第二章代數(shù)式

1、第二章代數(shù)式基礎(chǔ)知識點:一、代數(shù)式1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫代數(shù)式。單 獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式 的值。3、代數(shù)式的分類代數(shù)式有理式整式多項式分式無理式二、整式的有關(guān)概念及運算1、概念（1）單項式：像X、7、2x2y，這種數(shù)與字母的積的式子叫做單項式。單獨 一個數(shù)或字母也是單項式。單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)。 如5a3b2c是6次單項式。單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。注意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分 數(shù)表

2、示，如 41a2b，這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成 3 a2b。33（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾 項，就叫幾項式。多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。 不含字母的項叫常數(shù)項。單項式和多項式統(tǒng)稱整式。升（降）幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。?的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升（降）幕排列。注意：（ 1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值 代入。（2）求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，需要利用技巧，“整 體”代入。（3）同類項：所含字母相同，并

3、且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同 類項。幾個常數(shù)項也是同類項。2、整式運算（1）整式的加減合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指 數(shù)不變。去括號法則： （1） 括號前面是“ +”號，把括號和它前面的“ +”號去掉，括 號里各項都不變；（2）括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉， 括號里的各項都變號。添括號法則：括號前面是“ +”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是 “-”號，括到括號里的各項都變號。整式的加減法：（ 1）去括號；（ 2）合并同類項。（2）整式的乘除有關(guān)冪的運算法則，其中 m、n 都是正整數(shù)同底數(shù)冪相乘： am an am n ；同底數(shù)

4、冪相除： am an am n ；冪的乘方： （am）n amn積的乘方： （ab） n anbn。單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用 它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項式里含有的字母，則 連同它的指數(shù)直接作為積的一個因式。單項式乘以多項式：就是利用乘法分配律用單項式去乘多項式的每一項， 再把所得的積相加。多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項， 再把所得的積相加。單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被 除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)不變直接作為商的一個因式。多項式除以單項式：把這個多項式的每一

5、項除以這個單項式，再把所得的 商相加。(3) 乘法公式平方差公式：(a b)(a b) a2 b2 ；完全平方公式：(ab)2a22abb2，2 2 2(ab)a2abb注意：(1單項式乘單項式的結(jié)果仍然是單項式。(2) 單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的 項數(shù)相同。(3) 計算時要注意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時 還要注意單項式的符號。(4) 多項式與多項式相乘的展開式中，有同類項的要合并同類項。(5) 公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式。(6) a0 1(a 0);a p 丄(a 0, p為正整數(shù))ap 多項式除以單項式，先把這個

6、多項式的每一項除以這個單項式，再把 所得的商相加，單項式除以多項式是不能這么計算的。三、因式分解1、因式分解：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法(1) 提取公因式法：ma mb me m(a b c)(2) 運用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)；完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3) 十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)(4) 分組分解法：將多項式的項適當(dāng)分組后能提公因式或運用公式分解。即 ae ad be bd a(e d) b(e d) (a b)(e d)*( 5)運用求根公式法：若ax2 bx

7、e 0(a 0)的兩個根是 x1 x2，則 ax2 bx e a(x xj(x x2)3、因式分解的一般步驟：(1) 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；(2) 在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項 數(shù)：2項式可以嘗試運用平方差公式法分解因式； 3項式可以嘗試運用完全平方 公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分 解因式(3) 分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止。四、分式1、分式定義：形如-的式子叫分式，其中 A、B是整式，且B中含有字母 B(1) 分式無意義：B=0時，分式無意義；B豐0時，分式有意義。(2) 分式的值為0：

8、 A=0, BM0時，分式的值等于0。(3) 分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。 方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。(4) 最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分 式運算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分式。(5) 通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的 過程，叫做分式的通分。(6) 最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次幕的積。(7) 有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。2、分式的性質(zhì)：(1)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一個不等于 零的整式，分式的值不變。用符號表示為：0的整式)；m是B M0

9、的整式)(2)分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任 何兩個，分式的值不變。3 、分式的運算:(1)加、減同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減，即b -一bc c c異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減,即 a c ad bc b d bd 。(2)乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母 乘以分母。(3)除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。即口 a cac ； a cab dbd b dbd ad ;Jc bc(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方，即n(旦)n冷(n為整數(shù));bbn五、二次根式1、二次根式的概念：式子

10、、a(a 有二次根號“0)叫做二次根式，二次根式必須滿足：含 ”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不 含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式?；胃綖樽詈喍胃降姆椒ê筒襟E:(1)如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)(包括小數(shù))或分式，先利用商的算數(shù)平方根的 性質(zhì)把它寫成分式的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。(2)如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開 得盡方的因數(shù)或因式開出來。(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式, 叫做同類二次根式。(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。(4)有

11、理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含 有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有：a 與 a ; a - b cd 與 a、b c - d )2 、二次根式的性質(zhì)(1) Ca)2a(a 0)；(2) a2a (a 0)a (a 0)；(4) a 、a(a 0,b 0)(注意：這里b0,不能含等號) b 7b3、二次根式的運算(1) 二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根 式。(2) 二次根式的乘法：.a , b . ab (a0, b0)。(3) 二次根式的除法：* a(a 0,b 0)(注意：這里b0,不能含等號)Jb H

12、注意：二次根式運算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。(4) 二次根式混合運算二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最后加 減，有括號的先算括號里的(或先去括號)。例題(要求寫出解答過程)：一、因式分解：1 、提公因式法：例 1、24a2 (x y) 6b2(y x)分析：先提公因式，后用平方差公式規(guī)律總結(jié)因式分解本著先提取，后公式等，但應(yīng)把第一個因式都分解到 不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進(jìn)行最后的審查，如果還能 分解，應(yīng)繼續(xù)分解。2、十字相乘法例 2、( 1) x4 5x236 ；(2) (x y)24(x y) 12分析：可看成是x2和(x+y)的

13、二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。規(guī)律總結(jié)應(yīng)用十字相乘法時，注意某一項可是單項的一字母，也可是某 個多項式或整式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。3、分組分解法例 3、xab a .b (a0, b0); 2x2 x 2分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公 式。規(guī)律總結(jié)對多項式適當(dāng)分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式分組，分組的目的是為 了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。*4、求根公式法例 4、x2 5x 5二、分式的運算巧用公式例 5、計算：(1 -)2(1 )2a ba b分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。規(guī)律總結(jié)抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種 變形，公式的逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準(zhǔn)確。2、化簡求值：例 6、先化簡，再求值：5x2 (3x2 5x2) (4y2 7xy)，其中 x= - 1 y =1 2規(guī)律總結(jié)一定要先化到最簡再代入求值，注意去