高等數(shù)學(xué)上(修訂版)黃立宏(復(fù)旦出版社)習(xí)題六答案詳解

1、高等數(shù)學(xué)上 (修訂版) 黃立宏(復(fù)旦出版社)習(xí)題六1. 指出下列各微分方程的階數(shù)：(1) 一階 (2) 二階 (3) 三階 (4) 一階2. 指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：2(1)xy 2y,y 5x ;2解：由y 5x得y 10x代入方程得2 2x 10x 2 5x210x2故是方程的解 .(2)y y 0,y 3sin x 4cos x;解： y 3cosx 4sin x; y3sin x 4cos x代入方程得3sin x 4cosx3sin x 4cosx0.C1 12e 1x C2 22e 2x ( 12 )(C1 1eC2 2e 2x)2(C1e1xC2e 2 x)

2、0.故是方程的解(3)y 2yy 0, y2x xe;x解： y 2xex2xxe(2x2x x )e ,y(224x x )e代入方程得2ex0.故不是方程的解(4)y( 12)y12 y 0,yC1e 1xC2e 2 x.解： y C1 1e1xC22e 2x,yC12 1x1e1C2 22e2x代入方程得故是方程的解3.在下列各題中，驗(yàn)證所給二元方程為所給微分方程的解:(1)(x 2y)yc22小2x y, x xy y C;證：方程x2 xy2y C兩端對x求導(dǎo)：2x yxy 2yy 0得y嚀x 2y又當(dāng)x=0時，y 1.故有C21.代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解2(xy

3、x)y xy yy 2y0, y In(xy).證：方程y In(xy)兩端對x求導(dǎo):11y y (*)xy得y命(*)式兩端對x再求導(dǎo)得y 1y 1 x2122x (y 1)將y , y代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解4.從下列各題中的曲線族里，找出滿足所給的初始條件的曲線:(1) x2 y2 C, yxo 5；解：當(dāng) x 0 時，y=5.故 C=-25故所求曲線為：y2 x2 25(2) y (G C2X)e2x,yxo o, y xo 1.2 x解： y(C2 2C1 2C2X)e當(dāng)x=0時，y=0故有C10.故所求曲線為：y xe2x5.求下列各微分方程的通解:(1)xyy

4、in y0；解：分離變量dyyin y1 dxx積分得 din in y-dxxin inin xin cin ycxecxJ y；解：分離變量,dydx積分得dy=1 ydx得通解:2 1 xc.(ex yex)dx(ex y ey)dy 0;解：分離變量,ey rvdyeyx dx1 e積分得in(ey 1)in(ex 1) in c得通解為(ex 1)(ey1) c.(4)cos xsin ydxsin xcos ydy0;解：分離變量，得cosx , dxsin xcosy , 門 dy 0 sin y積分得in si n y insin x in c得通解為sin y sin x c

5、.(5)y xy；解：分離變量，得dyxdx積分得In y得通解為1 2x2lx2ce2c1 (c e )(6)2x0；解：y2x積分得2x1)dx得通解為x2(7)4 x2x3y2y0；解：分離變量,3y2dy(4x32x)dx積分得(8)yex y解：分離變量，得ydyexdx積分得e ydyexdx得通解為:e y ex c.6.求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解:(1)ye2xyYx o ；積分得以 x 0,y解：分離變量，得eydy e2xdxy 1 2xe e c.210代入上式得c 12故方程特解為y1 / 2xe(e21).(2)y sinxyIn y, yx ”2e.解：

6、分離變量，得dydxyIn ysin x積分得c tanFy e 2將 x n, y2e代入上式得c 1故所求特解為y etan2(i)xy y 、y2x20；7.求下列齊次方程的通解:dydx原方程變?yōu)閐udx兩端積分得ln(u u2 1)In xIncu2 1cx即通解為:cx2 cxdx解:業(yè)工2dx x令u y,xy In則敦dxdux一dx原方程變?yōu)閐udx解: dxdux -dxu(ln u 1)積分得ln(ln u 1) In x In c即方程通解為(x2解:原方程變?yōu)榉e分得故方程通解為(x3解:原方程變?yōu)镮n u 1 exlny 1xy xeexex2y )dx xydxdy

7、 x2 y2dxxy則也dxdydxdu x - dx1u2du x -dxdux -dxIn x2ln xudulne12ln e12 2x In (ex )dx(e e2)dx3xy2dy3 y_ 3xy2x30;3/X2-3*xdydxdu x - dxduxdx3u23 du1 2u33u3u2dx積分得1| n(2u3 1) Inx Ine,以-代替u,x并整理得方程通解為332y xCX .dx解:興yxyx則矽dx原方程變?yōu)榉蛛x變量，得dux -dx1dux -dx1 uruu .2 du uIdxx積分得1 2 arctanu ln(1 u )2ln x In 以y代替u,并整

8、理得方程通解為到x2y2xy2arcta n ce x解:dydx1dxdy原方程可變?yōu)閐v分離變量，得yx 2 yxdxyv，dydvy一 vdydvdvdy v2 1 y積分得ln(v v 1) In yIn c.以yvyc2ycv2x代入上式,即方程通解為2yvc2c2cxc2.8.求下列各齊次方程滿足所給初始條件的解:(1)(y2 3x2)dy 2xydxo， yx o 1；解:dydx2丫x23令y ux，則得dux -dx2uu2 3分離變量，得2u3dx3duu ux積分得3ln u ln(u 1) ln(u 1) In cxIn c得方程通解為3cy以x=0, y=1代入上式得

9、 c=1故所求特解為Yx12.解：設(shè)y ux，dux -dx原方程可變?yōu)閡dudxx1 2 積分得u Inx Inc.2得方程通解為y 2x2(ln x In c)以x=1, y=2代入上式得 c=e2.故所求特解為y2 2x2(ln x 2).9.利用適當(dāng)?shù)淖儞Q化下列方程為齊次方程，并求出通解:(1)(2x 5y 3)dx (2x 4y 6)dy 0解：設(shè)x X 1,yY 1，則原方程化為dYdX2X 5Y2X4Y2 5YX竺dX4u 24u2 7u4YX2 5u2 4udXXdu21In X -2-ln(4u22-ln(4u22-In (4u22(8u 7) 34u27u7u7u7u26l

10、n X 3In(4u 7u2)X6(4u27u2)2du2)2)2)3216 |ndu4u2 7u1u 24u 16 u 2沖 InC2 u 2C2X6(4uX3(4u1)4(u1)2(u2)22)C2C3,(C3C2)24 - du14uG6)代回并整理得(4y x 3)2(y2x3)C,(C , C3 ).(2)( x y 1)dx (4y x 1)dy 0;解：dyx y 1dx4y x 1作變量替換，令x X 1,y Y 0 Y原方程化為dYX YdX X 4Y令Y uX ,則得分離變量，得積分得uX也 dX1 uXdu dX1 4u1 4u1 4u1 4udX2 du1 4uxlnX

11、 亠du 1型暫1 4u 21 4uarctan 2u2ln(124u2)22ln X ln(1 4u ) arctan2u c2 2代回并整理得解：作變量替換v原方程化為In X (1 4u ) arctan2u cdvdx(v 2)3v 43v2(vdv2)dx31一 dv dv dx2 v 2v In (v 2) x c12(c 2g)3v 2ln(v 2) 2x c,代回并整理得x 3y 2ln( x y 2) c.解：令uxntt duy,貝Udx1巴dx原方程可化為du1dxu分離變量，得ududx積分得1 2 ux c22x2ciu2字dx丄1.x y故原方程通解為(xy)22x

12、 c.(c2cJ10.求下列線性微分方程的通解:(i)y y解:由通解公式dxdxdxexdxc e x(x c)xy yx23x解:方程可化為1 _y x由通解公式得解:解:(3)yycosxcosxdxsin xsin x4xy4x ;(4x)dx1 dx x(x(xcosxdxdx(4x)dx4xe dx2-)x2)xIdxxdxxdx csin x ee2x2(xc).4xe2x2dx c解:解:11.解:2x2e2x2e2x2c ce1.(5)(x 2)y方程可化為(x2 1)y方程可化為dx2(x2xy2)3;2(xln(x 2) e(x(x4x2.2x2)2)3x)22(x2(x

13、2(xc(x4x22x2x2dx x2 1lnCx2 1) e2) e1 dxx 2 dx c2In(x 2)2) e dx c2)dx c2)4x2x2 14x2dx求下列線性微分方程滿足所給初始條件的特解:(11-yx1. sin x, xyx n 1;2x1x2dxdx c4x3 c3(x2 1)1dxy e xsinx e xIdxxdx c-sin xdxc c cosxxn y 1代入上式得c故所求特解為ycosx).1 y - (2x3x2)y1, yx 10.3ln x2 3x23 x3x2dxdxx 2+3In x ex 2 3ln x idx cx2 ex2cex2322以

14、x=1, y=0代入上式，得c2e故所求特解為311 x2xe2 2e12.求下列伯努利方程的通解:2(1)y y y (cosx sin x);解：令z y1 2 y1，則有dz(1 2)z(12)(cosxsin x)dzsin x cos xzdxdx(1)dx(1)dxz e(sin xcosx)edxcx ex e(sin x cosx)dxxc cesin xxce sin x y即為原方程通解.114(2)y-y (1 2x)y .3 33 dz解：令 z yz 2x 1.dxdxdxo .xz e (2x 1)e dx c 2x 1 cey3(ce y xe ； 2x 1)1即

15、為原方程通解13.求下列各微分方程的通解:(1)y x sinx;解：方程兩邊連續(xù)積分兩次得1 2y x cosx c1213y x sin x gx c26y(xex ex (c1)dxxxex2e g x C2y (xe 2ec1xc2)dxx1(x 3)e22qxC2XC3(3)yyx;解：令py,則原方程變?yōu)閜p x, p px,p edxdxxe dxGxAc1ex 1故y(c1ex x 1)dkc1ex12x 2xC2.y(y )3 y;解：設(shè)yp，則ypd解：積分得dyX XXy xe dx xe e c1原方程可化為pdp p3 pdy即p石（1）0 由p=0知y=c,這是原方

16、程的一個解 當(dāng)p 0時，豈1 p2罟dyarctan py qx In sin(y c1) ctan(y g)y arcsin( C2ex) ci(C2ec)1(5)y；x1解：y dx In x c1xy (In x G)dx xln x x gx C2xln x Gx C2(g ( 1 q)11 x解:1 2 dx arcsinx g .1 x解:解:(arcsi nx cjdx xarcs inx xy y 0;In pIn xIn(8)y3y1 0.，則y原方程可化為!p oxdpCiCiXC2.xc1dx g In x c2.xp.dy3 dp y p石0, pdpdy1 2 尹dy

17、1 22yCidxydyGy2 1dx2.cy2 1y2 12cix2 AGy 1(Cixq)2.14.求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解:(1)y3y1 0,Yx1 1，y0;解：令y p，則ydy原方程可化為y3 p乎 dy1 pdpAdyy12121p yc122221p2c1y當(dāng) x 0, y 0，得 c10i,y1,y p 0 知，c11，從而有1 y2y1yy2dydxC2mli,y2x 或 y2xx2 x2yxy1，yx1o，y1；解：令y p，則原方程可化為dxx1 (Inx q)x以x 1,y1代入上式得Ci1(In x xCi)(Inx1. 2In x21)In xC2

18、當(dāng)x=1時，y=0代入得C2In x.故所求特解為0;解: y arctanx c1以x=0, y=0代入上式得故所求特解為yarcta n xdxx arcta n xx arcta nx新(1x2)C2c?0xarcta nxhn(12x2).y y 1,Yx0 1,y0;解：令p y，則p原方程可化為p2 1dparctan p xdxtan (x c1)以x 0, y 0代入上式得cik n.以x=0, y=1代入上式得故所求特解為 y e2y,y解：令y p，則y原方程可化為積分得c2ta n(xkRdxpd2dypdy0;e2ypdp e2ydyV丄e2y2 2EdxIn cos(

19、x kn c2In cos(x k n 1以x 0,y y 0代入上式得q 1,42dy e2廠1 yarcsinedxmxC2以x=0, y=0代入得c2故所求特解為 y arcsinenmx2即 e y sincosx.In sec x.0 1,y2.解：令yp,yp譽(yù)dy原方程可化為pdpdy13y2以 x 0, y2,y由于y 3 y0.Pdp13y2dy32y2 G1代入得&032yN32y4，即卑2dx積分得14y以x=0, y=1代入得q故所求特解為15.求下列微分方程的通解:(1)y y 2y 0; 2x C2解：特征方程為r2 r 20解：特征方程為r2 3r 20解得故原方

20、程通解為(2)y y 0;解：特征方程為解得故原方程通解為ri 1, r22x2 xy c1ec2er210ri,2iyCi cosx C2Sin xd2xdx(3) 42 2025xdt2dt解：特征方程為解得故原方程通解為x (c1(4) y4y 5y 0 ；解：特征方程為解得故原方程通解為(5) y4y 4y 0 ;解：特征方程為解得故原方程通解為(6) y3y 2y 0.0；24r 20r25051 D25tC2t)e2 .r2 4r 5 0n,22 iy e2x(c1 cosx C2Sin x).r2 4r 40r1 D 2y e 2x(c1 C2X)解得r 1,r2故原方程通解為y

21、 qex c2e2x16.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：(1)y 4y 3yO,yxo 6,y x o 10；解：特征方程為r2 4r 3 0解得ri1,D 3通解為x3xy gec?ex八3xyc1e3c2e由初始條件得c1 c2 6G 4c1 3c2 10c2 2故方程所求特解為.x_ 3xy 4e 2e .(2)4 y 4y y0,yx0 2,y x0 0；解：特征方程為24r 4r 10解得1A D-2lx通解為y(c1 c2x)e 21 x2yC2 G C2 e2 2由初始條件得G2g21C2一 G 0Q121-x故方程所求特解為y (2 x)e 2 .y 4y 29y 0,

22、 y x 00, y x 015;解：特征方程為2r 4r 29 0解得*2 5i通解為y e 2x(c1 cos5x c2 sin5x)2c2)sin 5x由初始條件得Ci5c?2G故方程所求特解為3e2xsin 5x.y 25y0, yx o2,y5.解：特征方程為25 0解得1,25i通解為G cos5xc2 sin 5x5C| sin 5x5c2 cos5x由初始條件得Ci 25c2 5故方程所求特解為2cos5 xsin 5x.17.求下各微分方程的通解:(1)2y y y 2ex；解：2r2 r 1 0得相應(yīng)齊次方程的通解為xqe1xqe2令特解為yAex，代入原方程得故原方程通解

23、為qex2AexAexc?e2 .xxAe 2e ,2x(5c2 2c1 ) cos5 x ( 5c1(2)2y 5y5x2 2x 1;解：2r2 5r 0* 0,r252對應(yīng)齊次方程通解為*2令 y x(ax bxc),代入原方程得2(6ax2b)5(3ax22bxc) 5x22x 1比較等式兩邊系數(shù)得13，b1 3 -x33,c53 2-x5257x25故方程所求通解為yC1c2e7x25y 3y2y3xe x2解：r2 3r 2r1122,對應(yīng)齊次方程通解為c1ec2e2x解: r2 2r50令y x(Ax B)e (2 Ax代入原方程得2A)e3xe x解得A -,B23x2 3x2故所求通解為c1ex2xc2e2y5yex sin 2x ；A# 1 2i相應(yīng)齊次方程的通解為Xy e (c1 cos2x qsin 2x)xeX(Acos2x Bsin 2x)，代入原方程并整理得4Bcos2x 4Asin2x sin2x得則故所求通解為1A-,B 04xexcos2x4ex(q cos2xc2sin 2x)xexcos2x.4(5)y 2y y x;