人教版勾股定理單元易錯題難題測試題

1、-X選擇題1.如圖，在等邊BC中，AB=1S, BD=6, BE=3,點P從點出發(fā)沿EA方向運動，連結(jié)PD,以PD為邊,任PD右側(cè)按如圖方式作等邊DPF,當(dāng)點P從點E運動到點人時，點F運動的路徑長是（）2棱長分別為的兩個正方體如圖放宜，點A, B, E在同一直線上，頂點G在棱BC上，點P是棱EH的中點一只螞蟻要沿著正方體的表面從點A爬到點P,它爬行的最A(yù). （3巧+10）cmB 5/l3cmC V277cm3.已知等邊三角形的邊長為a,則它邊上的髙、而積分別是（ A a /b6/2（y/3a22T 9T 91D. （2何+ 3）cm3a y/3a2 亍 44如圖,A、B兩點在直線I的兩側(cè)，點A

2、到直線I的距離AC珂點B到直線I的距離BD=2,且CD=6,P為直線CD上的動點，則|PA-PB|的最大值是（）A- 6x/2B 2/2C 2y/10D 65.如圖，在BC中，ZACS=90 AB的中垂線交4C于D, P是BD的中點，若BC=4, AC=8.則S“孔為（）A.6.A.C.3B.以下列各組數(shù)為邊長,屯、應(yīng)、x/7已知M、N是線段AB3.3C. 4能構(gòu)成直角三角形的是（）B.冬、7?D.邁、書上的兩點，AM = MN = 2, NB = ltD 4.57.畫?。涸僖渣cB為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C,7574以點A為圓心，AN長為半徑連接AC, BC,則厶ABC/k是（）A

3、.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形8. 如圖，在RUABC中，ZACB=90% AC=6, BC二& AD是ZBAC的平分線.若P, Q分別 是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）24A. 一B. 5C 6D 859. 在直角三角形ABC中，ZC = 90。，兩直角邊長及斜邊上的髙分別為則下列關(guān)系式成立的是（）A-廬+戸=廬 B-廬+戸二戸C h2 =abD h2 =a2 +b210. 已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和5則第三邊長是（）A. 5B. 4C. 34D4或州二.填空題11. 如圖，在矩形ABCD中，AB二20,BC二5,若點M、N分別是線段AC、A

4、B上的兩個動點，貝IJ BM+MN的最小值為12. 如圖，現(xiàn)有一長方體的實心木塊.有一螞蟻從A處岀發(fā)沿長方體表面爬行到C處, 若長方體的長AB = 4cm,寬BC = 2cm,髙BBf = 1cm,則螞蟻爬行的最短路徑長是AB13如圖，在四邊形ABCD中，AD = 2邁,CD = 3,ZABC = ZACB = ZADC = 45,則 BD 的長為14. 如圖，ACB和ECD都是等腰宜角三角形，CA = CB. CE = CD,厶ABC的頂點A在）的斜邊上.若AE = AD = #，則AC的長為15. 在R仏ABC中，ZC = 90,ZA = 30；BC = 2,以aABC的邊AC為一邊的等腰

5、三角形，它的第三個頂點在 ABC的斜邊43上，則這個等腰三角形的腰長為.16如圖在四邊形 ABCD 中zZA=60/ZB= ZD=90zAD=4,AB=3Z則 CD=17. 如圖z在M3CD中.AC與BD交于點O ,且AB=3 f BC=5 線段04的取值范圍是； 若BD-AC=1 r則ACBD二oSC18. 如圖，F(xiàn)為等腰直角LABC的邊AB 的一點，要使AE=3 , BE=1 , P為AC上的動點，則PB + PE的最小值為19. 如圖的實線部分是由RLX4BC經(jīng)過兩次折疊得到的首先將RkMBC沿高CH折疊，使點3落在斜邊上的點3處，再沿CM折疊，使點A落在CB的延長線上的點A處.若圖中Z

6、4CB = 90, BC = 15cm, AC = 20cm,則 MB 的長為20. 在R仏ABC中，ZA=90,其中一個銳角為60。，BC = 2 點P在直線4C上（不與A，C兩點重合）,當(dāng)ZABP = 30時，CP的長為.三、解答題21. 如圖，在兩個等腰直角厶ABC和中，ZACB= ZDCE=90.（1）觀察猜想：如圖1,點E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系（2）探究證明：把繞宜角頂點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位宜，（1）中的結(jié)論還成立嗎？ 說明理由；（3）拓展延伸：把繞點C在平而內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=BC=10, DE=12,當(dāng)A、E、 D三點在直線上時，請直接寫出AD的長.圖1圖22

7、2. 如果一個三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個三角形是優(yōu)三角形，這兩條邊的比稱為優(yōu)比（若這兩邊不等，則優(yōu)比為較大邊與較小邊的比），記為（1）命題：等邊三角形為優(yōu)三角形，其優(yōu)比為1”，是真命題還是假命題？（2）已知 ABC為優(yōu)三角形，AB = c, AC = b. BC = a,A圏1ABC圏2 如圖1,若ZACB = 90。，ba. b=6,求。的值. 如圖2,若cba,求優(yōu)比R的取值范圍.（3）已知MBC是優(yōu)三角形，且ZABC = 120. BC = 4,求aABC的而積.23. （1）如圖 1,在R44BC中，ZACB = 90, ZA = 60, CD平分圖1小明為解決上面的問

8、題作了如下思考：作A4DC關(guān)于直線CD的對稱圖形MDC、： CD平分ZACB , :. Af點落在CB上，且 C4 = C4, AD = AD.因此，要證的問題轉(zhuǎn)化為只要證出AD = AB即可.請根據(jù)小明的思考，寫出該問題完整的證明過程.圖2（2）參照（1）中小明的思考方法，解答下列問題：如圖 3,在四邊形 ABCD 中，AC 平分 ZftAD, BC = CD = IO, AC = 17, AD = 9, 求A3的長.DC24. 在 AABC 中，AB = AC, CD 是 AB 邊上的髙，若 AB = 10,BC = 4巧.BC（1）求CD的長.（2）動點P在邊AB上從點A出發(fā)向點B運動，

9、速度為1個單位/秒；動點Q在邊AC上從 點a出發(fā)向點c運動，速度為v個單位秒（vl）,設(shè)運動的時間為r（r0）,當(dāng)點Q到點 C時，兩個點都停止運動. 若當(dāng)V = 2時，CP = BQ,求t的值. 若在運動過程中存在某一時刻，使CP = BQ成立，求v關(guān)于t的函數(shù)表達式，并寫岀自 變量t的取值范圍.25. 如圖，點人是射線OF： y=x （x0）上的一個動點，過點A作x軸的垂線，垂足為B,過點B作04的平行線交ZAOB的平分線于點C.（1）若0A = 5求點B的坐標：（2）如圖2,過點C作CG丄A3于點G, CH丄OF于點H,求證：CG=CH.（3）若點&的坐標為（2, 2）,射線0C與交于點D

10、在射線8C上是否存在一點P 使得AACP與ABDC全等，若存在，請求出點P的坐標：若不存在，請說明理由.在（3）的條件下，在平而內(nèi)另有三點Pj（72，, P2（2, 22），P3（2+屈，2 - ），請你判斷也滿足ACP與ABDC全等的點是.（寫岀你認為正確的點）26. 在AABC中，ZACB = 90。，AC = BC = 6，點D是AC的中點，點E是射線DC 上一點，DF丄DE于點、D,且DE二DF，連接CF,作FH丄CF于點F,交直線 AB于點H.（1）如圖（1）,當(dāng)點E在線段DC上時，判斷CF和FH的數(shù)量關(guān)系，并加以證明：（2）如圖（2）,當(dāng)點E在線段DC的延長線上時，問題（1）中的結(jié)

11、論是否依然成立? 如果成立，請求岀當(dāng)AABC和677/面積相等時，點E與點C之間的距離：如果不成 立，請說明理由.27. 閱讀下列一段文字，然后回答下列問題.已知在平而內(nèi)有兩點Ad，V）乙也，力），其兩點間的距離 人=（為一廠）2 + （|一兒）2，同時，當(dāng)兩點所在的宜線在坐標軸或平行于坐標軸或垂 直于坐標軸時，兩點間距離公式可化簡為|x, -x2|或l） - ）（1）已知4（2, 4）、3（-3, -8）,試求久3兩點間的距離已知M、N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標為4,點/V的縱坐標為-1.試求M、N 兩點的距離為:（2）已知一個三角形各頂點坐標為D（l, 6）、E（3, 3）、F（4

12、, 2）,你能判定此三角 形的形狀嗎?說明理由.（3）在（2）的條件下，平而直角坐標系中，在X軸上找一點P,使PD+PF的長度最 短，求岀點P的坐標及PD+PF的最短長度.28. 如圖，在邊長為血正方形ABCD中，點0是對角線AC的中點，E是線段0A上一 動點（不包括兩個端點），連接處.0）.（1）AE= （用含r的代數(shù)式表示），ZBCD的大小是度：（2）點E在邊AC上運動時，求證：竺厶CDF；（3）點E在邊AC上運動時，求ZEDF的度數(shù)；（4）連結(jié)8E,當(dāng)CE=AD時，直接寫岀t的值和此時8E對應(yīng)的值.【參考答案】床試卷處理標記，請不要刪除一.選擇題 1. D解析：D【分析】首先利用等邊三角

13、形的性質(zhì)和含30直角三角形的運用，判DF2Q沁ADE,然后利用全等三角形的性質(zhì)，得出點F運動的路徑長.【詳解】為等邊三角形，AZB=60c ,過D點作DF丄過點F作FH丄BC于H,如圖所示：點F與點重合，A ZBDE=30 , DE=BE=3 返，VADPF為等邊三角形， ZPDF二60 , DP二DF,:.ZEDP+ZHDF=90I ZHDF十ZDFH=90 ,:.ZEDP 二 ZDFH,ZPED = ZDHF = 96在/XDPE 和FDH 中， ZEDP = ZDFHDP = FD:.ADPEAFDH (AAS),:.FH=DE=3y/3 ,點P從點運動到點&時，點F運動的路徑為一條線段

14、此線段到3C的距離為3$ 當(dāng)點P在E點時，作等邊三角形DEF“訐30 +60 =90 ,則D&丄BC,當(dāng)點P在人點時，作等邊三角形DAFz，作AQ丄BC于Q,則四邊形DF.FzQ是矩形，V ZfiDE=30 , ZADF2=60c ,A ZADE+ZF2DQ=180q -30 - 60 二90 ,V ZADEZDAE=90,:.zf2dq=zdae.ZEQD = ZDEA = 909在DRQ 和UDE 中，ZF,DQ = ZDAE ,DE=ADb:.ADF2Q/ADE (AAS),:.DQ=AE=AB - BE=15 - 3=12,.2=00=12,.當(dāng)點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長

15、為12,故選：D.【點睛】此題主要考査等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判左與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作好輔助線.2. C解析：C【分析】當(dāng)E】Fi在直線EEi上時，得到AE=14, PE=9,由勾股左理求得AP的長；當(dāng)E】Fi在直線 B?E|上時，兩直角邊分別為17和6,再利用勾股左理求AP的長，兩者進行比較即可確定答 案【詳解】 當(dāng)展開方法如圖1時，AE=8+6=14cm, PE=6+3=9cm,由勾股泄理得 AP = J AEPE，= V142?92 = y/?T7cm 當(dāng)展開方法如圖2時，APi=8+6+3=17cm, PPi=6cm,由勾股泄理得 AP = yjAP + PP; = V172

16、+62 = y/325cm77 /325螞蟻爬行的最短距離是rncm【點睛】此題考察正方體的展開圖及最短路徑，注意將正方體沿著不同棱線剪開時得到不同的平而 圖形，路徑結(jié)果是不同的3. C解析：C【分析】作出等邊三角形一邊上的髙，利用直角三角形中，30。角所對的宜角邊等于斜邊的一半， 得出BD,利用勾股妃理即可求出AD,再利用三角形而積公式即可解決問題.【詳解】解：如圖作&D丄3C于點D.V AABC為等邊三角形，.ZB=60, ZBAD=30:.BD = -AB = -a2 2由勾股定理得，AD- = /AB2-BD2 = Ja2-(-a)2 =V 22邊長為a的等邊三角形的而積為xa疋a=E

17、aS224故選：C.【點睛】本題考點涉及等邊三角形的性質(zhì)、含30角的直角三角形、勾股左理以及三角形而積公 式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.4. C解析：C【解析】試題解析：作點B關(guān)于直線/的對稱點3,連接ABr并延長，與直線/的交點即為使得 PA-PB取最大值時對應(yīng)的點P.此時 |E4 - PB = AB1.過點3作B丄AC于點E,如圖,四邊形BDCE為矩形，BE = CD = 6,EC = BD = BD = 2.:.AE = 2.AB = yjAEr+BE1 = 2皿. 的最大值為：2屎.故答案為：2屁.5. A解析：A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB,根據(jù)勾股立理求岀B

18、D,得到CD的長，根據(jù)三角 形的而積公式計算，得到答案.【詳解】解：.點D在線段43的垂直平分線上，:,DA = DB,/ Rt A BCD 中，BC2+CDZ=BD2,即 4?+ (8 - BD) 2=BD2,解得，BD=5,:.CD=8 - 5 = 3,BCD 的而積=丄 xCDxBC=丄 x3x4 = 6,2 2TP是BD的中點， _ 1 _ SPBC SBCD = 3t故選：4【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握線段垂直平分 線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.6. C解析:c【分析】利用勾股立理的逆龍理依次計算各項后即可解答.【詳解】選項

19、A，(血)2+(、/亍)2工(、用)2,不能構(gòu)成直角三角形；選項B, (73)2+(/4)2#(x/5)2,不能構(gòu)成直角三角形;選項C, (V3)2+(W=(x/7)2能構(gòu)成直角三角形：選項D, (V2)2+(V3)2#(x/4)2,不能構(gòu)成直角三角形.故選C.【點睛】本題考查勾股左理的逆左理的應(yīng)用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長， 只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.7. B解析:B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC=AN=4, BC=BM=3, AB=2+2+1=5,進而得到AC2+BC2=AB2,即 可得出AABC是直角三角形.【詳解】如圖所示，AC=AN=4, BC = BM

20、 = 3, AB = 2+2+l=5,.AC2+BC2=AB2,.ABC是直角三角形，且ZACB = 90 ,故選B.【點睛】本題主要考查了勾股泄理的逆立理，如果三角形的三邊長a, b, c滿足a2+b2 = c2,那么這 個三角形就是直角三角形.8. A解析：A【分析】過C作CM丄AB于M,交AD于P,過P作PQ丄AC于Q,由角平分線的性質(zhì)得出PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，為CM的長，然后利用勾股立理和等而積法求得CM的長 即可解答.【詳解】過C作CM丄AB于M,交AD于P,過P作PQ丄AC于Q,VAD是Z BAC的平分線，APQ=PM,則 PC+PQ=PC+PM=CM,即 PC+PQ

21、 有最小值，為 CM 的長, 在 RtA ABC 中，Z ACB=90 AC二6, BC=8,由勾股定理得：AB=10,又 $2肚=ABCM = AC*BC ,2 2CM且，105PC+PQ的最小值為二,5故選：A.【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理、三角形等而積法求髙，解答的關(guān) 鍵是掌握線段和最短類問題的解決方法：一般是運用軸對稱變換將直線同側(cè)的點轉(zhuǎn)化為異 側(cè)的點，從而把兩條線段的位置關(guān)系轉(zhuǎn)換，再根據(jù)兩點之間線段最短或垂線段最短，使兩 條線段之和轉(zhuǎn)化為一條直線來解決.9. B解析：B【分析】設(shè)斜邊為c,根據(jù)勾股左理得出再由三角形的面積公式即可得岀結(jié)論.【詳解】解：設(shè)斜邊

22、為C,根據(jù)勾股泄理得岀C=J片產(chǎn)，*.* ab= ch,2 2.ab= (ah，即 a2b2=a2h2+b2h2,.a2b2 _ crlr + b2lr* a2b2h a2b2lr a2h2h2+ 7T = TT a b h故選：B.【點睛】本題考查勾股左理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一泄等于斜 邊長的平方是解題關(guān)鍵.10. D解析：D【詳解】解：一個直角三角形的兩邊長分別為3和5,當(dāng)5是此直角三角形的斜邊時，設(shè)另一直角邊為x,則由勾股左理得到: =V52-32 =4：當(dāng)5是此直角三角形的直角邊時，設(shè)另一直角邊為x,則由勾股左理得到: /52 +32 =/34故選：D二

23、填空題【解析】如圖作點B關(guān)于AC的對稱點B,連接B A交DC于點E,則BM+MN的最小值等于 FM + MN的最小值作BN丄加交M于M：則網(wǎng)為所求;25設(shè)EC = AE = x (10 -x)2 + 52 = x2 X151151 255AB.CF = -xTx5 = _.T-/l ITIf9h+5=8,即BM+MN的最小值是8.點睛：本題主要是利用軸對稱求最短路線，題中應(yīng)用了勾股泄理與用不同方式表示三角形 的而積從而求出某條邊上的髙，利用軸對稱得岀M點與N點的位置是解題的關(guān)鍵.12 5cm【分析】連接AC，,分三種情況進行討論：畫出圖形，用勾股疋理訃算岀AC，長，再比較大小即 可得岀結(jié)果.【

24、詳解】解：如圖AB圖2 BCCAA=1+2=3,在 RtAABC * 中,由勾股泄理得AC二存存=5 (cm),如圖 2, AC二4+2=6,CCr =1在 RtAACCf 中,由勾股定理得AC，J齊正二 (cm),展開成平而圖，連接AC，,分三種情況討論: 如圖 1, AB二4, BC如圖 3, AD =2, DC =1+4=5, 在 RtAADCz 中，由勾股定理得 AC，=22 +52 =/29 (cm) V5V29/37 .螞蟻爬行的最短路徑長是5cm,故答案為：5cm【點睛】本題考查平面展開-最短路線問題和勾股泄理，本題具有一泄的代表性，是一道好題，注意 要分類討論.135【分析】作

25、ADAD, ADAD構(gòu)建等腰直角三角形，根據(jù)SAS求證aBADACAD證得BD=CDZDADz=90%然后在RtADD和RUCDD應(yīng)用勾股定理即可求解.【詳解】作 ADAD, AD*=AD,連接 CDS DD 如圖：Dr*： Z BAC+ ZCAD=ZDADz+ZCAD,. ZBAD=ZCAD在zBAD與 MAD沖，BA = CAZBAD = ZCAD,AD = AD.ABADACAD, (SAS),.BD=CD, ZDAD，=90,由勾股泄理得DD* AD2+( AD)2 = 4 ,VZD/DA+ZADC=90.由勾股泄理得CD J JdL+QDY = 5 ,.BD=CD=5故答案為5.【點

26、睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股左理，等腰直角三角形，正確引出輔助線構(gòu)造 等腰直角三角形是本題的關(guān)鍵.14. y/5【分析】由題意可知，AC=BC, DC=EC, ZDCE=ZACB = 90, ZD=ZE=45,求出 ZACE = ZBCD可證ACE9ABCD,可得AE = BD=7J, ZADB = 90,由勾股左理求出AB即可得 到AC的長.【詳解】解：如圖所示，連接BD,V AACB和厶ECD都是等腰直角三角形，AC=BC, DC = EC, ZDCE=ZACB=90 ZD=ZE=45, 且 Z ACE = Z BCD = 90- ZACD,在 ACE和a BCD中.AC=B

27、C/7+3=/i0，AB=V2BC，故答案為：y/5 【點睛】本題考查了全等三角形的判立和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股左理等知識，添加 恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.15. 2石或2【分析】先求岀AC的長，再分兩種情況：當(dāng)AC為腰時及AC為底時，分別求出腰長即可.【詳解】在RlABC中，ZC = 90,ZA = 30“,BC = 2,AAB=2BC=4,： AC = Jab2_BC2 =関-壬=2 石,當(dāng)AC為腰時，則該三角形的腰長為2:當(dāng)AC為底時，作AC的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,如圖，此時AACD是等 腰三角形，則AE=JJ.設(shè) DE=x,則 AD=2x,AE

28、2 + DE2 = AD2,.+（問 2 =（2x）2x=l （負值舍去），腰長 AD=2x=2,B故答案為：2苗或2【點睛】此題考查勾股左理的運用，結(jié)合線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題時注 意：“AC為一邊的等腰三角形”沒有明確AC是等腰三角形的腰或底，故應(yīng)分為兩種情況 解題，這是此題的易錯之處.216. 護【解析】【分析】延長BC, AD交于E點，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根據(jù)30。角所對的直角 邊等于斜邊的一半和勾股建理即可解答.【詳解】如圖，延長AD、BC相交于E, Z A=60 Z B= Z ADC=90zAZE=30AE=2AB, CE=2CDVAB=3

29、t AD=4,AAE=6, DE=2設(shè) CD*則 CE=2x, DEx即護x=22X補Q2即CD補兄厶、EZ亠E2故答案為：wB【點睛】本題考查了勾股左理的運用，含30。角所對的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)，本題中構(gòu)建直 角AABE和直角ACDE,是解題的關(guān)鍵.【解析】(1) 由三角形邊的性質(zhì)53v2OAv5+3,1OA4.過A作肋丄BC于F,過D作DE丄BC于E,可知, ABF全等“DCE, 由題意知，bd2 = de2+(bc+ce)2=de2+(4+ce)2,:.AC2=DE2+(BC-CE)2 =DE2+(5-CE)2,/. AC2 + BD2= )E2 +(4+CE)2 +DE2+(5-

30、CE)2=2( DE2 + CE2) + 50 = 18 +50=68,V BD-AC=1,兩邊平方 /. AC2 + BD_CBD=1 ,67:.ACBD=185【解析】試題分析：作點8關(guān)于AC的對稱點F,構(gòu)建直角三角形，根據(jù)最短路徑可知：此時PB+PE 的值最小，接下來要求岀這個最小值，即求EF的長即可，因此要先求4F的長，證明 氐A(chǔ)DF竺“CDB,可以解決這個問題，從而得出EF=5,則PB+PE的最小值為5 .解：如圖，過8作BD丄&C,垂足為D,并截取DF=BD,連接EF交AC于P,連接PB、AF, 則此時PB+PE的值最小，ABC是等腰直角三角形，:.AB=CB,ZABC=90Q t

31、 AD=DC r:.ZB&C二ZC=45 , ZADQZCDB f:.AADFACDB t:.AF=BC,ZFAD=ZC=45O ,*：AE=3 , BE=1 ,:.AB=BC= ,:.AF=4 ,/ ZB&F=ZBAC+ZE4D=45+45=90,由勾股電理得：EF= yjAF2 + AE2 = 42 +32 =5 -.AC是BF的垂直平分線，.BP=PF ,:.PB+PE=PF+PE=EF=5 ,故答案為5.點睹：本題主要考查最短路徑問題.解題的關(guān)鍵在于要利用軸對稱知識，結(jié)合兩點之間線段 最短來求解.19. 3【分析】根據(jù)題意利用折疊后圖形全等，并利用等量替換和等腰三角形的性質(zhì)進行綜合分析

32、求解.【詳解】解：由題意可知 ACMqBCH maBCH、BC = 15cm, AC = 20cm,BC = BC = 5cm,AC = AC = 20cm, AB= 20-15 = 5c/k , ZAC 90。，:-AM丄A3（等量替換），CH丄力8 （三線合一）,:.AB = 25cm,利用勾股泄理假設(shè)M3的長為m, AM = AM = 25-7m,貝ffl/n2+ （25-7/n）2 = 52,解得加=3,所以M3的長為3.【點睛】本題考查幾何的翻折問題，熟練掌握并綜合利用等量替換和等腰三角形的性質(zhì)以及勾般定 理分析是解題的關(guān)鍵.20. 2石或2或4【分析】根據(jù)題意畫岀圖形，分4種情況進

33、行討論，利用含30。角直角三角形與勾股泄理解答.【詳解】圖1當(dāng)ZC=60時，ZABC=30,與 ZABP=30矛盾;如圖2：AZCBP=60,.PBC是等邊三角形, CP = BC = 2 書;圖3當(dāng) ZABC=60時，ZC=30V ZABP=30,A ZPBC=60-30=30% PC=PB.BC = 2*， AB = LbC =羽,AC = JbC? 一AB? = J(2苗)2 -(右)? = 3 ,2在RUAPB中,根據(jù)勾股左理AP2 + AB = BP2，即(AC - PC)2 + AB2 = PC2 f即(3_PC)2+“)2=PC2,解得 PC = 2,如圖4：T ZABP=30A

34、ZPBC=60o+30=90% bp = Lpc2在RtABCP中，根據(jù)勾股泄理BP2 + BC2 = PC2,即(|PC)2+(2V3)2=PC2得 PC=4 (已舍去負值).2綜上所述，CP的長為2血或2或4.故答案為：2省或2或4.【點睹】本題考查含30。角直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判泄，勾股定理.理解直角三角形30。 角所對邊是斜邊的一半，并能通過勾股泄理去求另外一個直角邊是解決此題的關(guān)鍵.三、解答題21. (1) AE = BD, AE丄BD； (2)成立，理由見解析：(3)14 或 2.【分析】(1) 先根據(jù)等腰三角形的左義可得AC = BC, CE = CD,再根據(jù)三角形全等

35、的判立左 理與性質(zhì)可得AE = BD,乙EAC = ZDBC，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余、等量代換 即可得ZAHD = 90,由此即可得：(2) 先根據(jù)三角形全等的判立沱理與性質(zhì)可得= ZEAC = ZDBC,再根揺直 角三角形兩銳角互余可得ZE4C+ZAOC = 90。，然后根據(jù)對頂角相等、等量代換可得 ZDBC+ZBOH=90。,從而可得ZOHB = 90,由此即可得；(3) 先利用勾股泄理求岀AB = 10V2 .再分點A,E、D在直線上，且點E位于中間， 點A,E.D在直線上，且點D位于中間兩種情況，結(jié)合(2) (2)的結(jié)論，利用勾股泄理求 解即可得.【詳解】(1) AE = BD,

36、 AE丄BD,理由如下：如圖1，延長AE交BD于H,由題意得：AC = BC, ZACE = ZBCD = 90, CE = CD, :.bACE 三皿CD(SAS). AE = BD, ZEAC = ZDBC， ZDBC+ZBDC = 9QP, ZE4C+ZBC = 90, ZAHD = 180- (ZE4C + ZBDC) = 90 ,即AE丄BD，故答案為：AE = BD, AE丄BD；圖1(2) 成立，理由如下：如圖2,延長AE交BD于H,交BC于O,V Z4CB = ZECD = 90,/. ZACB - ABCE = ZECD- ZBCE.即 ZACE = ZBCD，AC = BC

37、 在ACE 和BCD 中，AACE = ABCD,CE = CD:,a ACE 三 bBCD(SAS),A AE = BD, ZEAC = ZDBC, ZACB = 90。， ZE4C+ZA0C = 9O。，VZAOC = ZB0H,，DBC+ZBOH=90。，即 ZOBH+ ZBOH = 90Q,.ZOHB = 180。一 (ZOBH + /BOH) = 90,即AE丄BD：B(3)設(shè)AD = x,AC = BC = 10, ZACB = 90。，AB = dc = 0邁,由題意，分以下兩種情況： 如圖3-1,點在直線上，且點E位于中間，同理可證：AE = BD，AE丄.DE = 12,BD

38、 = AE = ADDE = x2,在 RtAABD 中，AD2 + BD2 = AB2 即 x2+(x-12)2 = (10)2, 解得x = 14或x = _2 (不符題意，舍去)，即 AD = 14. 如圖3-2,點A.E.D在直線上，且點D位于中間，同理可證：AE = BD, AE丄BD,.D = 12，:.BD = AE = AD+DE = x+2,在 RtAABD 中，AD2 + BD2 = AB2 即 x2+(x +12)2 = (10/2)2, 解得x = 2或x = 14 (不符題意，舍去)，即 AD = 2,綜上，AD的長為14或2.【點睛】本題考查了三角形全等的判圧與性質(zhì)

39、、勾股定理等知識點，較難的是題（3）,正確分兩種情況討論，并畫出圖形是解題關(guān)鍵.922. （1）該命題是真命題，理由見解析：（2）a的值為一：k的取值范用為21 = 6/. c = sjcr +b2 = f +36根據(jù)優(yōu)三角形的定義，分以下三種情況：當(dāng)a+b = 2c時， + 6 = 2如+36,整理得夕_4“ + 36 = 0,此方程沒有實數(shù)根當(dāng)d+c = 2/?時，2牯+36 = 12,解得當(dāng)b+c = 2a時，6+x/7736 = 2解得。=86,不符題意，舍去9綜上，a的值為；2由題意得：a，b、c均為正數(shù)根據(jù)優(yōu)三角形的定義，分以下三種情況：（cAbm當(dāng)a+b = 2c時，則k = 由

40、三角形的三邊關(guān)系泄理得b-aca+b則 b-a a+ b ,解得 be 3d,即 k = 3故此時k的取值范帀為k a由三角形的三邊關(guān)系泄理得c-aba+cci + cc則c-aa + c ,解得cv3d,即k = -32a故此時k的取值范圍為1b由三角形的三邊關(guān)系泄理得c-bab+ch + CC則cbv /? + c,解得即k = 32b故此時k的取值范圍為1WR v3綜上，k的取值范圍為1/3x)2+(4 + x)2 = 2 J/+2x + 4 = -BC-AD = -x4xy/3x = 2y/3x2 2AABC是優(yōu)三角形，分以下三種情況：11 AC+BC = 2AB時，即+2x+4+4

41、= 4x，解得兀=亍 則S”.=2屈=2屁牛畔 當(dāng)AC+AB = 2BC時，即2jF+2x+4+2x = 8,解得J則 SBC =2y/3x = 2x = - 當(dāng)BC+AB = 2AC時，即4+2兀=心+2x+4，整理得3x2+4x + 12 = 0,此方程沒 有實數(shù)根綜上，AABC的面積為豈百或空L35AD B【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股立理、三角形的三邊關(guān)系左理等 知識點，理解題中的新定義，正確分多種情況討論是解題關(guān)鍵.23. (1)證明見解析；(2)21.【分析】(1) 只需要證明ZA,DB = AB = 30,再根據(jù)等角對等邊即可證明AD = AB,再結(jié)合

42、 小明的分析即可證明；(2) 作AADC關(guān)于AC的對稱圖形 ADC,過點C作CE丄AB于點E,則D，E=BE.設(shè) Z)，E=BE=x.在RtACEB和RtMEA中，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.【詳解】解：(1)證明：如下圖，作MDC關(guān)于CD的對稱圖形VCD 平分ZACB,“點落在CB上T ZACB=90fAZB=90-ZA=30S ZA/DB=ZCA/D-ZB=30 即ZADB二ZB,ADSB, CA+AD 二 CA+AD 二 CA+AB=CBA DZA=DA=9 D/C=DC=10,TAC 平分 ZBAD,D點落在AB上，TBC=10,:.D/C=BC,過點C作CE丄AB于點E,則DE

43、=BE,設(shè) DE二BE二x,在 RtMEB 中，CE2=CB2-BE2=102-x2,在 RtACEA 中，CE2=AC2-AE2=172- (9+x) 2.A102-x2=172- (9+x) 2,解得：x=6,AB 二 AD+DE+EB 二 9+6+6=21.【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，勾股泄理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).(1)中證明 ZADB=ZB不是經(jīng)常用的等量代換，而是利用角之間的計算求得它們的度數(shù)相等，這有點 困難，需要多注意：(2)中掌握方程思想是解題關(guān)鍵.12-/24. (1) CD二& (2) t二4：(3) v =(2r 5ABC 的面積込BC AE=-AB.C

44、DA CD=BC AE 45x4 o=8AB10(2) 過B作BQ丄AC,當(dāng)Q在AF之間時，如圖所示,VAABC 的面積二丄 AC BF=-AB CD , AB=AC 2 2ABF=CD在 RtACPD 和 RtABQF 中TCP二BQ, CD二BF,ARtACPDRtABQF (HL) PD 二 QF在 Rt/kACD 中，CD二& AC=AB=10 AD=7aC2-CD2=6同理可得AF=6APD=AD=AP=6-t, QF=AF-AQ=6-2t由 PD二QF 得 6-t=6-2t,解得 t二0,Vt0,此種情況不符合題意，舍去；當(dāng)Q點在FC之間時，如圖所示，此時 PD=6-t, QF=2

45、t-6由 PD二QF 得 6-t=2t-6,解得t=4,綜上得t的值為4.(3) 同(2)可知vl時，Q在AF之間不存在CP二BQ, Q在FC之間存在CP二BQ, Q在F 點時，顯然CPHBQ,T運動時間為t,則AP=t, AQ=vt,.PD=6-t, QF=vt-6,由 PD=QF 得 6-t=vt-6,12-r整理得v =，tT Q 在 FC 之間，即 AFVAQWAC12-/A 6 VZ 10,代入=得t612-r10,解得2/v612-/所以答案為v = 一(2r0)，根據(jù)AB2+OB2=OA2,構(gòu)建方程即可解決問題；(2) 由角平分線的性質(zhì)定理證明CH=CF, CG=CF即可解決問題

46、；(3) 如圖3中，在BC的延長線上取點P,使得CP=DB,連接AP.只要證明 AACPACDB (SAS) , aABP是等腰直角三角形即可解決問題：根據(jù)SAS即可判斷滿足ZXACP與ABDC全等的點是Pi、P2, P3：【詳解】解：(1) 點A在射線y=x (x0)上，故可以假設(shè)A (a, ) (a0),9：AB丄x軸，:.AB=OB=o,即4BO是等腰直角三角形，:.AB2WB2 = OAAa2+a工=(5/2)2解得a=5,.點B坐標為(5, 0).(2)如圖2中，作CF丄x軸于F.（圖2）VOC 平分ZAOB, CH丄O,:CH=CF、AOB是等腰直角三角形， ZAOB=45,:BC/OE,:.ZCBG=ZAOB=45 得到 BC 平分ZABF,TCG丄B&, CF丄3F,:CG=CF、CG=CH （3）如圖3中，在3C的延長線上取點幾使得CP=DB,連接4P.由（2）可知&C平分ZDAE,1 1A ZDAC= - ZDAE= - （180 45） =67.5%2 2由 OC 平分Z&OB 得到 ZDOB=丄 ZAOB=22.52:.ZADC=ZOD3=90 - 22.5 = 67.5, ZADC= ZO4C=675,:.AC=DC,Z BDC= Z OBD+ Z DOB=90+22.5 = 112.5