切換線性奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析翻譯解讀

1、切換線性奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 摘要：本文解決了切換線性連續(xù)奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題。首先，基于等效動 力學(xué)分解形式，精致描述狀態(tài)切換奇異系統(tǒng)的跳躍，這表明整體狀態(tài)跳了跳由兩 個連續(xù)的狀態(tài)。其次，帶有穩(wěn)定的子系統(tǒng)切換奇異系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定的充分條件以 出現(xiàn)。它通過轉(zhuǎn)換減少階數(shù)的動力子系統(tǒng)和誘導(dǎo)狀態(tài)跳躍轉(zhuǎn)換法完全展示了系統(tǒng) 穩(wěn)定的性質(zhì)。然后，得到有穩(wěn)定與不穩(wěn)定子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換奇異矩陣的一個充分穩(wěn)定 性條件。最后，用數(shù)值實(shí)例來說明提出該方法的有效性。 1.介紹：切換系統(tǒng)是由一個混合動力系統(tǒng)， 有限數(shù)量的子系統(tǒng)和邏輯規(guī)則進(jìn)行協(xié) 調(diào)與切換。在過去的十幾年里，擁有一般子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性已經(jīng)有廣泛 的研究；參

2、見調(diào)查論文和近期書籍以及參考定理。同時，奇異系統(tǒng)模型是方便的 且有動態(tài)和靜態(tài)約束的實(shí)系統(tǒng)的自然表示。已經(jīng)有大量的工作報(bào)道了奇異系統(tǒng)的 穩(wěn)定性分析和奇異系統(tǒng)的綜合。 盡管我們擁有很多這方面的知識，然而在處理有奇異子系統(tǒng)的切換矩陣時還是有 限的。普遍認(rèn)為奇異系統(tǒng)由于不一致的初始條件存在有限的瞬時跳躍。在切換奇 異系統(tǒng)，也不能保證狀態(tài)總是下一個啟動子系統(tǒng)下時任意切換開關(guān)瞬間是一致 的。對有瞬時跳躍狀態(tài)的轉(zhuǎn)換奇異矩陣系統(tǒng)有必要允許有解決方案這是不可避免 的，即使所有子系統(tǒng)是有規(guī)律的和無脈沖的。這是切換奇異系統(tǒng)和正常的交換系 統(tǒng)之間的主要區(qū)別之一。應(yīng)當(dāng)指出的是，跳變的累積可能是破壞性的，即使每次 跳躍的

3、強(qiáng)度小，特別是當(dāng)轉(zhuǎn)換是非?？斓臅r候。 結(jié)果，正常轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的穩(wěn)定分析 技術(shù)不能直接的被用到轉(zhuǎn)換奇異矩陣。 然而這個事實(shí)可以被忽略，可用一個特殊 的方式簡單處理。更特別的基礎(chǔ)上，對每一個空間的一致性Lyapunov函數(shù)的分 析，建立了切換奇異系統(tǒng)的 Liberzon和Trenn（2009年）和Trenn（2009年） 的穩(wěn)定性充分條件。然而卻沒有系統(tǒng)的和充分的方法被提出。因此，如果子系統(tǒng) 的數(shù)量是非常大的變得難以驗(yàn)證。在Raouf and Michalska （2010） 論文中，轉(zhuǎn) 換法反饋被設(shè)計(jì)以確保全局指數(shù)穩(wěn)定。石，張，袁，劉（2011）提出了一種混合 式脈沖控制器壓縮狀態(tài)的跳躍切換奇異系統(tǒng)

4、。在交換奇異系統(tǒng)的一個基本而重要 的問題是為Q1:如何形容狀態(tài)跳躍切換奇異系統(tǒng)？它已經(jīng)在 Liberzon和Trenn 被首次展出（2009年）該狀態(tài)的跳躍狀態(tài)可描述為投影機(jī)的一致性。然而，簡 單地表征與一致性投影整體跳躍可能無法表征的特殊性質(zhì)狀態(tài)的跳躍在切換奇 異系統(tǒng)，這將在備注3.1和3.2進(jìn)行說明。因此，非?？释フ业礁嗟霓D(zhuǎn)換奇 異系統(tǒng)中的狀態(tài)跳躍的限制。此外，開關(guān)瞬間產(chǎn)生的存在狀態(tài)跳躍在新類型的不 穩(wěn)定機(jī)制切換奇異系統(tǒng)。例如，與正常切換系統(tǒng)，子系統(tǒng)的共同Lyapunov函數(shù) 的存在是不足以保證切換廣義系統(tǒng)在任意切換的漸近穩(wěn)定。進(jìn)一步的研究已在下 面的問題被執(zhí)行了。Q2:如何跳躍的狀態(tài)

5、影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性？此外， 由于在 許多實(shí)際應(yīng)用中存在不穩(wěn)定的子系統(tǒng)，它也是重要的是要考慮的問題Q3已成功 解決了翟，胡，安田交換系統(tǒng)正常，和米歇爾（2001年），不幸的是，它沒有 得到回答的切換奇異系統(tǒng)。因此，對于切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題還沒有得 到充分的調(diào)查，這激勵著我們現(xiàn)在的研究。在本文中，考慮到了切換系統(tǒng)線性連 續(xù)時間奇異子系統(tǒng)。假設(shè)所有子系統(tǒng)是常規(guī)的和無脈沖，則切換奇異系統(tǒng)具有經(jīng) 典分段光滑解。通過應(yīng)用交換法獨(dú)立轉(zhuǎn)換，在同等動力分解形式中獲得原始切換 奇異系統(tǒng)?；谒@得的動力分解形式上，狀態(tài)跳躍的限定描述被提出。狀態(tài)的 跳躍可以被解釋為兩個連續(xù)的狀態(tài)跳躍，一種是誘導(dǎo)的分段恒定開

6、關(guān)法，另一種 是由在動力學(xué)分解形式的代數(shù)約束的結(jié)果。然后，充分條件的切換奇異系統(tǒng)的與 (i)穩(wěn)定的子系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性以及與(ii )穩(wěn)定和不穩(wěn)定的子系統(tǒng)被呈現(xiàn)。 當(dāng)所有子系統(tǒng)都穩(wěn)定，切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于交換降階動態(tài)子系 統(tǒng)和切換律誘導(dǎo)狀態(tài)跳躍。在子系統(tǒng)不穩(wěn)定下，如果不穩(wěn)定的子系統(tǒng)的總激活時 間是比較小的，并且平均停留時間是需要足夠大的情況下，則切換奇異系統(tǒng)是指 數(shù)漸近穩(wěn)定，以在切換奇異系統(tǒng)的情況下其延伸的結(jié)果為交換系統(tǒng)正常的。預(yù)計(jì) 這項(xiàng)工作的貢獻(xiàn)將進(jìn)一步發(fā)展切換奇異系統(tǒng)，用于諸如二次鎮(zhèn)定和力擾動衰減 問題。本文的其余部分安排如下。在第二節(jié)中，我們提出了系統(tǒng)的描述并給予一 定的初步措施

7、。切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)，在第3節(jié)，狀態(tài)跳躍的限定描述被制定。 分別在4和5的部分，呈現(xiàn)了切換奇異系統(tǒng)穩(wěn)定子系統(tǒng)和穩(wěn)定和不穩(wěn)定子系統(tǒng)的 指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。在第6節(jié)，數(shù)值例子說明了該方法的有效性。第7節(jié)總結(jié) 全文。 2.系統(tǒng)描述和預(yù)賽 在本文中，我們考慮下面的線性切換連續(xù)時間奇異系統(tǒng)： E；：e)x(t)二 A； 1,2,., p 是分段常數(shù)且為右連續(xù)函數(shù)，p是整體交換系統(tǒng)的模式的數(shù)量，對每個 i 1, 2, . . . , p, Ei和Ai是常數(shù)矩陣，并且假設(shè)階數(shù)為 Ei = r-n.為簡單起見，我們用 (Ei, Ai)來表示的 第i個子系統(tǒng)。 假設(shè)轉(zhuǎn)換常數(shù)記為ti，且滿足0二t0譏1 ”：疳t(yī)

8、i : ti 1 ；(t) m,t 小 J,廠1,2,., p.(2) 定義2.1 (Hespanha (ii)脈沖自由若行列式(sEAi)的多項(xiàng)式等于Ei的秩 假設(shè)2.1.對每個 1,2, . . . , p,，奇異系統(tǒng)（E”aJ常規(guī)的且無脈沖。 由于秩（EJ = r 1,當(dāng)- =1時V（t） mexp（-： t）V（O），表明xi（t）指數(shù)收斂到 0，由（15） X2（t） -入論）A2（t）X1（t）,所以x2（t）也是指數(shù)收斂到0。這表明 系統(tǒng)（6）在任意轉(zhuǎn)換下是證書漸近穩(wěn)定的。 當(dāng)11,很容易從（23），（ 25）得到下面估算只要滿足（3）的切換規(guī)則。 V（t） 1,（ii）定理4.

9、1的指 示的條件（17）是唯一的足夠的系統(tǒng)（1）根據(jù)切換律的穩(wěn)定性滿足的平均停留 時間的限制（21）?？傊?，切換奇異系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性屬性取決于切換 刃子系 統(tǒng)和切換律誘導(dǎo)狀態(tài)跳躍。一般來說，對于給定的穩(wěn)定的子系統(tǒng)，這些跳躍較大 的1值需要更大的平均停留時間，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 備注4.3請注意，我們的做法是基于等價動態(tài)分解形式，這是從Liberzon和Trenn （2009年）和Liberzon, Trenn和維爾特（2011年）不同的。為了確保在任意切 換下的切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性，李雅普諾夫函數(shù)應(yīng)該存在和一致性投影機(jī)必須 他們結(jié)合在一起”（見定理9 Liberzon見例6.1。因此，如何

10、獲得更小的的平均停留時間仍然是一個話題作進(jìn)一步 考慮。 下一步，我們將討論當(dāng)所有的子系統(tǒng)共享一個公共矩陣N使得在分解（4）成立 的情況下，即，在（5）的切換規(guī)則獨(dú)立于狀態(tài)轉(zhuǎn)換。換句話說，N亠變?yōu)镹為 所有ci。為此，我們需要滿足以下假設(shè)。 假設(shè)4.1存在非奇異矩陣N使得EiN =Eii 0, Ei* R嘆,i亡1,2,., p具有列滿 秩。 推論4.1?？紤]切換奇異系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)2.1和4.1。假定矩陣不等式（17） 與（18）保持對于所有L 1,2,.,p。然后切換奇異系統(tǒng)（1）指數(shù)是在任意切換 下是漸近穩(wěn)定的。 證明：下假設(shè)4.1,可以很容易地看到，存在可逆矩Mi（1,2，,p），使得

11、 _Ir 01 心冷。 然后，它由（20），該| j = I ;因此 乂1（打）=X1（ti）,i 1,2,., p. 這意味著不存在跳躍在切換時刻 T為1子系統(tǒng)，結(jié)合門i :：0表明切換1子系統(tǒng) 在任意切換下是指數(shù)漸近穩(wěn)定。類似于定理 4.1的證明，我們得到，該系統(tǒng)（1） 在任意切換下是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。 備注4.5假設(shè)4.1并不意味著整體的切換奇異系統(tǒng)無跳躍。推論4.1表明，當(dāng)假 設(shè)4.1和矩陣不等式（17）與（18）滿足，用于在任意切換下的切換奇異系統(tǒng)的 穩(wěn)定性是有保證，通過它獨(dú)立誘導(dǎo)的代數(shù)約束的初始瞬時跳躍。 備注4.6在假設(shè)4.1下，如果有在所有開關(guān)瞬間存在 2子系統(tǒng)沒有初始瞬時跳，

12、那么該系統(tǒng)的解（1）在任意切換下是連續(xù)的，這相當(dāng)于 A2（i）A21 （i）A2（ j） A21 （j） 1 i, j : p- 5交換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 我們注意到，穩(wěn)定和不穩(wěn)定的系統(tǒng)之間切換的調(diào)查是有意義的，因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用 中，由于物理限制人們必須合并不穩(wěn)定系統(tǒng)（翟等人，2001年）。在本節(jié)中， 我們將考慮穩(wěn)定問題交換奇異系統(tǒng)穩(wěn)定和不穩(wěn)定子系統(tǒng)。 不失一般性，假設(shè)（E1,A1）,.,（ Em, Am）（m ： p）是不穩(wěn)定的且保持子系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 則總存在正的常數(shù) 1,., m和負(fù)的常數(shù) m 1,., p使得（Ei, Ai - iEi）是穩(wěn)定的。 記 maxj i 和

13、maxm j i，對任意給的-（0, - ）和 ： （ , - ），考慮 到轉(zhuǎn)換規(guī)則二（t）滿足 (26) TS(0,t) _* US* T (0,t)- 其中Tu（0,t）的TS（0,t）是在0，t）上的分別表示不穩(wěn)定子系統(tǒng)和穩(wěn)定子系統(tǒng)的總激活時間期間。 類似于定理4.1的證明，我們有以下結(jié)果 定理5.1考慮切換奇異系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)2.1。假定交換法滿足（26）。則存 在一個非負(fù)常數(shù).：，使得切換奇異系統(tǒng)（1）是與衰減率S） 為任何.a _ 是指數(shù)穩(wěn)定的。 備注5.1定理5.1表明，如果不穩(wěn)定子系統(tǒng)的總激活時間是比較小的同穩(wěn)定的子 系統(tǒng)平均停留時間的足夠大時，則切換奇異系統(tǒng)然后指數(shù)穩(wěn)定性也

14、能夠得到保 證。所獲得的結(jié)果由切換奇異系統(tǒng)擴(kuò)展了切換正常系統(tǒng)（翟等人，2001年） 6模擬實(shí)例 考慮切換奇異系統(tǒng)（1）與下面的兩個子系統(tǒng)： 0 10 -1 E1, A1, |（0 0|（1 a 11 -11 E2 =L A2 = 0 0 1 1 0 這是很容易驗(yàn)證（E1, A1）為任何常數(shù)的漸近穩(wěn)定的。（E2, A2）也漸近穩(wěn)定。注意，它是在相 同的例子中Liberzon和Trenn （2009）當(dāng)a =-1。我們將說明我們在選擇在不同的 值時分析。 0 N1 = 1 得到 讓 11 0 0 _1 11 -1 (27) 01 0 -1 01 -1 01 A =AN1 = 4 = -A2 N 2

15、 a 1 1 一 因此，根據(jù)（20） 我們得到 Ek =1 和 n 2,1 = 對于匸1,2滿足（17） 式 1。 E = E1N =E2N 1 2 =_0 -a，進(jìn)一步的，P2二1 0 01 -1 存在使得 當(dāng)定理4.1中0乞a乞2=1。切換奇異系統(tǒng)在任意切換下是指數(shù)漸近穩(wěn)定。對 a=2的切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)的模擬示于圖2。 當(dāng)a2,我們得到1 1,然后由定理4.1的切換奇異系統(tǒng)是指數(shù)漸近穩(wěn)定提 供的平均停留時間.a ln（1 -a）。然而，我們注意到，只有兩個實(shí)施例6.1中的 模式，此外，丨【1,2意味著無跳躍發(fā)生在X1子系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)從模式1切換到模式2。 因此，當(dāng)a ln（1-a）時平均

16、停留時間是緊的則為指數(shù)漸近穩(wěn)定。當(dāng)a=2時切換 奇異系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)相應(yīng)的開關(guān)信號示于圖3。 例6.2?？紤]切換奇異系統(tǒng)（1）具有以下兩個子系統(tǒng): o 1 - - ,A1 - - 1 o o o_ - 1 -a 0 0 1 0 E2 = ,A2 = o 1 _0 1 一 己：1 0_；-1 01 E=M2E2Nt=,A M 2A2Ni = 0 0_ 0 1 一 與（27）中所定義的M 2二N。從實(shí)施例6.1中，存在p1和p2，使得（17）保持 為A和A2，然后將它遵循從推論 4.1的切換奇異系統(tǒng)是指數(shù)在任意切換下為任 何常數(shù)的漸近穩(wěn)定的。而且，當(dāng) a = 0時在任意切換下如在備注4.6討論沒有跳

17、 轉(zhuǎn)發(fā)生。 這個例子類似于在Trenn的實(shí)施例1b（ 2009）;它表明在Trenn（ 2009），獲得任 意切換的結(jié)論，李雅普諾夫函數(shù)必須仔細(xì)選擇這樣的一致性投影機(jī)的“配合在一 起（見注4.3）。然而，通過使用推論 4.1，同樣的結(jié)果可以通過的李雅普諾夫 函數(shù)的存在獲得。 例6.3?？紤]切換奇異系統(tǒng)（1）具有以下兩個子系統(tǒng)： _0 1 01 - 2141 1 0 1 ，A = -1-11 ， 0 0 0_ i 1 0 0 _1 0 0 - -12 0 0 1 0 ，-A = -4-10 0 0 0_ 0 1仃 E2 二 E1 = -0.95 記（EsAj是不穩(wěn)定的（E2,A2）是穩(wěn)定的，令工

18、虻=1.05且 2 貝（Ei, Ai - iEi）（i =1,2）是穩(wěn)定的 選，=0.5廠=0.65，貝U我們得到轉(zhuǎn)換條件 SU* -5.6667 T (0,t) US* T (0,t)- - 平局滯留時間為，_二=0.6312，在模擬中（E1, A） （E2A）通過周期為0.2和1.2 實(shí)現(xiàn)。分別滿足雙方交換法和平均停留時間的限制。切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)示 于圖4。 在本文中，考慮到用于交換的線性連續(xù)時間奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題?？偨Y(jié)如 下回答Q1 - Q3 :（i）獲得精制說明切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)跳躍。（ii）該切換 奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性和開關(guān)法誘導(dǎo)狀態(tài)跳躍之間的關(guān)系已經(jīng)建立。（iii）有足夠 為切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定子系統(tǒng)的穩(wěn)定條件以及與穩(wěn)定和不穩(wěn)定的子系統(tǒng)被獲得。 導(dǎo)數(shù)條件由一組線性矩陣不等式配制，并且可以有效地進(jìn)行驗(yàn)證。 0 -石mzjit r 刃;) S wiichif1!* lifeW irifl U4A cl