參數(shù)方程高中復習經(jīng)典題型

1、x2求橢圓4+/= 1,經(jīng)過伸縮變換y= y后的曲線方程.=1,求滿平面上的曲線y=f(x)在變換:x= X, y= uy的作用下的變換方程的求法是將!xx=二,!yy=u備考方向要明了 考什么怎么考1理解坐標系的作用，了解平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極1從知識點上看，主要考查極坐坐標刻畫點的位置， 能進仃極坐標和直角坐標的標方程與直角坐標的互化，考互化.查點、曲線的極坐標方程的求3能在極坐標系中用極坐標表示點位置，理解在法，考查數(shù)形結(jié)合、化歸思想極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的的應(yīng)用能力以及分析問題、解區(qū)別，能進行極坐標和

2、直角坐標的互化.決問題的能力.4.能在極坐標系中給出簡單圖形(如過極點2.以解答題形式出現(xiàn)，難度不的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方大，如2012年新課標高考T23程，通過比較這些圖形在極坐標系中的方等.程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義.歸納知識整合1. 平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設(shè)點P(x, y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換x=入x 40 ,一:,的作用下，點P(x, y)對應(yīng)到點P (x,y),y = uy0稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.2. 極坐標系的概念(1) 極坐標系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點 0,點0叫做極點，自極點0引一 條射線

3、Ox, Ox叫做極軸；再確定一個長度單位、一個角 山冶町 度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這- 樣就建立了一個極坐標系.(2) 極坐標一般地，不作特殊說明時，我們認為p 0, B可取任意實數(shù).(3) 點與極坐標的關(guān)系一般地，極坐標(p, 0)與(p, 0+ 2kR(k Z)表示同一個點，特別地， 極點0的坐標為(0, 0( 0 R)，和直角坐標不同，平面內(nèi)一個點的極坐 標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定p0,0 90,0 92 n那么除極點外，點的極坐標與平面內(nèi)的點就一一對應(yīng)了.4.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為r的圓p= r(0 2 n圓心為(r, 0)，

4、半徑為r的圓p=nn2rcos 0 一石三n圓心為r,，半徑為r的圓p= 2rsin 00 0 n過極點，傾斜角為a的直線(1) 0= o( p R)或 0= n+ a p r) 0= a 和 0= n+ a過點(a,0),與極軸垂直的直線pcos_0=nna 2 02n過點a, 2 ,與極軸平行的直線pin 0= a(0 0 n自測牛刀小試1 .極坐標方程p= cos 0化為直角坐標方程.2. (2013北京模擬)在極坐標系中，求過點(1,0)并且與極軸垂直的直線 方程.n3. 在極坐標系中，求點 A 2, 2關(guān)于直線I : pcos 0= 1的對稱點的一個極坐標.4. 在極坐標系中，若過點

5、A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線 p= 4cos 0于A、B兩點，求AB的長.5. 已知圓的極坐標方程為 p= 2cos 0,求該圓的圓心到直線 pin 9+2 pcos 0= 1的距離.伸縮變換的應(yīng)用x1=2x，X2若橢圓x4 + y2= 1經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程為足的伸縮的變換.|少汰“爲礙J |求經(jīng)伸縮變換后曲線方程的方法! !代入y= f(x)，得 = f ,整理之后得到y(tǒng) = u人h(x )，即為所求變換之后的方程.x= x,可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.1. 在同一坐標系中，曲線 C經(jīng)過伸縮變換，1后得到的y =刃曲線方程為y= lg(x+ 5),求曲線C的方程.極坐標

6、與直角坐標的互化例2 已知圓 01和圓02的極坐標方程分別為P2, p - 2 2 npcos 64 2.(1) 把圓01和圓02的極坐標方程化為直角坐標方程；(2) 求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程.|方怙極坐標與直角坐標互化的注意點(1) 在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極 角的范圍，否則點的極坐標將不惟一.(2) 在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍.要注意轉(zhuǎn)化 的等價性.2. (2013佛山檢測)在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1, ：3).若以原點0為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求點 P的 極坐標.jn3. 求以點A(2,0)為圓心，

7、且過點B 2 ;3, 6的圓的極坐標方程.極坐標系的綜合問題例3從極點0作直線與另一直線l: pos 4相交于點M，在 0M 上取一點 P,使 0M 0P 12.(1) 求點P的軌跡方程；(2) 設(shè)R為l上的任意一點，試求|RP|的最小值.|方怙閱轉(zhuǎn)求解與極坐標有關(guān)的問題的主要方法一是直接利用極坐標系求解，求解時可與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合使用； 二是轉(zhuǎn)化為直角坐標系后，用直接坐標求解.使用后一種時應(yīng)注意，若結(jié)果要求的是極坐標，還應(yīng)將直角坐標化 為極坐標.4. (2013西安五校聯(lián)考)在極坐標系(p 6(0W 00)的一個交點在極軸上，求a的值.(1)因沒有掌握極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化，無法把極坐標方程

8、轉(zhuǎn)化為 普通方程.因不清楚題意，即直線與圓的交點實為直線與x軸的交點，如果不會轉(zhuǎn)化，導致計算加大，多走彎路.(3) 解答與極坐標有關(guān)的問題時，還易出現(xiàn)不注意極徑、極角的取值 范圍等而致錯的情況.已知兩曲線的極坐標方程 C1: p 2(0 w 6W n , C2： p 4cos 6,求兩 曲線交點的直角坐標.1. 已知直線的極坐標方程2. 在極坐標系中，已知圓 相切，求實數(shù)a的值.3. (2012江西高考改編)曲線C的直角坐標方程為x2 + y2 2x 0, 以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線 C的極坐標 方程.n4. 已知圓M的極坐標方程為p 4.2 pcos 64 + 6

9、0,求p的最 大值.n5. (2012江蘇高考)在極坐標系中，已知圓 C經(jīng)過點P ,2, n，圓心為直線pin 3 中與極軸的交點，求圓C的極坐標方程.x 1 +1,1 .設(shè)直線11的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),y a+ 3t,、7r K 以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系得另一直線l1的方程為pin 6- 3 pcos 6+ 4 0,若直線|1與12間的距離 為.10,求實數(shù)a的值.2. (2011江西高考改編)若曲線的極坐標方程為 p 2sin6+ 4cos 6, 以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，求該曲線的直角坐 標方程.3極坐標系中，A為曲線p2+ 2 pcos

10、6-3 0上的動點，B為直線pcos 6+ pin 6- 7 0上的動點，求 AB的最小值.n4. 在極坐標系中，圓C的圓心c 6,石，半徑r 6.(1) 寫出圓C的極坐標方程；(2) 若Q點在圓C上運動，P在0Q的延長線上，且0Q ： QP 3 : 2, 求動點P的軌跡方程.備考方向要明了 考什么怎么考1. 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2. 能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和 橢圓的參數(shù)方程.本節(jié)考查的重點是參數(shù)方程和直角 坐標方程的互化，熱點是參數(shù)方程、 極坐標方程的綜合性冋題，難度較 小,主要考查轉(zhuǎn)化和化歸的思想方 法，女口 2012年新課標T23等.歸納知識整合求 |PF|.2.3.已知

11、點P（3, m）在以點F為焦點的拋物線x=4t， （t 為參數(shù)）上,y=4t（2012中山模擬）將參數(shù)方程x = cos a, y= 1 + sin a（a為參數(shù)）化成普通方1.參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線 C上任意一點P的坐標x,x=f t ，y都可以表示為某個變量t的函數(shù)：反過來，對于t的每個允y=g tx= f t ，許值，由函數(shù)式所確定的點P（x，y）都在曲線C 上,那么方程y= g t程.4.1x=t+t ,求參數(shù)方程ty=2（t為參數(shù)）表示的曲線.25.求橢圓” +衛(wèi)普=1的參數(shù)方程.x=f t ， y=g t叫做這條曲線c的參數(shù)方程，變量t叫做參變數(shù)，簡稱

12、參數(shù).相參數(shù)方程與普通方程的互例1將下列參數(shù)方程化為普通方程.3k x二 1+2， (1)6k2y_ 1+k2，x= 1 sin 2 0, y= sin 葉 cos0對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程探究1平面直角坐標系中，同一曲線的參數(shù)方程惟一嗎？提示：不唯一，平面直角坐標系中，對于同一曲線來說，由于選擇 的參數(shù)不同，得到的曲線的參數(shù)方程也不同.2.直線的參數(shù)方程將參數(shù)方程化為普通方程的方法經(jīng)過點M（xo， yo），傾斜角為a的直線I的參數(shù)方程為（1）將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取X = xo + tcos a,y=yo + tsin a (

13、t為參數(shù)譏適當?shù)南麉⒎椒?常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方3.圓的參數(shù)方程圓心為（a，b），半徑為r的圓的參數(shù)方程為x= a+ rcos 0,尸b+ rsin 0(0為參數(shù)).消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消 參，女口 sin2 0+ cos2 0= 1 等.（2）將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增 解.1.將下列參數(shù)方程化為普通方程.程為的參數(shù)提示：如圖，取橢圓=1（ab0）上任一點M作x軸垂線,4.橢圓的參數(shù)方程2 2橢圓字+ b= 1（a b 0）的參數(shù)方x= acos 0,y= bsin0(0 為參數(shù)).2 2探究2.橢

14、圓拿+ * = 1(ab0)x= acos方程（為參數(shù)）中，參數(shù)的幾何意義是什么?y= bsin 交以原點為圓心，a為半徑的圓于點A，就是點M所對應(yīng)的圓的半徑0A的 旋轉(zhuǎn)角（或點M的離心角）即 Ox繞0逆時針轉(zhuǎn)到與0A重合時的最小正角，代0,2 n.自測牛刀小試x = 1 + 3t,1 .若直線I的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線I傾斜角y= 2-4t的余弦值.1x=l，（1）1（t為參數(shù)）；y= 1 .t2-11 t2 x=， t（t為參數(shù)）.y=1+2例2 （2012湖南高考）在直角坐標系 xOy中，已知曲線C1 ：x=t+ 1,x= asin 0,（t為參數(shù)）與曲線C2：（0為參數(shù)，a0）

15、有一個y= 1 2ty= 3cos 0公共點在x軸上，求a的值.淳“此;訂|與參數(shù)方程有關(guān)的問題，求解時，一般是將參數(shù)方程化為普通方程， 轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式，利用直角坐標方程求解問題.x=V5cos 0,2. （2011廣東高考改編）已知兩曲線參數(shù)方程分別為y= sin 0x=5t2,（0W0n和4（t R），求它們的交點坐標.y= t23. （2013揚州模擬）已知P（x, y）是橢圓4 + 卄1上的點，求 M = x + 2y的取值范圍.x= 1 + s,x= t + 2,方程分別為I :（s為參數(shù)）和C：2 （t為參數(shù)），若ly= 1 sy= t與C相交于A、B兩點，求AB|的長.極坐

16、標方程和參數(shù)方程的綜合例3 （2012遼寧高考）在直角坐標系 xOy中，圓Ci： x2 + y2= 4, 圓 C2: （x 2）2 +4.x= 2+ t,x= 3+ 5cos 9,1.直線y= 1 t（t為參數(shù)）被圓y= 1 + 5sin9 （9為參數(shù),求9 0,2力）所截得的弦長.（1）在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓Ci, C2的極坐標方程，并求出圓 C1, C2的交點坐標（用極坐標表示）；（2）求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程.|孑站：媳躋求參數(shù)方程與極坐標問題的轉(zhuǎn)化方法在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長、切線等幾何問題時， 如果不能直接用極坐標解決，或用極坐

17、標解決較麻煩時，可將極坐標方 程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程解決.轉(zhuǎn)化時要注意兩坐標系的關(guān)系，注意p 9的取值范圍，取值范圍不同對應(yīng)的曲線不同.4.直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極2 22. （2012福州模擬）已知點P（x, y）在曲線A + ” 1,a2 + b23,求x+ y的最小值.x= sin a,3.已知曲線C的參數(shù)方程為2 a 0,2力，曲線D的極坐y= cos a,n標方程為psin + 4 二2x= 3+ cos 9,坐標系，設(shè)點A, B分別在曲線C1：（ 9為參數(shù)）和曲線y= 4+ sin 9（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；（2）曲線C與曲線D有無公共

18、點？試說明理由.4. （2012福建高考）在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線I上兩點M , N的極坐標分冗x= 2+ 2cos 9,別為（2,0）, ，n，圓C的參數(shù)方程為（9為參數(shù)）.32y= + 2s in 9C2： p= 1上，求|AB|的最小值.4種方法化參數(shù)方程為普通方程的方法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù) 的常用方法有： 代入消元法； 加減消元法； 乘除消元法； 三角恒等式消元法數(shù)學思想一一參數(shù)方程中的轉(zhuǎn)化思想在對坐標系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標法的解題優(yōu)勢，靈 活地利用坐標法可以使問題得到簡捷的解答.例如，將題設(shè)條件中涉及 的極坐標方程和參數(shù)方程等價轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，然后在直角坐標系 下對問題進行求解就是一種常見的解題方法，對應(yīng)數(shù)學問題求解的“化 生為熟”原則，充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.典例（2012浙江高考改編）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和（1）設(shè)P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程;（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.x= 2cos 札5. （2012新課標全國卷）已知曲線C1的參數(shù)方程是o ,（ y= 3s in 為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐