián)買(mǎi)百 雞雞”，百錢(qián)能買(mǎi)到百雞嗎？若能買(mǎi)到，百錢(qián)能買(mǎi)到百雞嗎？若能買(mǎi)到， 能買(mǎi)到雞翁、雞母和雞雛各多少只？能買(mǎi)到雞翁、雞母和雞雛各多少只？ 生活中類(lèi)似的問(wèn)題還有很多，要怎生活中類(lèi)似的問(wèn)題還有很多，要怎 樣順利的解決這些問(wèn)題，就需要學(xué)習(xí)新樣順利的解決這些問(wèn)題，就需要學(xué)習(xí)新 的知識(shí)的知識(shí)二元一次不定方程二元

3、一次不定方程. 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與能力知識(shí)與能力 1、掌握二元一次不定方才有整數(shù)掌握二元一次不定方才有整數(shù) 解的判別準(zhǔn)則解的判別準(zhǔn)則. 2、理解掌握二元一次不定方程有理解掌握二元一次不定方程有 整數(shù)解時(shí)整數(shù)通解的表示整數(shù)解時(shí)整數(shù)通解的表示. 3、學(xué)會(huì)求解簡(jiǎn)單的二元一次不定學(xué)會(huì)求解簡(jiǎn)單的二元一次不定 方程及方程及“百錢(qián)買(mǎi)百雞百錢(qián)買(mǎi)百雞”問(wèn)題問(wèn)題. 情感態(tài)度與價(jià)值觀情感態(tài)度與價(jià)值觀 了解我過(guò)古代數(shù)學(xué)家在不定方程的研究方了解我過(guò)古代數(shù)學(xué)家在不定方程的研究方 面取得的一些成就面取得的一些成就. . 過(guò)程與方法過(guò)程與方法 1、聯(lián)系生活對(duì)比一元一次方程，引出二聯(lián)系生活對(duì)比一元一次方程，引出二 元一次不定方程

4、元一次不定方程. . 2、通過(guò)實(shí)例介紹不定方程有解的條件，通過(guò)實(shí)例介紹不定方程有解的條件， 及其特解、通解及其特解、通解. . 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 1、理解二元一次不定方程有整數(shù)解的理解二元一次不定方程有整數(shù)解的 判別準(zhǔn)則及其探究過(guò)程判別準(zhǔn)則及其探究過(guò)程. . 2、二元一次不定方程有整數(shù)解時(shí)整數(shù)二元一次不定方程有整數(shù)解時(shí)整數(shù) 通解的表示方法并能求解簡(jiǎn)單一次不定方程通解的表示方法并能求解簡(jiǎn)單一次不定方程. . 難點(diǎn)難點(diǎn) 探究二元一次不定方程有整數(shù)解的判探究二元一次不定方程有整數(shù)解的判 定準(zhǔn)則和整數(shù)通解的表示定準(zhǔn)則和整數(shù)通解的表示. . 學(xué)過(guò)的一元一次方程，如學(xué)過(guò)的一元一次方程，如x+7=9.這

5、樣的這樣的 方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的個(gè)數(shù)與 方程的個(gè)數(shù)是相等的，方程的個(gè)數(shù)是相等的， 對(duì)于對(duì)于x+y=9這樣的方程來(lái)說(shuō)，即未知數(shù)這樣的方程來(lái)說(shuō)，即未知數(shù) 的個(gè)數(shù)多于方程的過(guò)個(gè)數(shù)的方程或方程組我的個(gè)數(shù)多于方程的過(guò)個(gè)數(shù)的方程或方程組我 們叫做們叫做不定方程不定方程. . 二元一次不定方程一般式：二元一次不定方程一般式：ax+by=c， 其中其中a，b，c為整數(shù)，且為整數(shù)，且a，b不等于零不等于零. . 不定方程不定方程 例一、例一、 解不定方程解不定方程4x+6y=1. 解：解：原式可以化為原式可以化為2（2x+3y）=1由于由于 左邊必是左邊必是2的

6、倍數(shù)，而右邊是的倍數(shù)，而右邊是1，所以所以不可不可 能有整數(shù)解能有整數(shù)解. 所以所以，不定方程，不定方程不一定不一定有整數(shù)解有整數(shù)解. 下面我們就來(lái)討論什么情況下不定方下面我們就來(lái)討論什么情況下不定方 程有整數(shù)解程有整數(shù)解. 分析（一）分析（一） 分析（一）分析（一） 設(shè)設(shè)不定方程不定方程ax+by=c有整數(shù)解有整數(shù)解x=x0，y=y0. 因?yàn)橐驗(yàn)椋╝，b）a，（，（a，b） b 所以所以（a，b） ax0+by0=c， 即即若不定方程有整數(shù)解，若不定方程有整數(shù)解，則則（a，b） c 這是不定方程有解時(shí)系數(shù)之間的關(guān)系，這是不定方程有解時(shí)系數(shù)之間的關(guān)系， 下面我們來(lái)看驗(yàn)證，當(dāng)系數(shù)滿足下面我們來(lái)看

7、驗(yàn)證，當(dāng)系數(shù)滿足 （a，b） c 時(shí)是否一定有整數(shù)時(shí)是否一定有整數(shù) 解解. 若若d=（a，b） c ，令令a=ad，b=bd，c=cd， 則則不定方程化簡(jiǎn)為不定方程化簡(jiǎn)為ax+bx=c ，（，（a，b）=1.由由 最大公約數(shù)的性質(zhì)，存在一對(duì)整數(shù)最大公約數(shù)的性質(zhì)，存在一對(duì)整數(shù)u，v，使得，使得 au+bv=1.于是于是a（uc）+b (vc) = c，從而從而有有a （uc）+b (vc ) = c.得得x= uc，y= vc 就是不定就是不定 方程的整數(shù)解方程的整數(shù)解. 如果不定方程如果不定方程ax+by=c有整數(shù)解，那么有整數(shù)解，那么 （a，b） c .反過(guò)來(lái)，當(dāng)反過(guò)來(lái)，當(dāng)（a，b） c 時(shí)

8、，時(shí)， 不定方程不定方程ax+by=c一定有整數(shù)解一定有整數(shù)解. 分析（二）分析（二） 對(duì)于一元一次方程對(duì)于一元一次方程x+7=9，我們?nèi)菀椎梦覀內(nèi)菀椎?到到x的整數(shù)解為的整數(shù)解為x=2，知道，知道一元一次方程一元一次方程的的 解是解是唯一唯一的的. 不定方程不定方程x+y=9的解卻可以是的解卻可以是x=1，y=8； x=-1，y=10等情況等情況.也就是說(shuō)不定方程也就是說(shuō)不定方程 的解是的解是不唯一不唯一的的. 分析（三）分析（三） 對(duì)于不定方程對(duì)于不定方程x+y=9，我們不可能將，我們不可能將 所有不定方程的解都寫(xiě)出來(lái)，但是卻可以所有不定方程的解都寫(xiě)出來(lái)，但是卻可以 將所有解表示表示一組式

9、子將所有解表示表示一組式子 x=1+t， y=8-t，t是任意整數(shù)是任意整數(shù). 分析（三）分析（三） 當(dāng)當(dāng)ax+by=c有整數(shù)解，且有整數(shù)解，且（a，b）=1時(shí)設(shè)時(shí)設(shè) x=x0，y=y0為不定方程的整數(shù)解，對(duì)于任意的整為不定方程的整數(shù)解，對(duì)于任意的整 數(shù)數(shù)t， x=x0+bt y=y0-at 注意：注意： x=x0，y=y0為方程的一個(gè)特解為方程的一個(gè)特解， 為不為不 定方程的通解定方程的通解.當(dāng)不定方程當(dāng)不定方程 ax+by=c的（的（a，b） 1可以化為可以化為ax+bx=c其中（其中（a，b）=1. 設(shè)設(shè)（a，b）=1則不定方程則不定方程ax+by=c的整的整 數(shù)通解為數(shù)通解為， x=x

10、0+bt y=y0-at 其中其中t為為任意的整數(shù)任意的整數(shù)x=x0，y=y0為不定方程為不定方程 ax+by=c的一個(gè)特解的一個(gè)特解 . 課堂小結(jié) 一、二元一次不定方程一般式：一、二元一次不定方程一般式：ax+by=c . 其其 中中 a，b，c為整數(shù)，且為整數(shù)，且a，b不等于零不等于零. 二、二、 ax+by=c有整數(shù)解的條件：有整數(shù)解的條件：（a，b） c 三、三、 ax+by=c有整數(shù)解的時(shí)通解：有整數(shù)解的時(shí)通解： x=x0+bt y=y0-at 其中其中t是任意整數(shù)是任意整數(shù)，x=x0，y=y0是一個(gè)特解是一個(gè)特解. 高考鏈接 1、某電臺(tái)在黃金時(shí)段的、某電臺(tái)在黃金時(shí)段的2 2分鐘廣告

11、時(shí)間內(nèi)，分鐘廣告時(shí)間內(nèi)， 計(jì)劃插播長(zhǎng)度為計(jì)劃插播長(zhǎng)度為1515秒和秒和3030秒的兩種廣告秒的兩種廣告.1515秒秒 廣告每播廣告每播1 1次收費(fèi)次收費(fèi)0.60.6萬(wàn)元，萬(wàn)元，3030秒廣告每播秒廣告每播1 1次次 收費(fèi)收費(fèi)1 1萬(wàn)元，若要求每種廣告播放不少于萬(wàn)元，若要求每種廣告播放不少于2 2次，次， 問(wèn)：?jiǎn)枺?兩種廣告的播放次數(shù)有幾種安排方式？?jī)煞N廣告的播放次數(shù)有幾種安排方式？ 電視臺(tái)選擇哪種方式播放收益最大？電視臺(tái)選擇哪種方式播放收益最大？ 答：電視臺(tái)選擇答：電視臺(tái)選擇15 秒秒4 次次，30 秒秒2 次收益最大次收益最大. . 解：設(shè)解：設(shè)15秒廣告播放秒廣告播放x次，次，30 秒廣告

12、播放秒廣告播放y次次 得得15x+30y=120，所以所以x=8-2y 因?yàn)橐驗(yàn)?x、y 為不小于為不小于2 的正整數(shù)，的正整數(shù)， 所以所以 x=4，y=2或或 x=2，y=3所以兩種方式，所以兩種方式， 即即15秒廣告播放秒廣告播放4 次次，30 秒廣告播放秒廣告播放2 次；次； 或或 15 秒播放秒播放2 次次，30 秒播放秒播放3 次次 若若x=4,y=2， 則則 0.64+12=4.4（萬(wàn)元）（萬(wàn)元） 若若x=2,y=3， 則則 0.64+13=4.2（萬(wàn)元）（萬(wàn)元） 解：設(shè)解：設(shè)買(mǎi)甲物買(mǎi)甲物x斤，乙物斤，乙物y斤，丙物斤，丙物z斤，斤， 則則 5x 3y z = 100，x y z

13、= 100. 消去消去z，得到得到7x 4y = 100. (1) 顯然顯然x = 0，y = 25是方程是方程(1)的解，的解， 因此因此，方程，方程(1)的一般解是的一般解是 ， t z ty tx 725 4 2、甲物每斤、甲物每斤5元，乙物每斤元，乙物每斤3元，丙物元，丙物 每三斤每三斤1元，現(xiàn)在用元，現(xiàn)在用100元買(mǎi)這三樣?xùn)|西共元買(mǎi)這三樣?xùn)|西共 100斤，問(wèn)各買(mǎi)幾斤斤，問(wèn)各買(mǎi)幾斤? 因?yàn)橐驗(yàn)?x 0，y 0，所以所以0 t 3. 即即 t可以取值可以取值t1 = 0，t2 = 1，t3 = 2，t4 = 3. 相應(yīng)的相應(yīng)的x，y，z的值是的值是 (x, y, z) = (0, 25,

14、 75)，(4, 18, 78)，(8, 11, 81) ， (12, 4, 84). 3 3、求不定方程求不定方程15x+19y=1 的整數(shù)解的整數(shù)解 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)椋?5，19）=1， 所以所以原不定方程有整數(shù)解比較原不定方程有整數(shù)解比較x，y的系數(shù)，的系數(shù)， 用系數(shù)用系數(shù)1515除不定方程得除不定方程得 因?yàn)橐驗(yàn)閤，yz，所以所以 z，令令 則則 15s=1+11y，所以所以 因?yàn)橐驗(yàn)閥，s z， 所以所以 z，得到得到 所以所以 x=-5 x=-5+19t y=4是方程的一個(gè)特解是方程的一個(gè)特解. 得解得解 y=4-15t t z 1 191 11 2 1515 yy xy 1 11

15、 15 y 1 11 15 y s 15141 1111 ss ys 41 11 s 34,5syx 課堂練習(xí) 1、二元一次方程二元一次方程3x+2y=11 ( ). ( ). a a、 任何一對(duì)有理數(shù)都是它的解任何一對(duì)有理數(shù)都是它的解 b b、只有一個(gè)解、只有一個(gè)解 c c、只有兩個(gè)解、只有兩個(gè)解 d d、無(wú)窮多個(gè)解、無(wú)窮多個(gè)解 d d 2、x x、y y的方程的方程ax2+bx+2y=3是一個(gè)二元一次是一個(gè)二元一次 方程，則方程，則a、b的值為（的值為（ ）. . a a 、a=0a=0且且b=0 bb=0 b、 a=0a=0或或b=0 b=0 c c、 a=0a=0且且b0 db0 d、

16、a0a0且且b0b0 c c 3、已知方程已知方程5x+3y=7 5x-7=2 2xy=1 x2-y=1 5(x-y)+2(2x-3y)=4其中二元一次其中二元一次 方程的個(gè)數(shù)是方程的個(gè)數(shù)是 （ ）. .3 4、下列方程組：（下列方程組：（x、y 為未知數(shù)）為未知數(shù)） x+y=5 x+y=9 x=10 x=a 2xy=7 y+z=0 y=4 x-y=b 其中二元一次方程組的個(gè)數(shù)是其中二元一次方程組的個(gè)數(shù)是 （ ） 3 解解 ： (3, 6) = 3 15，所以方程有解，所以方程有解. 由直接觀察，可知由直接觀察，可知x = 1，y = 1是是 3x 6y = 3的解，的解， 所以所以 x0 =

17、 5，y0 = 5是原方程的一個(gè)解是原方程的一個(gè)解. 所以所以 所求方程的解是所求方程的解是 ty tx 5 25 5、求不定方程求不定方程3x 6y = 15的解的解. 6、求不定方程求不定方程13x 17y = 5 的解的解. 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)椋?3，17）=1， 所以所以原不定方程有整數(shù)解比較原不定方程有整數(shù)解比較x，y的系數(shù)，的系數(shù)， 用系數(shù)用系數(shù)13除不定方程得除不定方程得 因?yàn)橐驗(yàn)閤，yz，所以所以 z，令令 則則 13s=5+9y，所以所以 因?yàn)橐驗(yàn)閥，s z， 所以所以 z，得到得到 所以所以 x=3 x=3+17t y=-2是方程的一個(gè)特解是方程的一個(gè)特解. 得解得解 y=-

18、2-13t t z 5 1759 2 1313 yy xy 59 13 y 59 13 y s 13545 99 ss ys 45 9 s 12,3syx 7 7、求不定方程求不定方程126x-102y=18的整數(shù)解的整數(shù)解. . 因?yàn)橐驗(yàn)椋?26，102）=6，且且618 所以所以原不定方程有整數(shù)解原不定方程有整數(shù)解. 原不定方程可化為原不定方程可化為 21x-17y=3 . 觀察得觀察得x=5，y=6時(shí)成立，時(shí)成立， 所以所以原方程的解為原方程的解為 x=5+17t y=6+21t 教材習(xí)題答案 習(xí)題（第習(xí)題（第3636頁(yè)）頁(yè)） 1、解、解 （1）因?yàn)椋ǎ┮驗(yàn)椋?，4）=1，而，而111，

19、所以不定方所以不定方 程有整數(shù)解，觀察到不定方程程有整數(shù)解，觀察到不定方程5x+4y=1有一個(gè)特有一個(gè)特 解，解，x=1，y=-1.那么那么x=11，y=-11就是原不定方就是原不定方 程的一個(gè)特解程的一個(gè)特解.于是，原不定方程的整數(shù)通解為于是，原不定方程的整數(shù)通解為 x=11+4t ， y=-1-5t，其中其中t為任意整數(shù)為任意整數(shù). 1、解、解 （2）因?yàn)椋┮驗(yàn)椋?5，-13）=1，而而17，所以不定所以不定 方程有整數(shù)解，觀察到不定方程方程有整數(shù)解，觀察到不定方程25x-13y=1有一有一 個(gè)特解個(gè)特解，x=-1，y=-2.那么那么x=-7，y=-14就是原不就是原不 定方程的一個(gè)特解定

20、方程的一個(gè)特解.于是，原不定方程的整數(shù)通于是，原不定方程的整數(shù)通 解為解為 x=-7-13t ， y=-14-25t，其中其中t為任意整數(shù)為任意整數(shù). 2、解、解 設(shè)大馬、中馬和小馬的個(gè)數(shù)分別為設(shè)大馬、中馬和小馬的個(gè)數(shù)分別為x，y，z 由題意由題意得得 將不定方程中第一個(gè)方將不定方程中第一個(gè)方 程的程的2倍減去第二個(gè)不定方程，倍減去第二個(gè)不定方程，得得5x+3y=100.觀察觀察 發(fā)現(xiàn)，不定方程發(fā)現(xiàn)，不定方程5x+3y=1有一個(gè)有一個(gè)特解特解x=-1，y=2，那那 么么x=-100，y=200是不定方程是不定方程5x+3y=100的一個(gè)特解的一個(gè)特解. 于是，不定方程于是，不定方程5x+3y=

21、100的整數(shù)的整數(shù)通解通解為為 x=-100+3t ， y=200-5t，其中其中t為任意整數(shù)為任意整數(shù). 注意注意0 x 100， 0 y 100，則有則有 1 3x2yz100 2 xyz100 1212 33t66,20t4033t66,20t40 3333 從而從而t=34，35，36，37，38，39，40，再將再將x，y的值的值 代入方程代入方程x+y+z=100，可求得不定方程組有七組非負(fù)可求得不定方程組有七組非負(fù) 整數(shù)解：整數(shù)解： x=2, x=5, x=8, x=11, x=14, y=30, y=25, y=20, y=15, y=10, z=68; z=70; z=72;

22、 z=74; z=76; x=17, x=20, y=5, y=0, z=78; z=80. h5d2a-x*u$qznwkshpdmaj7f4c1z)w&s!pymujrgocl9h6e3b+y(v%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-w*t$qynvksgpdlai7f3c0z)v&s#pxmuirfock9h5e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-w*t!qynvjsgpdlai6f3c0y)v&s#pxluirfnck9h5e2a+x(

23、u$rzowkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodlai6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e2a+x*u$rznwkthpemaj7g4c1z- w&t!pymvjrgodl9i6e3b0y(v%s#oxltiqfnbk8h5d2a+x*u$qznwkshpemaj7f4c1z)w&t!pymujrgocl9i6e3b+y(v%r#oxltiqenbk8g5d2a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuir

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