2015-2016-1-概率統(tǒng)計-北科大

1、北京科技大學2015 2016學年度第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題答案及評分標準一. 填空題（每小題3分，共15分）1. 設(shè)事件A和B中至少發(fā)生一個的概率為5 , A和B中有且僅有一個發(fā)生的概率為62，那么A和B同時發(fā)生的概率為 。32. 從1,2,3,4中任取一個數(shù)記為X ,再從1,L ,X中任取一個數(shù)記為丫，則P Y 2。3. 設(shè)nA是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，貝卩對于任意的0, lim P 匕 p 。nn4.設(shè)X服從區(qū)間0,（0）上的均勻分布,X1, X2丄，Xn是來自該總體的樣本，則1.設(shè)P A 0.6,P B 0.8,P BA0.8，則下列結(jié)論中

2、正確的是 的矩估計量$ 5.設(shè)X1,X2,L ,Xn,n 1,是來自正態(tài)總體Nn 12的樣本，3 Xi為總體參數(shù)的無偏估計量，則k 填空題答案：吟2. 13 3- 04-2X 5.二. 選擇題（每小題3分，共15分）(A)事件A,B互不相容(B)事件A,B互逆(C)事件代B互相獨立(D) A B2. 設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則下列命題正確的是(A) X,Y不相關(guān)X,Y不相互獨立(B) X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)(C) X,Y不相關(guān)X,Y相互獨立(D)X,Y相關(guān) X,Y相互獨立3.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,其分布函數(shù)分別為Fx x和Fy y ,則Z max X,Y的分布函數(shù)是(A) Fz z

3、max Fx z .Fy z(C)Fz zmaxFx zFy z(B)FzzFxz Fyz(D)FzzFxz4.設(shè)總體X : N與2均未知，Xi,X2,X3是一個樣本，則非統(tǒng)計量的(A) 3 XlX2 X3(B) max X1. X2. X3(C) min X1.X2.X31(D)二 Xi X2X35.設(shè)對正態(tài)總體的數(shù)學期望進行假設(shè)檢驗，如果在顯著性水平0.05之下接受零假設(shè)H。：o，那么在顯著性水平0.01下，下列結(jié)論成立的是 。(A)必須接受Ho( B)可能接受也可能拒絕Ho(C)必須拒絕Ho( D)不接受也不拒絕Ho選擇題答案：1.C2.B3.B4.D5.A三. (本題12分)在次品率為

4、1的一批產(chǎn)品中，任意抽取300件產(chǎn)品，其中次品的數(shù)6量記作X。(1) 寫出X的分布律，數(shù)學期望EX及方差DX ；(2) k取何值時，概率P X k最大？(3) 利用切比雪夫不等式估計次品數(shù)在 40到60之間的概率；(4) 利用中心極限定理計算次品數(shù)在40到60之間的概率。已知1.55 0.939,伽?！窘狻?1 ) P X k 300厶礦,0 k 300. ( 2分)X服從二項分布B 300,1,k 63006EX 50, DX 125。(2 分)。3（4）由中心極限定理，p 40 X 60卩霍 醫(yī) 醫(yī)（1分）X 50/c /j、P 1.55 1.5521.551 0.878 （2 分）。12

5、573四. （本題12分）在某次實驗中需要測量某物體的質(zhì)量。一組測量結(jié)果如下（單位:g）均值和方差分別記作和2。問題：（1）求均值的置信區(qū)間，置信度為0.95； （2）是否可以認為物體的質(zhì)量是8.2g ？顯著性水平 0.05 ； （ 3）是否可以認為物體的質(zhì)量8.2 ?顯著性水平0.05。已知數(shù)據(jù) :Z0.05 1.65 ； t.05 8 1.860 ； t.05 91.833 ； t.5 101.813 ；Z0.025 1.96 ； to.025 8 2.306 ； to.025 92.262 ； to.25 102.228 ； J0.0

6、45 0.212。解：構(gòu)造t統(tǒng)計量t X ，則tt 8 （ 2分）。簡單計算得到X 8.6， S2 0.045。（ 2分）S3（1） 置信度為0.95，則to.025 82.306，置信區(qū)間為X先咖88.437,8.763。（2分）3（2） 作雙邊檢驗 H。：8.2H：8.2，（ 1 分）拒絕域為 t |-X| t0.025 82.306，（ 1 分）本題t 5.66 2.306，因此不接受零假設(shè)H。，不能認為物體的質(zhì)量是 8.2 （ 1分）。（3）作單邊檢驗H0：8.2H：8.2，（ 1 分）拒絕域為 tt0.05 8 1.860，（ 1 分）本S3題t 5.66 1.860，因此拒絕原假設(shè)

7、H0，認為物體的質(zhì)量8.2。 （ 1 分）五. （本題12分）設(shè)總體X分布在閉區(qū)間0,（未知）之上，總體的概率密度函數(shù) 正比于隨機變量的值。（1）求總體的概率密度函數(shù);（2）求未知參數(shù) 的矩估計量;（3）求未知參數(shù)的極大似然估計量【解答】（1） 由題設(shè)fX x kx,0 x（2分），因此1 kxdx - n n（3） 似然函數(shù)為L 2n x， max x （ 2分）。可見當 max x時，L取得最大1 i n1 i ni 1值，因此極大似然估計量$ max Xj （2分）。六. （本題12分）設(shè)隨機向量X,Y分布在正方形0,1 0,1上，其概率密度函數(shù)為f x,y Ax 3x 2y , 0 x

8、,y 1。（1）求A及概率P X Y 1 ;（2）求X,Y的邊緣分布密度函數(shù);（3）求條件密度函數(shù)fXY xy ;（4）X與丫是否獨立？為什么? （ 1分），因此k $，概o22率密度函數(shù)為fx x -22x,0 x （ 1分）。（2）EX x $xdx -（ 2 分），令 x EX（ 1 分），解得 $ -X （ 1 分）。32解答：（1） 1 Ax 3x 2y dxdy -A （2 分），因此 A -0 x,y 123 4（2）fY y12x0 3（3）（4）2x 3x30 x,y 1 vx y 112x3x033x 2y dxxy x yf X, yfY y不獨立,122y dxdy x

9、dx032y dy 2x 3x3I y 1 ,o y-x 3x 2y3因為 fx,Y x,yfx x1 3x 2y dy - x21 x3 01 ,0 x 1。（2 分）1。（ 2 分）x 3x 2y-0 x 1,0fY y （ 1 分）。七.（本題14分）設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)是問:（1）代B各是多少?dx7（ 2 分）（3 分）0A Bx在 x 2 和 x 2 時，f x F x 0 (1 分)。(3)y 0 時，F(xiàn)y yIZ0 ,因此fY y 0。當y 2時,Fy y 1，因此 fYy 0 o (1 分)。2 時，F(xiàn) y P Y(3分),于是，1y Fy 2(1 分)綜上，隨機變量

10、X服從0,2上的均勻分布1分)。由于 X U2,2 ,EZ1sin x dx42分)，DZEZ22EZEZ22 sin22 zdz4八.(本題8分)將4個紅球，8個藍球，5個綠球隨機地排成一行。(1) 前五個球為藍色的概率有多大？(2) 前5個球中沒有藍色球的概率有多大？(3) 最后三個球為三種不同顏色的概率有多大?(4) 所有紅球連在一起的概率有多大？【解】(1) p2(2)9442845C12C9C5485C17C13C5(3) p6C14C17c；4cm417(4)185C14C13C5C1；C13Cf1170北京科技大學2015 2016學年度第一學期概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題答案及評分標準

11、填空題（本題每小題3分，共15分）1. 甲乙射擊一個目標，甲命中的概率是0.6，乙命中的概率是0.7，兩人同時各射擊 一次，目標被命中的概率是 2.若 服從0,5上的均勻分布，那么方程4x2 4 x 2 0有實根的概率是3. 若二維隨機變量X,Y在以原點為圓心的單位圓內(nèi)的概率密度為丄，其它區(qū)域都是0，那么p X4.設(shè)n是n次獨立試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),p為A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，則對任意的0，有(A)Fz z Fx z Fy zlim Pn5.若$1,$2都是參數(shù)的無偏估計量，且D$1D$2，這時我們通常稱統(tǒng)計量$1比$2答案：1.0.88 2.0.63.IF 4.05.有效選擇題（本題每小

12、題3分，共15分）1.設(shè)事件A,B，則P A B(A) P A P B(B) P AAB2. 已知X,Y是相互獨立的隨機變量，同分布于標準正態(tài)分布。有人作出如下四個論斷:(1) X 丫服從正態(tài)分布，但是X 丫不服從正態(tài)分布;(2) x 丫服從標準正態(tài)分布；(3) x 丫與x 丫是不相關(guān)的；(4) x 丫與x 丫是相互獨立的。在這四個斷言中，正確斷言的個數(shù)是 (A) 1(B) 2(C) 3( D) 43.設(shè)X!,X2,l ,Xn相互獨立，且同分布于標準正態(tài)分布,F列隨機變量中服從2分布的(A) X! X2 L Xn(C) X；x；|_X；(B)X! X2 L Xr(D) X； X； L x24.

13、 設(shè)X!，X2，L ,Xn是來自某總體的一個樣本，下面統(tǒng)計量中可以作為總體均值的無偏估計量的是。(A) X! X2 L Xn( B) X1 X2 L Xnn(C) X! X2 L Xn( D) X! X2 L Xnn !n5. 設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為Fx x ,Fy y，則Z max X,Y的分布函數(shù)是。(B)Fz zmaxFx z,Fy z(C)Fz zmaxFx z ,Fy z(D)Fz z1 max Fx z , Fy z答案:1.B2.B3.D4.B5.A三、（本題10分）若X N 1,32，丫 N 2,42，且X,Y相互獨立，問：（1） X,Y的相關(guān)系數(shù)是

14、多少？ （ 2） aX bY服從什么分布？其均值、方差分別是多少？這里 a,b是常數(shù)，a2 b2 0。（ 3） a,b滿足什么條件時，隨機變量aX bY與X 丫是獨立的？或者說明不可能相互獨立？【解答】（1）由于X,Y相互獨立，因此相關(guān)系數(shù)是0（2分）。（2）aX bY應(yīng)服從正態(tài)分布（1分），其數(shù)學期望是E aX bY aEX bEY a 2b（ 1 分），方差是 D aX bY D aX D bY 9a2 16b2 （ 2 分）。（3）由于aX bY與X Y都服從正態(tài)分布，因此只需要相關(guān)系數(shù)為零就是相互獨立的，這只需要它們的協(xié)方差等于零即可 （2分）。由于a16cov aX bY,X Y a

15、DX bDY 9a 16b。（ 1 分）因此，當時，aX bY 與 X Y 相b 9互獨立。（1分） 四.（本題12分）若一正方形的邊長是隨機變量X，服從區(qū)間0,1上的均勻分布。（1）求面積S的分布密度;（2）計算概率P S【解答】（1）由于正方形面積為S X2 ,sdx0Vs （3分），分布密度函數(shù)f1s s Fss 爲（1 分）;當0 s 1時，分布函數(shù)FS s P S s P X2 s P X . s當s 0時，分布函數(shù)FS s P S s 0，分布密度函數(shù)fS sFs s 0 ; （ 1 分）當s 1時，分布函數(shù)FS sP S s 1，分布密度函數(shù)fs sFs s 0 o （ 1 分）

16、因此，S的概率密度函數(shù)為1=, 0 s 12 . s0,0,s 1。（1 分） PS 1818r 1；1P _ S _8 22 1。（2+3 分）12五.（本題12分）設(shè)隨機變量X,Y相互獨立,且它們的概率密度函數(shù)分別為fx x0x20, x 0, x 2fy y0,試求：（1） X,Y的聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù);（2） X Y大于1的概率；（3） X Y的數(shù)學期望與方差【解答】（1）概率密度函數(shù)為f x,y1 e y,0 x22,y0（ 1 分），聯(lián)合分布函數(shù)F x,yx yf s,t dsdtxyitds 今 e tdt 0022y1tds 4 e dt002eyxds02ds0ix 1

17、 ey1 e y,0 x 2,y0（ 2+2x 2, y 0分）(2) P X Y 11P X Y1 1f x, y dxdy (1 分)11 ,1 11 dx00x 12eydyo211 dx 12。（ 1+1 分）(3)EX2 xXdx0 2EYye ydy1 ( 1 分),DXEX2EX2dx22x0DYEY22EYy2e ydy1 1 （ 1 分）。EX EY 2 （ 1 分）；由于 X,Y 相互獨立， D X Y DX DY - （ 1 分）。3六.（本題12分） 罐子中有兩只白球，一只黑球，從中隨機摸出一只，觀察顏色后放回罐中，并同時 再放入一只同一顏色的球。問：（1）第二次摸出白

18、球的概率是多少？ （ 2）連續(xù)摸出 三個白球的概率是多少？ （ 3）若第二次摸出白球，判斷第一次更有可能摸出哪種顏 色的球？（ 4）若首次摸出白球時的摸球次數(shù)記做 X，求X的分布律以及數(shù)學期望。【解答】用Wi，Bi分別表示第i次摸出白球和黑球。(1)由全概率公式 P W2PWPW4Wpb1pw2b12 3122 。3 43 431分)(2)由乘法公式P WWWP W P W2 W P W3 WW292。( 1+1 分)5(3)由貝葉斯公式PW,W2P W1P W P W2|W1P W2 32 33 413p b p w2|bPB1W2PB1PW2B1PW1PW2W11，( 2+1 分)4因此，

19、第一次更有可能摸出的是白球。（4）分布律為 P X k P BiL BkiWk1 （ 2 分）EX4m 代 2。（1+2 分）七.（本題12分）丄e 一,x 0f X0,x 0設(shè)總體X的概率密度為0。今從總體中抽取10個個件，得到數(shù)據(jù)如下:1050, 1100, 1080, 1200, 1300,1250, 1340, 1060, 1150, 1150。（1）試分別用矩估計法和極大似然估計法估計參數(shù)的值；（2）上述你使用的估計量是否為無偏估計量？為什么?【解答】（1）矩估計法，首先計算總體X的一階矩得到EXXdx （ 1 分）,令樣本均值等于一階矩，得到X!X2Lx1010（1分），因此的矩估計量為? X1 X2 L X10。（ 1 分） 10 極大似然估計法，似然函數(shù)為Xi；10彳 X1 -ei 1110Xi10 e i1 （1分），對數(shù)似然函數(shù)為0 （ 1分），解得10仁X（ 1分），因此的極大似然估計量為？X1常X10。（1 分）又樣本均值為1168,故此的矩估計值和極大似然估計值都是 1168. （1分）由于E?X10-110 EX1 * L EX10, （2分