2019年廣東省梅州市高考數學一模試卷(文科)

1、2019 年廣東省梅州市高考數學一模試卷（文科）副標題題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）1. 已知集合 A= x|x=3n-1， nN ， B=6 ， 8，10， 12，14 ，則集合 AB 中元素的個數為（）A. 2B. 3C. 4D. 52.已知復數z滿足 i（ 2-z） =3+i ，則 |z|=（）A.B.C. 5D. 103.下列函數為奇函數的是（）D. y=ex-e-xA. y=B. y=|sinx|C. y=cosx4.頂點在原點， 對稱軸為 x 軸的拋物線的焦點在直線2x-y-2=0 上，則此拋物線的方程為（）A. y2=2xB. y2=-2 x

2、C. y2 =4xD. y2=-4 x5.等差數列 an 的前 n 項和為 Sn，且滿足2S3=a3+a7=18，則 a1=（）A. 1B.2C. 3D. 46. 某中學 2018 年的高考考生人數是 2015 年高考考生人數的 1.5 倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W情況， 統(tǒng)計了該校 2015 年和 2018 年的高考情況， 得到如圖柱狀圖：則下列結論正確的是（）A. 與 2015 年相比， 2018 年一本達線人數減少B. 與 2015 年相比， 2018 年二本達線人數增加了0.5 倍C. 2015 年與 2018年藝體達線人數相同D. 與 2015 年相比， 2018 年不上線的人數

3、有所增加7. 已知 =（ 2， 1）， =（ 3， ），若（ 2- ） ，則實數 的值等于（）A. 3B. -1C.-1或3D. 28. 如圖， RtABC 中， CAB =90 ，AB=3 ，AC=4，以 AC 所在直線為軸旋轉一周，所得幾何體的表面積等于（）A. 24B. 12第1頁，共 18頁C.D.9.若變量 x， y 滿足約束條件，則 z=2x-y 的最小值等于（）A.B.-2C.D.210. 如圖，正方體 ABCD -A1B1C1D1 中，異面直線 A1D 與 BD 1所成角的正弦值等于（）A.B.C.D. 111. 九章算術給出求羨除體積的“術”是：“并三廣，以深乘之，又以袤乘之

4、，六而一”，其中的“廣”指羨除的三條平行側棱的長，“深”指一條側棱到另兩條側棱所在平面的距離， “袤”指這兩條側棱所在平行線之間的距離，用現(xiàn)代語言描述：在羨除ABC-A1B1C1 中， AA 1BB1CC 1，AA1=a， BB1=b， CC1=c，兩條平行線 AA1 與 BB1 間的距離為 h，直線 CC1 到平面 AA1B1B 的距離為 h，則該羨除的體積為 V= （ a+b+c）已知某羨除的三視圖如圖所示， 則該羨除的體積為 （）A.3B.C.D.212. 設點 P 在曲線 y=ln x 上，點 Q 在曲線 y=1- （ x 0）上，點 R 在直線 y=x 上，則 |PR|+|RQ|的最

5、小值為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）13.設函數 f（ x） =，則 f（-2） +f （log2 12） =_14.已知數列 an 的前 n 項和為 S ，首項 a =1 ，且滿足：2S =an+1-1，則 a +a +a =_n1n3 4515.已知雙曲線 C：=l （ a 0， b 0）一個焦點為F（ 2， 0），且 F 到雙曲線 C的漸近線的距離為1，則雙曲線 C 的方程為 _16.若將函數 f（ x） =sin2x+cos2x 的圖象向右平移 個單位后所得圖象關于y 軸對稱，則 的最小正值為 _三、解答題（本大題共7 小題，共82.0 分）第2頁，

6、共 18頁17.如圖，在 ABC 中，已知點 D 在邊 BC 上，且 DAC=90 ，sinBAC=，AB=3，AD=3（ 1）求 BD 長；（ 2）求 cosC18. 如圖，已知矩形 ABCD 中，AD =2AB=2，點 E 是 AD的中點，將 DEC 沿 CE 折起到 D EC 的位置，使二面角 D -EC-B 是直二面角（ 1）證明： BECD ；（ 2）求點 E 到平面 BCD的距離19. 某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學季內，每售出1盒該產品獲利潤 50 元；未售出的產品，每盒虧損30 元根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示， 該同學

7、為這個開學季購進了160 盒該產品，以 x（單位：盒， 100x200）表示這個開學季內的市場需求量，y（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤（ 1）根據直方圖估計這個開學季內市場需求量x 的平均數和眾數；（ 2）將 y 表示為 x 的函數；（ 3）根據直方圖估計利潤不少于4800 元的概率第3頁，共 18頁C=1ab 0，短軸長為220. 已知橢圓 ：（ ）的離心率為（ 1）求橢圓 C 的標準方程；（ 2）過橢圓 C 的左焦點 F 的直線 l 與橢圓 C 交于 M， N 兩點，證明：原點O 不在以 MN 為直徑的圓上21. 設函數 f（ x） =ex-lnx-1，其中 e 是自然對數的

8、底數（ 1）求證：函數 f（ x）存在極小值；（ 2）若 ?x ， +），使得不等式 -lnx- 0成立，求實數 m 的取值范圍22.已知直線l 的參數方程為（ t 為參數），以坐標原點為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓 C 的極坐標方程為=4cos，直線 l 與圓 C 交于 A，B兩點第4頁，共 18頁（ 1）求圓 C 的直角坐標方程及弦AB 的長；（ 2）動點 P 在圓 C 上（不與A， B 重合），試求 ABP 的面積的最大值23. 已知函數 f（ x） =|2x-2|+|2x+3|（ 1）求不等式 f （x） 15 的解集；（ 2）若 f（ x） a-x2+x 對于 xR

9、恒成立，求 a 的取值范圍第5頁，共 18頁答案和解析1.【答案】 A【解析】解：集合 A=x|x=3n-1 ，nN ，B=6 ，8，10，12，14 ，A B=8，14 ，集合 AB中元素的個數 為 2故選：A利用交集定 義直接求解本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題2.【答案】 B【解析】解：由i（2-z）=3+i ，得2-z=，則 z=1+3i，|z|=故選：B把已知等式 變形，再利用復數代數形式的乘除運算化簡，然后利用復數模的計算公式求解本題考查 復數代數形式的乘除運算，考 查復數的求法，是基 礎題 3.【答案】 D【解析】解：A 函數的定義域為0，+

10、），定義域關于原點不 對稱，故 A 為非奇非偶函數Bf （-x）=|sin（-x）|=|sinx|=f（x），則 f（x ）為偶函數Cy=cosx 為偶函數-xxx -x則為Df （-x）=e-e=-（e -e）=-f （x）， f （x） 奇函數，故選：D第6頁，共 18頁根據函數奇偶性的定 義進行判斷即可本題主要考查函數奇偶性的判斷，根據函數奇偶性定義是解決本 題的關鍵4.【答案】 C【解析】解：由題意，可知：拋物線的焦點在 x 軸上又 拋物線的焦點在直 線 2x-y-2=0 上，可令 y=0，得：x=1拋物 線的焦點的坐 標為（1，0），即 p=2此拋物 線的方程為 y2=4x故選：C本

11、題主要根據 題意找出拋物 線的焦點坐 標，知道拋物線的焦點在 x 軸上也在直線 2x-y-2=0 上，就能得出拋物 線的方程本題主要考查拋物線的基本定 義性知識，屬基礎題5.【答案】 A【解析】解：設公差為 d，2S3=a3+a7=18，解得 a1=1，故選：A設公差為 d，由2S3=a3+a7=18，列出關于 a1，d 的方程組，解得即可本題考查了等差數列的前n 項和公式和等式數列的通 項公式，屬于基礎題 6.【答案】 D【解析】解：設 2015 年高考考生人數 為 x，則 2018 年高考考生人數 為 1.5 線，由 24%?1.5x-28%?x=8%?x0，故選項 A 不正確；第7頁，共

12、 18頁由（40%?1.5x-32%?x）32%?x= ，故選項 B 不正確；由 8%?1.5x-8%?x=4%?x 0，故選項 C 不正確；由 28%?1.5x-32%?x=42%?x 0，故選項 D 正確故選：D作差比較可得本題考查了概率分布直方圖題，屬中檔 7.【答案】 C【解析】解：；解得 =-1 或 3故選：C先得出，根據即可得出進， 行數量積的坐標運算即可求出值的考查向量垂直的充要條件，向量減法、數乘和數量 積的坐標運算8.【答案】 A【解析】解：由題意可得旋 轉體為圓錐，底面半徑為 3，高為 4，故它的母線長 BC=5，側面積為 rl= 35=15，而它的底面 積為 2=9 ?3

13、故它的表面 積為 15+9=24，故選：A先由題意求得旋 轉體為圓錐，底面半徑為 3，高為 4，母線長為 5，利用圓錐的第8頁，共 18頁表面積計算公式，求出它的表面 積本題主要考查圓錐的表面積計算公式，屬于基礎題9.【答案】 A【解析】解：由變量 x，y 滿足約束條件作出可行域如 圖，由圖可知，最優(yōu)解為 A，聯(lián)立，解得A （-1，）z=2x-y 的最小值為 2（-1）-=-故選：A由約束條件作出可行域，由 圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，數形結合得答案本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題10.【答案】 D【解析】解：連接 AD 1，因為四邊形 AA 1D1D 為正

14、方形，所以A1DAD 1，又A1DAB ，所以 A1D面 ABD 1，所以 A1DBD1，即異面直 線 A1D 與 BD1 所成角的正弦 值等于 1，故選：D由線面垂直的判定定理得： A 1DAD 1，又 A 1DAB ，所以 A1D面 ABD 1，由線面垂直的性 質定理得：A 1DBD 1，得解本題考查了線面垂直的判定定理及性 質定理，屬中檔題11.【答案】 B【解析】第9頁，共 18頁解：由三視圖還原原幾何體知，羨除ABC-A 1B1C1 中，AB EF，底面 ABCD 是矩形，AB=CD=2 ，EF=1，平面 ADE 平面 ABCD ，AB ，CD 間的距離 h=AD=2 ，如圖，取 A

15、D 中點 G，連接 EG，則 EG平面 ABCD ，由側視圖知，直線 EF 到平面 ABCD 的距離 為 h=1，該羨除的體 積為 V=（a+b+c）=故選：B根據三視圖求出羨除的體積 V=（a+b+c）中所需數據，代入得答案本題考查由三視圖求面積積鍵視圖還原原幾何體，是中檔題、體，關 是由三12.【答案】 D【解析】解：函數y=lnx 的導數為 y=，設曲線 y=lnx 與直線 y=x 的平行線相切的切點 為（m，n），可得=1，即m=1，可得切點為（1，0），此時 PR 的最小值為=；y=1-導為y= ，（x0）的 數設曲線線y=x 的平行線相切的切點為（s，t），y=1- （x0）與直可

16、得=1，即s=1，可得切點為（1，0），此時 RQ 的最小值為=；則 P，Q 重合為（1，0），R 為（ ， ），|PR|+|RQ|取得最小 值為故選：D求出兩曲 線對應函數的導數，求得切線的斜率，由與直線 y=x 的平行，可得切點，由點到直線的距離公式可得最小 值，進而得到所求和的最小 值第10 頁，共 18頁本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查點到直線的距離公式的運用，考 查最值的求法，屬于中檔題13.【答案】 9【解析】解：由函數 f（x）=，可得 f （-2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案為：9由條件利用指數函數、 對數函數的運算性 質

17、，求得 f（-2）+f（log212）的值本題主要考查分段函數的 應用，指數函數、對數函數的運算性 質，求函數的值，屬于基礎題14.【答案】 117【解析】解：2Sn=an+1-1，an+1=2Sn+1，a1=1，a2=21+1=3，a3=2（1+3）+1=9，a4=2（1+3+9）+1=27，a5=2（1+3+9+27）+1=81，故 a3+a4+a5=9+27+81=117，故答案為：117化簡可得 an+1=2Sn+1，從而依次求數列的前 5 項即可本題考查了數列的 遞推公式的 應用，屬于基礎題15.【答案】=1【解析】解：根據題意，要求雙曲線 C 的中心為原點，點 F（2，0）是雙曲線

18、 C 的一個焦點，即雙曲線的焦點在 x 軸上，且 c=2，第11 頁，共 18頁雙曲線C：漸線方程為y= x，即aybx=0，=l（a 0，b0）其 近若點 F到漸近線的距離為則=1，1， 有解可得 b=1，則 a2=c2-b2=3，則要求雙曲 線的方程為：-y2=1；故答案為：-y2=1根據題意，分析可得要求雙曲 線的焦點在 x 軸上，且 c=2，設雙曲線 C：漸線方程為aybx=0，又由點 F 到漸近線的距離=l（a0，b0）求出其 近為 1，解可得 b 的值，計算可得 a 的值，將a、b 的值代入雙曲 線方程即可得答案本題考查雙曲線的幾何性 質，注意雙曲線的焦點的位置16.【答案】【解析

19、】解：由，該圖單圖對應為把函數的象右移位，所得 象的函數解析式：個sin（2x-2）又所得圖象關于 y軸對則=k，kZ稱，當 k=-1時，有最小正 值是故答案為：把函數式f（x）=sin2x+cos2x 化積為，然后利用三角函數的圖象平移得到sin（2x結該函數為偶函數求得 的最小正值-2） 合本題考查了三角函數的 圖象平移，考查了三角函數奇偶性的性 質，是中檔題17.【答案】 （本小題滿分12 分）解：（ 1） DAC=90，sinBAC=sin（ +BAD ）=cosBAD，第12 頁，共 18頁cos BAD =2ABDBD2224=AB +AD -2AB AD cos BAD?BD2=

20、18+9-2 =3BD=62cos BAD=sin BAD=8ABDsin ADB =10ADB= DAC +C= +CcosC=12（1）由已知利用誘導公式可求 cosBAD 的值，利用余弦定理即可 計算 BD 的長（2）由（1）可求cosBAD 的值，利用同角三角函數基本關系式可求 sinBAD ，由正弦定理可求 sinADB 的值，根據誘導公式可求 cosC的值本題主要考查了誘導公式，余弦定理，同角三角函數基本關系式，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題18.1AD=2AB=2EADBAECDEBEC=90 BEECD ECBEC

21、D EC BEC=ECBE ?BECBEDECCD?DECBECD 21BEDEC BE=VB-DEC = BESDEC =ED?DECBEED ED =1BD=BD CBD =CD =1BC=2第13 頁，共 18頁222BC =（BD） +（ CD） ， BDC=90= 設點 E 到平面 BCD的距離為d則d= ，得 d= 所以點 E 到平面 BCD 的距離為【解析】（1）由AD=2AB=2 ，點 E 是 AD 的中點，可得：BAE ，CDE 是等腰直角三角形，BEEC再利用面面垂直及其 線面的判定與性 質定理即可 證明結論 （2）由已知及（1）得，BE平面 DEC，BE=可得VB-DEC

22、= BES=DEC利用勾股定理的逆定理可得 BDC=90可得設 點 E到平面BCD的距離為 d利用三角形面 積計算公式進而得出本題考查了等腰直角三角形、面面垂直及其 線面的判定與性 質定理、三棱錐的體積計算公式、三角形面積計算公式，考查了空間想象能力推理能力與 計算能力，屬于中檔題【答案】 解：（ 1）由頻率直方圖得到：19.需求量為110的頻率 =0.005 20=0.1，需求量為130的頻率 =0.01 20=0.2，需求量為150的頻率 =0.015 20=0.3，需求量為170的頻率 =0.012520=0.25，需求量為190的頻率 =0.007520=0.15，這個丌學季內市場需求

23、量X 的眾數是 150，這個丌學季內市場需求量X 的平均數：=110 0.1+130 0.2+150 0.3+170 0.25+190 0.15=153（ 2） 每售出 1 盒該產品獲利潤 50 元，未售出的產品，每盒虧損30 元，當 100 x 160時，y=50x-（ 160-x）?30=80x-4800，當 160 x200時，y=160 50=8000，y=（ 3） 利潤不少于4800 元，80x-4800 4800，解得 x 120，由（ ）知利潤不少于4800 元的概率 p=1-0.1=0.9 【解析】第14 頁，共 18頁（1）由頻率直方圖分別求出各組距內的頻率，由此能求出這個開

24、學季內市 場需求量 X 的眾數和平均數（2）由已知條件推導出當 100x160時，y=50x- （160-x）?30=80x-4800，當160 x200時，y=16050=8000，由此能將 Y 表示為 X 的函數（3）利用頻率分布直方 圖能求出利 潤不少于 4800 元的概率本題考查頻率分布直方 圖的應用，考查函數解析式的求法，考 查概率的估 計，是中檔題，解題時要注意頻率分布直方 圖的合理運用20.【答案】 解：（ 1）由已知，得= ， b=，又 b2+c2=a2，22a =4， b =3 ，橢圓 C 的標準方程為+ =1，證明：（2）由（ 1）得 F（ -1， 0），易知直線MN 不能

25、平行于 x 軸，故設直線MN 的方程為 x=my-1，設 M（ x1， y1）、 N（ x2， y2），聯(lián)立方程得（ 3m2+4） y-6my-9=0 ，y1+y2=， y1y2=-若原點 O 在以 MN 為直徑的圓上，則OM ON，即 ? =0，即 x1 x2+y1y2=0，又 x1x2 =（ my1-1）（ my2-1） =m2y1y2-m（ y1+y2 ）+1（ m2+1 ）y1 y2-m（ y1+y2） +1= （ m2+1）（ -） -m?+1=-=0，212m +5=0 ，而上述關于m 的方程顯然沒有實數解故原點 O 不在以 MN 為直徑的圓上【解析】題= ，b=22 2，求解得到

26、 a，b，c 的值 則橢圓方程（1）由 意得，又b+c =a，可求（2）直線 l 過拋物線 C 的焦點 F（-1，0），故設直線 MN 的方程為 x=my-1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關于 y 的一元二次方程，利用根與系數的關系，假設原點 O 在以 MN 為直徑的圓上，則 OM ON，即?=0，即第15 頁，共 18頁x1x2+y1y2=0，代入計算可得 12m2+5=0，而上述關于 m 的方程顯然沒有實數解，故原點 O 不在以 MN 為直徑的圓上本題主要考查直線橢圓等基礎知識查論證能力、運算求解能力，考、，考 推理查數形結合思想和化 歸與轉化思想，是中檔題21.【答案】 證明：（1fx）

27、=ex-lnx-1， x0） （ ）， 0，函數 f（ x）在（ 0， +）是增函數， （2 分）f=-2 0， f（ 1）=e-1 0，且函數f（ x）圖象在（0，+）上不間斷，?x0（），使得 f（ x0） =0 ， （ 3分）結合函數f （ x）在（0， +）是增函數，有：x（0， x0）（ x0， +）fx）-+（函數 f（ x）存在極小值f（ x0）（沒體現(xiàn)單調區(qū)間扣1 分） （ 5分）解：（ 2） ?x， +），使得不等式-lnx- 0成立，等價于 ?x ， +），使得不等式mex-xlnx 成立（ * ） （ 6 分）令 h（ x）=ex-xlnx ， x ， +），則 h（ x

28、） =ex-lnx-1=f （x），結合（ 1）得： h（ x） min=， （ 8 分）其中，滿足 f（ x0）=0，即=0， x0=-ln x0，h（ x） min= -lnx0-1= 2-1=1 0， （ 10分）x）， h（ x） 0，h（ x）在 ）內單調遞增， （ 11分）h（ x） min=h（ ） = -= +，結合（ *）有，第16 頁，共 18頁即實數 m 的取值范圍為， +） （ 12 分）【解析】（1）求出（x0），從而進0， 而函數 f （x）在（0，+）是增函數，由此利用 導數性質能證明函數 f（x）存在極小值（2）x，+），使得不等式-lnx-0成立，等價于?x+），使得?，x成立，令 （）x， ），則（）x（），不等式 me-xl