4335091861232233平面向量的正交分解及坐標表示及平面向量的坐標運算

1、平面向量的坐標表示及運算平面向量的坐標表示及運算 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 復習復習 1,平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量， 那么對于這一平面內(nèi)的任一向量那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一，有且只有一 對實數(shù)對實數(shù)1，2 使使a= 1 e1+ 2 e2 2.共線向量定理共線向量定理 向量向量a(a0)與與b共線，當且僅當有唯一一個共線，當且僅當有唯一一個 實數(shù)實數(shù)，使，使_ba 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 (1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi) 所有向

2、量的一組基底； (2)基底不唯一，關鍵是不共線； (3)由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條 件下進行分解； (4)基底給定時，分解形式唯一. 1,2是被 a ,e1、 e2唯一確定的數(shù)量。 a= 1 e1+ 2 e2 復習復習 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 g=f1+f2 f1 f2 g g=f1+f2叫做重力叫做重力g的分解的分解 類似地，由平面向量的基本定理，對平類似地，由平面向量的基本定理，對平 面上的任意向量面上的任意向量a，均可以分解為不共線的，均可以分解為不共線的 兩個向量兩個向量1a1和和2 a2,使使a=1a1 + 2 a2 新課引入新課引入 g與

3、與f1,f2有什么關系有什么關系? 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 把一個向量分解為兩個互相把一個向量分解為兩個互相垂垂 直直的向量的向量,叫做把向量叫做把向量正交分解正交分解 若兩個不共線向量互相垂直時若兩個不共線向量互相垂直時 a 1a1 2 a2 f1 f2 g 正交分解正交分解 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 我們知道，在平面直角坐標系，每一個我們知道，在平面直角坐標系，每一個 點都可用一對有序實數(shù)（即它的坐標）表示，點都可用一對有序實數(shù)（即它的坐標）表示， 對直角坐標平面內(nèi)的每一個向量，如何表示？對直角坐標平面內(nèi)的每一個向量，如何表示？ 在平面上，

4、如果選取互相垂直的向量作為在平面上，如果選取互相垂直的向量作為 基底時，會為我們研究問題帶來方便?；讜r，會為我們研究問題帶來方便。 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 y x a a 如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原 點點o為起點作為起點作oa=a，則點，則點a的位的位 置由置由a唯一確定。唯一確定。 y xo j i 設設oa=xi+yj，則向量，則向量oa的坐標的坐標 （x,y)就是點就是點a的坐標；的坐標； a (x,y) 因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可 以用一對實數(shù)唯一表示。以用一對實數(shù)唯

5、一表示。 反過來，點反過來，點a的坐標（的坐標（x,y)也就是向也就是向 量量oa的坐標。的坐標。 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 i= j= 0= ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 0, 0 ) a y o x xi yj j i a = ( x, y ) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 y o x a j i xi yj xi yj b 向量向量a、b有什么關系有什么關系? ab 能說出向量能說出向量b的坐標嗎的坐標嗎? ? b=( x,y ) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 2.3.2（3）平面向量的坐標表示及）平面向量的坐標表

6、示及 運算運算 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 學習導航學習導航 預習目標預習目標 重點難點重點難點 重點：向量的坐標表示重點：向量的坐標表示 難點：向量的坐標運算法則難點：向量的坐標運算法則 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 新知初探思維啟動新知初探思維啟動 1.平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一個向量分解成兩個把一個向量分解成兩個_的向量，的向量， 叫做把向量正交分解叫做把向量正交分解 2.平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示 (1)向量的直角坐標向量的直角坐標 互相垂直互相垂直 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 在平面直角坐標系中

7、，分別取與在平面直角坐標系中，分別取與x軸、軸、y軸方軸方 向相同的兩個向相同的兩個_i、j作為作為 基底，對于平面內(nèi)的一個向量基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向，由平面向 量基本定理知，有且只有一對實數(shù)量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y使得使得 a_，則把有序數(shù)對，則把有序數(shù)對_叫叫 做向量做向量a的坐標的坐標 單位向量單位向量 xiyj(x，y) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 (2)向量的坐標表示向量的坐標表示 在向量在向量a的直角坐標中，的直角坐標中，_叫做叫做a在在x軸上的軸上的 坐標，坐標，_叫做叫做a在在y軸上的坐標軸上的坐標,_ 叫做向量的坐標表示叫做向

8、量的坐標表示 (3)在向量的直角坐標中，在向量的直角坐標中，i(1，0)，j _，0 (0，0) x ya(x，y) (0，1) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 想一想想一想 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 3.平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算 向量的向量的 加、減加、減 法法 若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則，則ab _，ab _即兩個即兩個 向量和向量和(差差)的坐標分別等于這兩個向的坐標分別等于這兩個向 量相應坐標的和量相應坐標的和(差差) (x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量

9、實數(shù)與實數(shù)與 向量的向量的 積積 若若a(x，y)，r，則，則a _，即實數(shù)與向量，即實數(shù)與向量 的積的坐標等于用這個實數(shù)乘的積的坐標等于用這個實數(shù)乘 原來向量的相應坐標原來向量的相應坐標 (x，y) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 做一做做一做 已知已知a(1，2)，b(1，3)，則，則a2b _ 解析：解析：2b(2，6)，a2b(1，2)( 2，6)(12，26)(1，8) 答案：答案：(1，8) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 已知已知 ，求，求 的坐標的坐標. . ab o x y b(x2,y2) a(x1,y1) aboboa 結論結論:一個向

10、量的坐標等于表示此向量的有向線段終一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終 點的坐標減去始點的坐標。點的坐標減去始點的坐標。 1122 ( ,), (,)a x yb xy 2,211 ()( ,)x yx y 2121 (,)xx yy 想一想想一想 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 典 題 例 證 技 法 歸 納典 題 例 證 技 法 歸 納 在直角坐標系在直角坐標系xoy中，中， 向量向量a，b，c的方向如圖所示，的方向如圖所示， 且且|a|2，|b|3，|c|4，分，分 別計算出它們的坐標別計算出它們的坐標 向量的坐標表示向量的坐標表示 欄目欄目 導引導引 第二章平面向

11、量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 【名師點評】【名師點評】向量的坐標表示是向量的另向量的坐標表示是向量的另 一種表示方法，當向量的始點在原點時，終一種表示方法，當向量的始點在原點時，終 點坐標即為向量的坐標點坐標即為向量的坐標 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 變式訓練變式訓練 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 設向量設向量a、b的坐標分別是的坐標分別是(1，2)，(3，5)， 求求ab，ab，3a，2a3b的坐標的坐標 【解】【解】ab(1，2)(3，5)(13，25) (2，3)； ab(1，2)(3，5)(13，25)(4

12、，7) 平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算 3a3(1，2)(3，6)； 2a3b2(1，2)3(3，5) (2，4)(9，15) (29，415)(7，11) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 變式訓練變式訓練 2.若若ab(3，4)，ab(5，2)，則向，則向 量量a_，向量，向量b_ 解析：解析：ab(3，4)， ab(5，2) 答案：答案：(1，1)(4，3) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 向量坐標的應用向量坐標的應用 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 解題流程解題流程 欄目欄目 導

13、引導引 第二章平面向量第二章平面向量 名師批注名師批注 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 名師批注名師批注 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 名師批注名師批注 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 【名師點評】【名師點評】(1)如果兩個向量是相等向量，如果兩個向量是相等向量， 那么它們的坐標一定對應相等當平面向量那么它們的坐標一定對應相等當平面向量 的起點在原點時，平面向量的坐標與表示向的起點在原點時，平面向量的坐標與表示向 量的有向線段終點的坐標相同量的有向線段終點的坐標相同 (2)證明一個四邊形為平行四邊形，可證明該證明一個四邊形為平行四邊形，可

14、證明該 四邊形的一組對邊所對應的向量相等四邊形的一組對邊所對應的向量相等 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 變式訓練變式訓練 4.已知向量已知向量u(x，y)和向量和向量v(y，2yx)的的 對應關系用對應關系用vf(u)表示表示 (1)若若a(1，1)，b(1，0)，試求向量，試求向量f(a)及及 f(b)的坐標；的坐標； (2)求使求使f(c)(4，5)的向量的向量c的坐標的坐標 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向

15、量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 隨堂即時演練隨堂即時演練 d 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 2設平面向量設平面向量a(3,5)，b(2,1)，則，則a2b() a(6,3)b(7,3) c(2,1) d(7,2) 解析：解析：選選 a(3,5)，b(2,1)， a2b(3,5)2(2,1)(3,5)(4,2)(7,3) b 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向

16、量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 方法技巧方法技巧 1.向量的正交分解是平面向量分解中常見的向量的正交分解是平面向量分解中常見的 一種情形，即基底一種情形，即基底i，j垂直的情況單位正垂直的情況單位正 交基底坐標：交基底坐標： i(1，0)，j(0，1),零向量坐標零向量坐標0(0，0). 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 2.向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘 運算法則進行若已知有向線段兩端點的坐運算法則進行若已知有向線段兩端點的坐 標，則應先求出向量的坐

17、標，解題過程中要標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要 注意方程思想的運用及正確使用運算法則注意方程思想的運用及正確使用運算法則 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 失誤防范失誤防范 1.點的坐標與向量坐標的聯(lián)系與區(qū)別點的坐標與向量坐標的聯(lián)系與區(qū)別 (1)表示形式不同，向量表示形式不同，向量a(x，y)中間用等中間用等 號連接，而點的坐標號連接，而點的坐標a(x，y)中間沒有等號中間沒有等號. (2)意義不同意義不同,點點a(x，y)的坐標的坐標(x，y)表示點表示點a 在平面直角坐標系中的位置，在平面直角坐標系中的位置，a(x，y)的坐的坐 標標(x，y)既表示向量的大小既表示向量的大小,也表示向量的方也表示向量的方 向向,另外另外(x，y)既可以表示點，也可以表示向既可以表示點，也可以表示向 量，敘述時應指明點量，敘述時應指明點(x，y)或向量或向量(x，y) 欄目欄目 導引導引 第二章平面向量第二章平面向量 (3)聯(lián)系：當平面向量的起點在原點時，平面聯(lián)系：當平面向量的起點在原點時，平面 向量的坐標與向量終點的坐標相同