高中物理中的彈簧問(wèn)題歸類剖析

1、.常見(jiàn)彈簧類問(wèn)題歸類剖析高考分析：輕彈簧是一種理想化的物理模型，以輕質(zhì)彈簧為載體，設(shè)置復(fù)雜的物理情景，考查力的概念，物體的平衡，牛頓定律的應(yīng)用及能的轉(zhuǎn)化與守恒，是高考命題的重點(diǎn)，此類命題幾乎每年高考卷面均有所見(jiàn) . 由于彈簧彈力是變力，學(xué)生往往對(duì)彈力大小和方向的變化過(guò)程缺乏清晰的認(rèn)識(shí)，不能建立與之相關(guān)的物理模型并進(jìn)行分類，導(dǎo)致解題思路不清、效率低下、錯(cuò)誤率較高. 在具體實(shí)際問(wèn)題中，由于彈簧特性使得與其相連物體所組成系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有很強(qiáng)的綜合性和隱蔽性，加之彈簧在伸縮過(guò)程中涉及力和加速度、功和能等多個(gè)物理概念和規(guī)律，所以彈簧類問(wèn)題也就成為高考中的重、難、熱點(diǎn) . 我們應(yīng)引起足夠重視 .彈簧類命

2、題突破要點(diǎn)：1. 彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力 . 當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時(shí)，要注意彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對(duì)應(yīng) . 在題目中一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手，先確定彈簧原長(zhǎng)位置，現(xiàn)長(zhǎng)位置，找出形變量 x 與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對(duì)應(yīng)的彈力大小、方向，以此來(lái)分析計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能變化 .2. 因彈簧（尤其是軟質(zhì)彈簧） 其形變發(fā)生改變過(guò)程需要一段時(shí)間， 在瞬間內(nèi)形變量可以認(rèn)為不變 .因此，在分析瞬時(shí)變化時(shí)，可以認(rèn)為彈力大小不變，即彈簧的彈力不突變.3.在求彈簧的彈力做功時(shí)，因該變力為線性變化，可以先求平均力，再用功的定義進(jìn)行計(jì)算，也可 據(jù) 動(dòng) 能 定 理和 功

3、能 關(guān) 系 ： 能 量 轉(zhuǎn) 化 和 守 恒 定 律 求 解 . 同 時(shí) 要 注 意 彈 力 做 功 的 特 點(diǎn) ： Wk=-（1212. 彈性勢(shì)能的公2kx2 -2kx1 ），彈力的功等于彈性勢(shì)能增量的負(fù)值或彈力的功等于彈性勢(shì)能的減少式 Ep=1 kx2，高考不作定量要求，可作定性討論. 因此，在求彈力的功或彈性勢(shì)能的改變時(shí)，一般以2能量的轉(zhuǎn)化與守恒的角度來(lái)求解.一、“輕彈簧”類問(wèn)題在中學(xué)階段，凡涉及的彈簧都不考慮其質(zhì)量，稱之為“輕彈簧”，是一種常見(jiàn)的理想化物理模型 .由于“輕彈簧”質(zhì)量不計(jì)，選取任意小段彈簧，其兩端所受張力一定平衡，否則，這小段彈簧的加速度會(huì)無(wú)限大 . 故簧輕彈簧中各部分間的

4、張力處處相等，均等于彈簧兩端的受力 . 彈一端受力為F ，另一端受力一定也為F 。若是彈簧秤，則彈簧秤示數(shù)等于彈簧自由端拉力的大小.【例 1】如圖 3-7-1 所示，一個(gè)彈簧秤放在光滑的水平面上，外殼質(zhì)量m 不能忽略，彈簧及掛鉤質(zhì)量不計(jì)，施加水平方向的力F1、 F2，且 F1F2 ，則彈簧秤沿水平方向的加速度為，彈簧秤的讀數(shù)為.圖 3-7-1【解析】以整個(gè)彈簧秤為研究對(duì)象，利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：F1F2 ma ，即 a F1 F2 m僅以輕質(zhì)彈簧為研究對(duì)象，則彈簧兩端的受力都 F1 ，所以彈簧秤的讀數(shù)為 F1.說(shuō)明 : F2 作用在彈簧秤外殼上，并沒(méi)有作用在彈簧左端，彈簧左端的受力是由外殼內(nèi)側(cè)提

5、供的 .【答案】 aF1F2Fm1練習(xí)：如圖所示，四個(gè)完全相同的彈簧都處于水平位置，它們的右端受到大小皆為F 的拉力作用，而左端的情況各不相同：彈簧的左端固定在墻上；彈簧的左端受大小也為F 的拉力作用；彈簧的左端拴一小物塊，物塊在光滑的桌面上滑動(dòng)；彈簧的左端拴一小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動(dòng)若認(rèn)為彈簧質(zhì)量都為零，以L1、 L2、 L3、L4 依次表示四個(gè)彈簧的伸長(zhǎng)量，則有 () AL LBL L3214.CL LDL L1324【解析】彈簧伸長(zhǎng)量由彈簧的彈力( F 彈 ) 大小決定由于彈簧質(zhì)量不計(jì)，這四種情況下，F(xiàn) 彈 都等于彈簧右端拉力 F，因而彈簧伸長(zhǎng)量均相同，故選D 項(xiàng)答案D二、質(zhì)量不

6、可忽略的彈簧【例 2】如圖 3-7-2所示，一質(zhì)量為M 、長(zhǎng)為 L 的均質(zhì)彈簧平放在光滑的水平面 , 在彈簧右端施加一水平力F 使彈簧向右做加速運(yùn)動(dòng) .試分析彈簧上各部分的受力情況.圖 3-7-2【解析】 彈簧在水平力作用下向右加速運(yùn)動(dòng)，據(jù)牛頓第二定律得其加速度 aF ,取彈簧左部任意長(zhǎng)度x 為研究對(duì)象，設(shè)其質(zhì)量為m 得彈簧上的彈力為：MTxmaxFxFMMLL【答案】 Txx FL三、彈簧長(zhǎng)度的變化問(wèn)題（胡克定律的理解與應(yīng)用）設(shè)勁度系數(shù)為k 的彈簧受到的壓力為F1 時(shí)壓縮量為x1，彈簧受到的拉力為F2 時(shí)伸長(zhǎng)量為 x2 ，此時(shí)的“ - ”號(hào)表示彈簧被壓縮. 若彈簧受力由壓力F1 變?yōu)槔?F

7、2 ，彈簧長(zhǎng)度將由壓縮量x1 變?yōu)樯扉L(zhǎng)量 x2 ，長(zhǎng)度增加量為1x2 . 由胡克定律有 :1k(1,2kx2 .xFx )F則: F2( F1) kx2( kx1 ) , 即 F k x說(shuō)明 : 彈簧受力的變化與彈簧長(zhǎng)度的變化也同樣遵循胡克定律，此時(shí) x 表示的物理意義是彈簧長(zhǎng)度的改變量，并不是形變量 .【例 3】如圖 3-7-6所示， 勁度系數(shù)為 k1的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為m1 、 m2 的物塊1、2 拴接，勁度系數(shù)為k2 的輕質(zhì)彈簧上端與物塊2拴接，下端壓在桌面上( 不拴接 ) ，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài). 現(xiàn)將物塊1 緩慢地豎直上提，直到下面那個(gè)彈簧的下端剛脫離桌面.在此過(guò)程中，物塊2

8、的重力勢(shì)能增加了,物塊 1 的重力勢(shì)能增加了.【解析】由題意可知，彈簧k2 長(zhǎng)度的增加量就是物塊2 的高度增加量，彈簧k2長(zhǎng)度的增加量與彈簧 k1 長(zhǎng)度的增加量之和就是物塊1 的高度增加量 .圖 3-7-6由物體的受力平衡可知，彈簧k 2 的彈力將由原來(lái)的壓力(m1m2 )g 變?yōu)?0, 彈簧 k1 的彈力將由原來(lái)的 壓 力 m1 g 變 為 拉 力 m2 g , 彈 力 的 改 變 量 也 為 (m1m2 ) g. 所 以 k1 、 k2彈簧的伸長(zhǎng)量分別為 : 1 (m1m2 ) g 和 1 (m1m2 )gk1k2故物塊 2 的重力勢(shì)能增加了1m2(m1m2 )g 2 ，物塊 1 的重力勢(shì)

9、能增加了(11)m1( m1m2 )g 2k2k1k2【答案】 1 m2 (m1m2 )g 2( 11 )m1 (m1 m2 ) g2k2k1k2四、 與物體平衡相關(guān)的彈簧問(wèn)題【例 4】（ 2013 年山東卷）如圖所示，用完全相同的輕彈簧A、B、C 將兩個(gè)相同的小球連接并懸掛，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧A 與豎直方向的夾角為30o，彈簧 C 水平，則彈簧A、 C 的伸長(zhǎng)量之比為A 3:4 B.4 :3C. 1:2 D. 2:1【解析】 將兩小球看做一個(gè)整體，對(duì)整體受力分析， 可知整體受到重力、 A、C的拉力共3 個(gè)力的作用，由于彈簧處于平衡狀態(tài)，將輕彈簧A 的拉力沿豎直方向和水平方向分解可知水平方

10、向上滿足FAxFA sin 30FC，故 FA:FC2 :1 ，又三個(gè)彈簧的勁度系數(shù)相同，據(jù)胡克定.律 Fkx 可知彈簧 A、C 的伸長(zhǎng)量之比為 2:1 ?！敬鸢浮?D練習(xí) 1：（ 2010 年山東卷）如圖2 所示，質(zhì)量分別為 m1、 m2 兩個(gè)物體通過(guò)輕彈簧連接，在力下一起沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)（m1在地面， m2在空中），力F 與水平方向成角則 m1 所受支持力N 和摩擦力f 正確的是（）F（A） Nm1 gm2 gF sinf（B） Nm1gm2 gF cosm（ C） fF cos（ D） fF sin圖 2分析 根據(jù)題意有對(duì)兩者用整體法，因在力F 的作用下一起沿水平F 的作用mF方

11、向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，得水平和豎直方向受力平衡，所以豎直方向N m1g m2 g F sin，故 A正確，水平方向 f F cos，故 C正確，答案 AC選項(xiàng) .練習(xí) 2：如圖所示，在水平板左端有一固定擋板，擋板上連接一輕質(zhì)彈簧。緊貼彈簧放一質(zhì)量為m的滑塊，此時(shí)彈簧處于自然長(zhǎng)度。已知滑塊與擋板的動(dòng)摩擦因數(shù)及最大靜摩擦因數(shù)均為3 /3 ?，F(xiàn)將板的右端緩慢抬起使板與水平面間的夾角為，最后直到板豎直， 此過(guò)程中彈簧彈力的大小F 隨夾角的變化關(guān)系可能是圖中的（）【解析】選取滑塊為研究對(duì)象，其肯定受到豎直向下的重力mg、垂直斜面向上的支持力N（大小為mgcos）和沿斜面向上的摩擦力f 的作用，可能還會(huì)受到沿

12、斜面向上的彈簧彈力F 的作用，當(dāng)較小，即mgsin mgcos時(shí)，彈簧彈力F=0，代入數(shù)據(jù)可得此時(shí)/6 ，據(jù)此可排除選項(xiàng)AB；當(dāng) mgsin mgcos，即 /6 時(shí)， F 0，根據(jù)平衡條件可得F=mgsin - mgcos，當(dāng) =3 1/3 時(shí)， F= 3 mg 2 mg，所以選項(xiàng)C 正確， D 錯(cuò)誤。本題答案為C。五、與動(dòng)力學(xué)相關(guān)的彈簧問(wèn)題【例 5】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧豎直放在水平地面上，小球A 由彈簧正上方某高度自由落下，與彈簧接觸后，開(kāi)始?jí)嚎s彈簧，設(shè)此過(guò)程中彈簧始終服從胡克定律，那么在小球壓縮彈簧的過(guò)程中，以下說(shuō)法中正確的是()A. 小球加速度方向始終向上B. 小球加速度方向始終向下C

13、. 小球加速度方向先向下后向上D. 小球加速度方向先向上后向下參考答案 :C (試分析小球在最低點(diǎn)的加速度與重力加速度的大小關(guān)系)練習(xí) 1：如圖所示，一輕質(zhì)彈簧一端系在墻上的O 點(diǎn)，自由伸長(zhǎng)到B 點(diǎn)今用一小物體m把彈簧壓縮到 A 點(diǎn)，然后釋放，小物體能運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)靜止，物體與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)恒定，試判斷下列說(shuō)法正確的是()A. 物體從 A 到 B 速度越來(lái)越大，從B 到 C 速度越來(lái)越小.B. 物體從 A 到 B 速度越來(lái)越小，從B 到 C 加速度不變C. 物體從 A 到 B 先加速后減速，從B 一直減速運(yùn)動(dòng)D. 物體在 B 點(diǎn)受到的合外力為零參考答案 :C練習(xí) 2：如圖所示，一輕質(zhì)彈簧一

14、端與墻相連，另一端與一物體接觸，當(dāng)彈簧在O 點(diǎn)位置時(shí)彈簧沒(méi)有形變，現(xiàn)用力將物體壓縮至A 點(diǎn)，然后放手。物體向右運(yùn)動(dòng)至C 點(diǎn)而靜止， AC距離為 L。第二次將物體與彈簧相連，仍將它壓縮至A 點(diǎn)，則第二次物體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過(guò)的總路程 s 可能為：A.s=LB.sLC.sLD.條件不足，無(wú)法判斷參考答案 :AC( 建議從能量的角度、物塊運(yùn)動(dòng)的情況考慮)練習(xí) 3： 如圖，一傾角為的斜面固定在水平地面上，一質(zhì)量為m有小球與彈簧測(cè)力計(jì)相連在一木板的端點(diǎn)處，且將整個(gè)裝置置于斜面上，設(shè)木板與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為，現(xiàn)將木板以一定的初速度v0 釋放，小球與木板之間的摩擦不計(jì)，則（）A如果0 ，則測(cè)力計(jì)示數(shù)也為零B如

15、果 utan，則測(cè)力計(jì)示數(shù)大于mg sinC如果tan，則測(cè)力計(jì)示數(shù)等于mg sinD無(wú)論取何值，測(cè)力計(jì)示數(shù)都不能確定【解析】 本例是將彈簧模型遷移到斜面上，而且設(shè)置了木板與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)不同來(lái)判斷測(cè)力計(jì)的示數(shù)的變化。 依題意可知，當(dāng)0 時(shí)，球與木板處于完全失重狀態(tài)，測(cè)力計(jì)示數(shù)為零； 當(dāng) utan時(shí)，球與木板的加速度為 g sing cos，隔離分析小球就可知道B 答案正確；同理可分析C 答案正確，從而選擇 A、 B、C 答案?！军c(diǎn)評(píng)】本例是動(dòng)力學(xué)在彈簧模型中的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是分析整體的加速度，然后分析小球的受力來(lái)確定測(cè)力計(jì)示數(shù)的大小。練習(xí) 4：（ 2012 四川） 如圖所示，勁度數(shù)為

16、 k 的輕彈簧的一端固定在墻上，另一端與置于水平面上質(zhì)量為 m 的物體接觸（未連接） ，彈簧水平且無(wú)形變。用水平力F 緩慢推動(dòng)物體，在彈性限度內(nèi)彈簧長(zhǎng)度被壓縮了x0 ，此時(shí)物體靜止。撤去F 后，物體開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的最大距離為4 x0 。物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，重力加速度為g 。則A撤去 F 后，物體先做勻加速運(yùn)動(dòng)，再做勻減速運(yùn)動(dòng)B撤去 F 后，物體剛運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為kx0gmC物體做勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x02gD物體開(kāi)始抽左運(yùn)動(dòng)到速度最大的過(guò)程中克服摩擦力做的功為mg)mg( x0kBD思維發(fā)散：若 F 為恒力，從彈簧原長(zhǎng)處壓縮彈簧，分析以后的運(yùn)動(dòng)情況。并和例5 相對(duì)比。六、 彈簧

17、彈力瞬時(shí)問(wèn)題（彈簧的彈力不能突變）彈簧 ( 尤其是軟質(zhì)彈簧 ) 彈力與彈簧的形變量有關(guān)，由于彈簧兩端一般與物體連接，因彈簧形變過(guò)程需要一段時(shí)間， 其長(zhǎng)度變化不能在瞬間完成，因此彈簧的彈力不能在瞬間發(fā)生突變 . 即可以認(rèn)為彈力大小和方向不變，與彈簧相比較，輕繩和輕桿的彈力可以突變.【例 6】如圖 3-7-3 所示，木塊 A 與 B 用輕彈簧相連，豎直放在木塊C 上，三者靜置于地面， A、B、C 的質(zhì)量之比是1:2:3. 設(shè)所有接觸面都光滑，當(dāng)沿水平方向迅速抽出木塊 C 的瞬時(shí)，木塊A 和 B 的加速度分別是aA =與 aB =.【解析】由題意可設(shè)A、B、 C 的質(zhì)量分別為m、2m、3m ，以木塊

18、 A 為研究對(duì)象，抽出木塊C 前，木塊A受到重力和彈力一對(duì)平衡力，抽出木塊C 的瞬時(shí)，木塊A 受到重力和彈力的大小和方向均不變，故木塊 A 的瞬時(shí)加速度為0. 以木塊A、B 為研究對(duì)象，由平衡條件可知，木塊C 對(duì)木塊B 的作用力FCB3mg .以木塊 B 為研究對(duì)象，木塊B 受到重力、彈力和FCB 三力平衡，抽出木塊C 的瞬時(shí)，木塊B 受到重力和彈力的大小和方向均不變，F(xiàn)CB 瞬時(shí)變?yōu)?，故木塊 C 的瞬時(shí)合外力為3mg , 豎直向下，瞬時(shí)加速度為 1.5g .【答案】 0 ， 1.5g說(shuō)明：區(qū)別于不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)繩中張力瞬間可以突變.【例 4】如圖 3-7-4 所示，質(zhì)量為m 的小球用水平彈簧

19、連接，并用傾角為300 的光滑木板AB 托住，使小球恰好處于靜止?fàn)顟B(tài). 當(dāng) AB 突然向下撤離的瞬間，小球的加速度為( )A. 0B. 大小為 2 3 g ，方向豎直向下3C. 大小為 2 3 g ，方向垂直于木板向下3圖 3-7-42 3 g ,D. 大小為方向水平向右3【解析】末撤離木板前，小球受重力G 、彈簧拉力 F 、木板支持力FN 作用而平衡，如圖 3-7-5mg所示，有 FN.cos撤離木板的瞬間， 重力 G 和彈力 F 保持不變 ( 彈簧彈力不能突變) ，而木板支持力FN 立即消失 , 小球所受 G 和 F 的合力大小等于撤之前的FN ( 三力平衡 ) ，方向與 FN 相反，故加

20、速度方向?yàn)榇怪蹦景逑蛳?，大小為FNg2 3圖 3-7-5acosgm3【答案】 C.七、與彈簧相關(guān)的圖像問(wèn)題【例 7】一根大彈簧內(nèi)套一根小彈簧，大彈簧比小彈簧長(zhǎng)0.2m，它們的一端固定，另一端自由，彈力與形變量的關(guān)系如圖所示，求這兩根彈簧的勁度系數(shù) k( 大彈簧 ) 和 k ( 小彈簧 ) 分別為多少 ?12( 參考答案 : F=kxF=kx k 1=100N/m k 2=200N/m)練習(xí) 1：一個(gè)實(shí)驗(yàn)小組在“探究彈力和彈簧伸長(zhǎng)量的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)中，使用兩條不同的輕質(zhì)彈簧a 和 b，得到彈力與彈簧長(zhǎng)度的關(guān)系圖象如圖8 所示下列表述正確的是()A a 的原長(zhǎng)比b 的長(zhǎng)B a 的勁度系數(shù)比b 的大

21、C a 的勁度系數(shù)比b 的小D測(cè)得的彈力與彈簧的長(zhǎng)度成正比答案： B練習(xí) 2：某同學(xué)在做“探究彈力和彈簧伸長(zhǎng)的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，他先把彈簧圖 8平放在桌面上，使其自然伸長(zhǎng)，用直尺測(cè)出彈簧的原長(zhǎng)L ，再把彈簧豎直懸掛起0來(lái)，掛上鉤碼后測(cè)出彈簧伸長(zhǎng)后的長(zhǎng)度L，把 L L0 作為彈簧的伸長(zhǎng)量 x，這樣操作，由于彈簧自身重力的影響，最后得出的圖線，可能是圖366 中的 ().圖 366答案： C練習(xí) 3：如圖 3 6 7 所示，一個(gè)彈簧一端固定在傳感器上，傳感器與電腦相連當(dāng)對(duì)彈簧施加變化的作用力 ( 拉力或壓力 ) 時(shí)，在電腦上得到了彈簧形變量與彈簧產(chǎn)生的彈力大小的關(guān)系圖象( 如圖乙 ) 則下列判斷正確

22、的是()圖 367A彈簧產(chǎn)生的彈力和彈簧的長(zhǎng)度成正比B彈簧長(zhǎng)度的增加量與對(duì)應(yīng)的彈力增加量成正比C該彈簧的勁度系數(shù)是200 N/mD該彈簧受到反向壓力時(shí)，勁度系數(shù)不變答案： BCD練習(xí)4：如圖所示，一輕質(zhì)彈簧豎直立在水平地面上，彈簧一端固定在地面上。一小球從高處自由下落到彈簧上端，將彈簧壓縮至最低點(diǎn)。在小球開(kāi)始下落至最低點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。在此過(guò)程中，能正確表示小球的加速度a 隨下降位移x 的大小變化關(guān)系是下面圖像中的答案： B八、彈簧形變量可以代表物體的位移彈簧彈力滿足胡克定律Fkx ，其中 x 為彈簧的形變量，兩端與物體相連時(shí)x 亦即物體的位移，因此彈簧可以與運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)結(jié)合起

23、來(lái)編成習(xí)題.【例 8】如圖3-7-7所示，在傾角為的光滑斜面上有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連.圖 3-7-7.接的物塊 A、B ，其質(zhì)量分別為 mA、 mB ，彈簧的勁度系數(shù)為 k , C 為一固定擋板，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài) , 現(xiàn)開(kāi)始用一恒力 F 沿斜面方向拉 A 使之向上運(yùn)動(dòng)，求 B 剛要離開(kāi) C 時(shí) A 的加速度 a 和從開(kāi)始到此時(shí)A 的位移【解析】解得 : x1d ( 重力加速度為g ).系統(tǒng)靜止時(shí) , 設(shè)彈簧壓縮量為 x1 ，彈簧彈力為 F1 ，分析 A 受力可知 : F1 kx1 mA g sin mA g sink在恒力 F 作用下物體 A 向上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)， 彈簧由壓縮逐漸變?yōu)樯扉L(zhǎng)狀態(tài). 設(shè)物

24、體 B 剛要離開(kāi)擋板 C時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為 x2 ，分析物體 B 的受力有 : kx2mB g sin, 解得 x2mB g sink設(shè)此時(shí)物體 A 的加速度為 a ，由牛頓第二定律有: F mAg sin kx2mAaF (mA mB )g sin解得 : amA因 物 體 A 與 彈 簧 連 在 一 起 ， 彈 簧 長(zhǎng) 度 的 改 變 量 代 表 物 體 A 的 位 移 ， 故 有 dx1 x2 ， 即(mA mB )g sindk( mA mB ) g sin【答案】 dk九、最大轉(zhuǎn)速和最小轉(zhuǎn)速問(wèn)題【例 9】 有一水平放置的圓盤，上面放一個(gè)勁度系數(shù)為k 的輕彈簧，其一端固定于軸O 上，另一

25、端系著質(zhì)量為 m的物體 A，物體 A與盤面間最大靜摩擦力為Ffm，彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)將彈簧伸長(zhǎng)L 后置于旋轉(zhuǎn)的桌面上，如圖5 所示，問(wèn)：要使物體相對(duì)于桌面靜止，圓盤轉(zhuǎn)速n 的最大值和最小值各是多少？圖 5解析：當(dāng)轉(zhuǎn)速n 較大時(shí)，靜摩擦力與彈簧彈力同向，即：k L F fmm(2 n1 ) 2 ( LL) n11k LF fm2m( LL )當(dāng)轉(zhuǎn)速 n 較小時(shí)，靜摩擦力與彈簧彈力反向，即：k L Ffmmn 2(LL) (22 )n21k LF fm2m( LL)1k LF fm和1k LFfm。所以圓盤轉(zhuǎn)速 n 的最大值和最小值分別為：m( LL)2m( LL )2拓展： 若盤面光滑，彈簧的原長(zhǎng)

26、為L(zhǎng)0，當(dāng)盤以 W勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為多少？k xmw2 ( L0x).十、彈力變化的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析（彈簧振子振動(dòng)模型）彈簧的彈力是一種由形變決定大小和方向的力，注意彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對(duì)應(yīng) . 一般應(yīng)從彈簧的形變分析入手，先確定彈簧原長(zhǎng)位置、現(xiàn)長(zhǎng)位置及臨界位置，找出形變量 x 與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對(duì)應(yīng)的彈力大小、方向，彈性勢(shì)能也是與原長(zhǎng)位置對(duì)應(yīng)的形變量相關(guān) . 以此來(lái)分析計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能變化.【例 10】如圖 3-7-8 所示，質(zhì)量為 m 的物體 A 用一輕彈簧與下方地面上質(zhì)量也為m 的物體 B 相連，開(kāi)始時(shí) A 和 B 均處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)

27、彈簧壓縮量為x0 ，一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連接物體A 、另一端 C 握在手中，各段繩均剛好處于伸直狀態(tài)，物體 A 上方的一段繩子沿豎直方向且足夠長(zhǎng). 現(xiàn)在 C 端施加水平恒力F 使物體A 從靜止開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng) .( 整個(gè)過(guò)程彈簧始終處在彈性限度以內(nèi)).(1) 如果在 C 端所施加的恒力大小為3mg，則在物體 B 剛要離開(kāi)地面時(shí)物體A 的速度為多大 ?圖 3-7-8(2) 若將物體 B 的質(zhì)量增加到2m ，為了保證運(yùn)動(dòng)中物體B 始終不離開(kāi)地面，則 F 最大不超過(guò)多少?( 此問(wèn)自主招生選做 )【解析】由題意可知，彈簧開(kāi)始的壓縮量x0mg ，k物體 B 剛要離開(kāi)地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量也是x0m

28、g .k(1)若F3mg , 在彈簧伸長(zhǎng)到 x0 時(shí)，物體 B 離開(kāi)地面，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能與施力前相等，F(xiàn) 所做的功等于物體A 增加的動(dòng)能及重力勢(shì)能的和 .即： F2x mg 2x01 mv2 得 : v 22gx0(2) 所施加的力為恒力2F0 時(shí)，物體 B 不離開(kāi)地面，類比豎直彈簧振子，物體A 在豎直方向上除了受變化的彈力外，再受到恒定的重力和拉力. 故物體 A 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) .在最低點(diǎn)有： F0mgkx0 ma1 , 式中 k 為彈簧勁度系數(shù)，a1 為在最低點(diǎn)物體A 的加速度 .在最高點(diǎn)，物體B 恰好不離開(kāi)地面，此時(shí)彈簧被拉伸，伸長(zhǎng)量為2x0，則 :k(2x0 ) mgF0ma2而 kx0

29、 mg ，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在上、下振幅處a1a2 ，解得：F03mg2也可以利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置求恒定拉力F0 . 物體 A 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)壓縮量為x0 ，最高點(diǎn)伸長(zhǎng)量為 2x0，則上下運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)為平衡位置，即伸長(zhǎng)量為所在處. 由 mgx0F0,解得:F03mgk.3mg22【答案】2 2gx02說(shuō)明 : 區(qū)別原長(zhǎng)位置與平衡位置 . 和原長(zhǎng)位置對(duì)應(yīng)的形變量與彈力大小、方向、 彈性勢(shì)能相關(guān) , 和平衡位置對(duì)應(yīng)的位移量與回復(fù)大小、方向、速度、加速度相關(guān).十一與彈簧相關(guān)的臨界問(wèn)題通過(guò)彈簧相聯(lián)系的物體，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)常涉及臨界極值問(wèn)題：如物體速度達(dá)到最大；彈簧形變量達(dá)到最大；使物體恰好要離開(kāi)地面；相互接觸

30、的物體恰好要脫離等. 此類問(wèn)題的解題關(guān)鍵是利用好臨界條件，得到解題有用的物理量和結(jié)論.提示：兩物體分離之前加速度與速度均相同，剛分離時(shí)二者之間彈力為零?！纠?11】如圖 3-7-9 所示， A、B 兩木塊疊放在豎直輕彈簧上，已知木塊 A、B 的質(zhì)量分別為 0.42kg 和 0.40kg ，彈簧的勁度系數(shù) k 100N / m ，若在 A 上作用一個(gè)豎直向上的力F ,使 A 由靜止開(kāi)始以 0.5m/ s2 的加速度豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)（g10m / s2 ）求：(1) 使木塊 A 豎直做勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，力F 的最大值 ;(2) 若木塊由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，直到A、 B 分離的過(guò)程中，彈簧的

31、彈性勢(shì)能減少了圖 3-7-90.248J ，求這一過(guò)程中 F 對(duì)木塊做的功 . 當(dāng) F0 ( 即不加豎直向上F 力 ) 時(shí)，設(shè)木塊【解析】 此題難點(diǎn)在于能否確定兩物體分離的臨界點(diǎn)A、B 疊放在彈簧上處于平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x , 有 : kx(mA( mAmB ) gmB ) g , 即 xk.對(duì)木塊 A施加力 F ， A、 B受力如圖3-7-10 所示 , 對(duì)木塊 A有 :F N mmA aA g對(duì)木塊B有 :kxN mBgm aB可知，當(dāng) N0時(shí)，木塊 A、B 加速度相同，由式知欲使木塊A 勻加速運(yùn)動(dòng)，隨 N 減小F增大 ,當(dāng)N0時(shí) ,F取得了最大值Fm, 即 :mAg )4.41NFm

32、(a又當(dāng) N0時(shí)， A、 B 開(kāi)始分離， 由式知，彈簧壓縮量kx mB (amB ( a g)g) ，則 xk圖 3-7-10木塊 A 、 B 的共同速度： v22a( xx )由題知，此過(guò)程彈性勢(shì)能減少了WPEP0.248J設(shè) F 力所做的功為 WF ，對(duì)這一過(guò)程應(yīng)用功能原理，得：WF1 (mA mB )v2(mAmB ) g( x x ) EP2聯(lián)立式，且EP0.248J,得：W9.6410 2JF【答案】（ 1）Fm4.412WF9.6410JN練習(xí)1：如圖所示，輕質(zhì)彈簧上面固定一塊質(zhì)量不計(jì)的薄板，在薄板上放重物，用手將重物向下壓縮到一定程度后，突然將手撤去，則重物將被彈簧彈射出去，則在

33、彈射過(guò)程中 ( 重物與彈簧脫離之前) 重物的運(yùn)動(dòng)情況是()A. 一直加速運(yùn)動(dòng)B勻加速運(yùn)動(dòng)C. 先加速運(yùn)動(dòng)后減速運(yùn)動(dòng)D 先減速運(yùn)動(dòng)后加速運(yùn)動(dòng)參考答案： C【解析】物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變?nèi)Q于所受合外力所以，對(duì)物體進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析是解決此題的關(guān)鍵，物體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到重力和彈簧彈力的作用剛放手時(shí)，彈力大于重力，合力向上，物體向上加速運(yùn)動(dòng)，但隨著物體上移，彈簧形變量變小，彈力隨之變小，合力減小，加速度減??；當(dāng)彈力減至與重力相等的瞬間，合力為零，加速度為零，此時(shí)物體的速度最大；此后，彈力繼續(xù)減小，物體受到的合力向下，物體做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，二者分離練習(xí) 2：如圖所示，輕彈簧上端固定，下端

34、連接一質(zhì)量為m 的重物，先由托盤托住 m ，使彈簧比自然長(zhǎng)度縮短L，然后由靜止開(kāi)始以加速度a勻加速向下運(yùn)動(dòng)。已知 a p g ，彈簧勁度系數(shù)為 k ，求經(jīng)過(guò)多少時(shí)間托盤 M將與 m 分開(kāi)？【解析】當(dāng)托盤與重物分離的瞬間， 托盤與重物雖接觸但無(wú)相互作用力，此時(shí)重物只受到重力和彈簧的作用力，在這兩個(gè)力的作用下，當(dāng)重物的加速度也為a 時(shí)，重物與托盤恰好分離。由于ag ，故此時(shí)彈M簧必為伸長(zhǎng)狀態(tài)，然后由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解：ma根據(jù)牛頓第二定律得：mgkx mam gaxk由得：Lx1at 2由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：2kLm ga1 at2聯(lián)立式有：k22 kL m( g a) 解得 tka【點(diǎn)評(píng)】本

35、題屬于牛頓運(yùn)動(dòng)定律中的臨界狀態(tài)問(wèn)題。求解本類題型的關(guān)鍵是找出臨界條件，同時(shí)還要能從宏觀上把握其運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析出分離瞬間彈簧的狀態(tài)。我們還可這樣探索：若將此題條件改為a g ，情況又如何呢？練習(xí) 3：一彈簧秤的秤盤質(zhì)量12P，彈簧質(zhì)Fm=1.5kg ，盤內(nèi)放一質(zhì)量為m=10.5kg 的物體量不計(jì)，其勁度系數(shù)為 k=800N/m，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖2 所示?，F(xiàn)給 P 施加一個(gè)豎直向上的力 ，使P從靜止開(kāi)始向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已知在最初 0.2s 內(nèi)F是變化的，F(xiàn).圖 2.在 0.2s 后是恒定的，求F 的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s2）解析 因?yàn)樵?t =0.2s 內(nèi) F 是變力

36、，在t =0.2s 以后 F 是恒力，所以在t =0.2s 時(shí)， P 離開(kāi)秤盤。此時(shí) P 受到盤的支持力為零，由于盤的質(zhì)量m1=1.5kg ，所以此時(shí)彈簧不能處于原長(zhǎng)。設(shè)在00.2s 這段時(shí)間內(nèi) P 向上運(yùn)動(dòng)的距離為x，對(duì)物體 P 受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可得：F+FN- m2g=m2a，對(duì)于盤和物體P 整體應(yīng)用牛頓第二定律可得：(m1m2 ) gm2 ) g (m1 m2 )a ，F(xiàn) kx (m1kNxm2 g m1 a，而x1 at 2，令 F =0，并由上述二式求得k2所以求得 a=6m/s 2，當(dāng) P 開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力最小，此時(shí)對(duì)盤和物體P 整體有 Fmin=( m1+m2) a=72N，當(dāng) P 與盤分離時(shí)拉力 F 最大， Fmax=m2( a+g)=168N。點(diǎn)評(píng) 彈簧長(zhǎng)度改變，彈力發(fā)生變化問(wèn)題：要從牛頓第二定律入手先分析加速度，從而分析物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。而物體的運(yùn)動(dòng)又導(dǎo)致彈力的變化，變化的規(guī)律又會(huì)影響新的運(yùn)動(dòng)，由此畫出彈簧的幾個(gè)特殊狀態(tài)（原長(zhǎng)、平衡位置、最大長(zhǎng)度）尤其重要。十二、彈力做功與彈性勢(shì)能的變化問(wèn)題彈簧伸長(zhǎng)或壓縮時(shí)會(huì)儲(chǔ)存一定的彈性勢(shì)能，因此彈簧的彈性勢(shì)能可以與機(jī)械能守恒規(guī)律綜合應(yīng)用,我們用公式 EP1kx2 計(jì)算彈簧勢(shì)能，彈簧在相等形變量時(shí)所具有的彈性勢(shì)能相等一般是考試熱點(diǎn).2. 彈簧的彈力做功是變力做功，一般可以用以下四種方法求彈簧彈力做功等于彈性勢(shì)能的減少