什么是質數-質數是什么意思

1、質數的規(guī)律什么是質數？就是在所有比1大的整數中，除了 1和它本身以外，不再有別的 約數，這種整數叫做質數，質數又叫做素數。這終規(guī)只是文字上的解釋而已。能 不能有一個代數式，規(guī)定用字母表示的那個數為規(guī)定的任何值時，所代入的代數式的值都是質數呢？質數的分布是沒有規(guī)律的，往往讓人莫明其妙。如：101、401、601、701都是質數，但上下面的301和901卻是合數。有人做過這樣的驗算：1八2+1+41=43,2八2+2+41=47,3八2+3+41=53 于是就可以有這樣一個公式：設一正數為 n,則nA2+n+41的值一定是一個質數。這個式 子一直到n=39時，都是成立的。但n=40時，其式子就不成

2、立了，因為 409+40+41=168 仁 41*41。被稱為“ 1世紀最偉大的法國數學家”費爾馬，也研究過質數的性質。他發(fā)現，設 Fn=2A(2An)，則當 n 分別等于 0、1、2、3、4 時，Fn 分別給出 3、5、17、257、 65537，都是質數，由于F5太大(F5)，他沒有再往下檢測就 直接猜測：對于一切自然數，Fn都是質數。但是，就是在F5上出了問題！費爾 馬死后67年，25歲的瑞士數學家歐拉證明：F5641*6700417，并非質數，而是合數。更加有趣的是，以后的Fn值，數學家再也沒有找到哪個 Fn值是質數，全部都 是合數。

3、目前由于平方開得較大，因而能夠證明的也很少?，F在數學家們取得 Fn的最大值為：n=1495。這可是個超級天文數字，其位數多達 10八10584位， 當然它盡管非常之大，但也不是個質數。質數和費爾馬開了個大玩笑！ 17世紀還有位法國數學家叫梅森，他曾經做過一個猜想：2Ap-1代數式，當p是質數時，2Ap-1是質數。他驗算出了：當p=2、3、5、7、17、19時，所得代 數式的值都是質數，后來，歐拉證明p=31時，2Ap-1是質數。還剩下p=67、127、257三個梅森數，由于太大，長期沒有人去驗證。梅森去世 250年后，美國數學家科勒證明，2A67-仁193707721*761838257287

4、 ，是一個 合數。這是第九個梅森數。20世紀，人們先后證明：第10個梅森數是質數，第 11個梅森數是合數。質數排列得這樣雜亂無章，也給人們尋找質數規(guī)律造成了 困難?，F在，數學家找到的最大的梅森數是一個有378632位的數：2八1257787-1。數學雖然可以找到很大的質數，但質數的規(guī)律還是無法循通。頭五千萬個質數【摘要】不按牌理出牌數學家也拿他沒辦法 質數怎樣分布？古今中外，不論是專業(yè)的數學家或業(yè)余的嗜好者， 都曾被這問題 所深深吸引。質數是個比 1 大的自然數，除了自身和 1 以外，沒有其他自然數可以除盡他。 質數的分布有兩個互相矛盾的特點。 下面我會列舉一些事實， 使你永遠相信這兩 個特點

5、。第一點，盡管質數的定義極為簡單， 又是自然數的建構磚石 （任何自然數都可表 為質因數的冪次的連乘積， 且表法唯一） ，它卻是數學家研究的對象中最不馴的 一種；質數在自然數中，像雜草似地亂長，似乎除了機會律以外，不遵守其他的 規(guī)律，沒人敢說下一個會從那里冒出來。第二點更令人驚訝，因 ?T 篕 P 第一點相反，質數表現出驚人的規(guī)律性。也就是 說，確有規(guī)律限制質數的行為，他們像軍人一樣絕對服從這些規(guī)律。為了支持第一點，我把 100 以下的質數和合數寫出來 （除了 2 以外，不列偶數）：【瀏覽原件】再把 1 千萬加減一百以內的質數列出：在 9,999,900 與 10,000,000 之間的質數9,

6、999,9019,999,9079,999,9299,999,9319,999,9379,999,9439,999,9719,999,9739,999,991在 10,000,000 與 10,000,100 之間的質數10,000,01910,000,079你看！沒有什麼理由可以說這個數是質數， 那個數不是質數。 當你看到這些數字 時，是否聯想到宇宙的奧秘， 像天邊那閃爍的星星一樣神秘不可測？甚至數學家都無法揭開此一奧秘， 如果他們能夠， 他們就不會勞神苦思去計算下一個更大的 質數是多少了。 （沒有人會想去找比前一個平方數更大的平方數， 或 2 的冪次數 通常一個好學生只記到 210=102

7、4 ）。1876 年， Lucas 證明 2127-1 為質數，這紀錄維持了 75 年。這也難怪，因為2127-1=1701411834604469231731687303715884105727直到 1951 年，電子計算機的新紀元， 更大的質數陸續(xù)發(fā)現 （見下表歷次記錄） 。 目前的記錄是 6002 位的 219937-1 ，不信的話， 你可以去查 Guiness 世界記錄。 （編者注：根據合眾國際社 1978 年11 月15日報導，這記錄已被兩個 18 歲的 加州大學學生打破。）【瀏覽原件】質數的規(guī)律更有趣的，還是關於質數的規(guī)律。前面已提到過 100 以下的質數，現在用圖表示，其中n （

8、x表示所有不大於x的質數的個數。【瀏覽原件】就這麼簡單的一個圖，我們已經可以看出，除了一些小的擾動以外，n （x大致上增加得很有規(guī)律。若把x值從一百增到五萬，則此規(guī)律性變得更為明顯。見下圖：【瀏覽原件】當某種規(guī)律自然出現時， 科學家就得設法去解釋它， 質數分布的規(guī)律性也不例外。 關於質數分布，我們不難找到一個良好的經驗規(guī)律。請看下表： （這表看來平凡 無奇，卻代表上千小時的艱苦計算。）【瀏覽原件】注意：x每增10倍，x與n（x的比就增加約2.3。機警的數學家立刻聯想到10 取自然對數的近似值是2.3。所以x/ n （x”logx，亦即n （x尸x/logx （用log x表 示x的自然對數，表

9、示當x接近無窮大時，n （x與x/logx的比趨近於1;如果 用駕則表示接近的程度更好。）質數定理 這個關系叫做質數定理，是高斯 1791 年發(fā)現的，但直到 1896 年才得到證明。 高斯(17771855年，關於高斯與質數定理，請參閱凡異出版社，偉大數學家 的一生高斯)14 歲那年收到一本對數的書；次年，研究書上所附的質數表， 發(fā)現了這個定理。 終其一生， 高斯一直很注意質數分布， 并且花了很多功夫去計 算。高斯寫信給他學生安克( Encke )說他時?；ㄙM零星的片刻計算 1000 個 連續(xù)整數(如 18001 到 19000 )中有多少質數，最后他竟能列出三百萬以下 的所有質數，并且拿來和

10、他的推測公式比較。質數定理說n (x是漸近地，即相對誤差趨近於0,等於x/logx。但是如果拿x/logx 與n (x的圖形加以比較，貝U可看出，雖然 x/logx反映了 n (x)行為的本質，卻還 不足以說明n (x的平滑性?！緸g覽原件】所以，我們希望找到更佳的近似函數。 如果我們再仔細看看前面那個表， 會發(fā)現 x/ n (x差不多恰為logx-1。經過更小心地計算，并和 n (x的更精密數據相較，樂 強何( Legendre )在 1808 年找到特佳的近似。即n (x)x/(log08366)另有一種n (x的近似函數也不錯，是高斯與質數定理同時提出的。從經驗得知， 當x很大時，在x附近

11、出現質數的或然率差不多恰為 1/logx。因此，n (x)差不多 應為對數和：Ls(x)=1/log2+1/log3+1/logx或實值上相同的對數積分：【瀏覽原件】現在再比較Li(x)與n (x)的圖形，把座標軸的尺度取到這麼大時，兩者完全重合。沒有必要再把樂強何的近似圖形列出來給大家看，因為在 0到5萬之間，他的 近似比Li(x)更加接近n (x)b【瀏覽原件】質數的冪次再提一個n (x的近似函數。從黎曼(Riemann )研究質數的結果顯示，如果我們 在計算質數以外，還計算質數的冪次(質數的平方算半個質數，質數的立方算1/3 個質數，依此類推)，則一個很大的數 x 為質數的或然率將更接近

12、 1/logx 。 從此導出【瀏覽原件】第二式右邊的函數定名為 R(x)以紀念黎曼。從下表可以看出它與 n (x有驚人的 吻合。R(x)可以表為【瀏覽原件】在這里要強調一點， 高斯和樂強何的近似都是由經驗歸納而來的， 不是由邏輯證 明得到的。甚至黎曼函數也是如此，雖然他的R(x)有理論的解釋，他從未證明出質數定理。 Hadamard 以及 de la ValleePoussin 根據黎曼的工作，繼續(xù)研究， 終於在 1896 年首度完成證明。孿生質數關於質數的規(guī)律性，我們再來看一些數值的例子。前面說過，在x附近的一個數 其為質數的或然率為1/logx。換句話說，假使取一以x為中心，長度為a的區(qū)間

13、, 這區(qū)間長得足以使統(tǒng)計成為有意義，而與x相較，又足夠小時，其中質數的個數， 應該約為a/logx。例如，在壹億至壹億零壹拾伍萬之間，預計有8142個質數，因為150,000/log(100,000,000)=150,000/18.427 8142根據同樣的想法，在x附近的任意兩數同時為質數的或然率應約為1/(logx)2。所以如果有人問在 x 到 xa 之間有多少孿生質數(連續(xù)兩個奇數都是質數，如 11,13 或 59,61 )，則我們可以預計有 a/(logx)2 個。事實上， 我們可以預計多些， 因為 n 已是質數，使 n2 為質數的可能性稍稍加大。(例如 n2 必為奇數)。 用一個容易

14、的直觀的論點，可以得到在x,x + a中，孿生質數的對數為C. a/(logx)2，此處 C = 1.3203236316 。所以在壹億至壹億零壹拾伍萬之間應有 (1.32).150,000/(18.427)258對孿 生質數。下表列出一些同長區(qū)間中質數及孿生質數的預測值及真值。 由下表可以 看出，理論和實際有極佳的吻合。對於孿生質數而言，這種吻合更令人驚訝。因 為孿生質數是否為無窮，這問題直到現在尚無定論，遑論他的分布定律了?！?瀏覽原件】 質數的距離關於質數分布的規(guī)律性， 最后一個例子就是相鄰兩質數的距離。 若有人去查質數 表，會注意到有時距離相當大。例如 113和127之間無其他質數。令

15、g (x)表 x以下，所有相鄰質數的最大距離。貝Ug( 200 )= 127-113 = 14。當然，g (x)增加得極不規(guī)則。但是用一個直覺的論點可以得到下列漸近公式，g(x)(logx)2。 從下圖可以看出，像g (x)這樣極不規(guī)則的函數，其行為和預測能符合的程度?！?瀏覽原件】到現在為止，質數的規(guī)律性說得較多，不規(guī)律性說得很少。而本文標題頭五千 萬個質數，我也只提到前幾千個而已。所以現在先列一表，比較n(x)樂強何， 高斯，黎曼四函數在x小於一千萬范圍內的差異。因為這四種函數在圖上分辨不 出差異，如前面所列n (x與Li的比較圖，所以現在這圖只表示這三種函數與 n (x) 的差。我想從這

16、圖足以看出， 一個有志研究數論的人可能遇到的麻煩有多大。 當 x很小時(小於一百萬)，x/logx-1.08366比Li (x)近似n (x)但是五百萬以 后，Li (x)變得較近似，而且可以證明當x更增加時，Li (x)總是較近似n(X?！?瀏覽原件】就算我們討論到一千萬，其中也只有 60 萬多個質數。要達到應許的五千萬個質 數，x必須為十億。下圖表示十億以內 R(x)- n (x)的圖形。R(x)- n (x)的振動變得 愈來愈大，但即使到十億這麼大，振動仍在幾百以內?！?瀏覽原件】順便提另一個n (x)的趣事。從圖上可以看出，在一千萬以內，Li (x)總是大於n (x，10億以內仍然如此。見下圖(此圖以對數尺寸繪出)?！?瀏覽原件】上圖給我們一個印