中心極限定理及其意義

1、題目：中心極限定理及意義課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)班級：成員組成：聯(lián)系方式：2012年5月25日摘要：本文從隨機變量序列的各種收斂與他們的關系談起， 通過對概率經(jīng)典定理一 中心極限定理在獨立同分布和不同分布兩種條件下的結(jié)論做了比較系統(tǒng)的闡 述，揭示了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)一一平均結(jié)果的穩(wěn)定性。經(jīng)過對中心極限定理的討論，給出了獨立隨機變量之和的分布用正態(tài)分布來表示的理論依據(jù)。同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨立分布與獨立不同分布兩個角度來研究。同時通過很多相關的正反例題，進行說明這些定理所給出的條件是否是充要條件； 簽掉在實際 問題中靈活的應用和辨別是否服從我們給出的定理條件。最后了解一些簡單簡便的

2、中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計、管理決策、僅是計算以及保險業(yè)務等方面的應用， 來進一步的闡明了中心極限定理分支學課中的中重要作用和應用價值。關鍵詞:隨機變量，獨立隨機變量，特征函數(shù)，中心極限定理引言:在客觀實際中有許多隨機變量，他們是由大量的相互獨立的隨機因數(shù)的綜合影響所形成的，而其中每一個別因數(shù)在總的影響中所起的作用都是渺小的，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布，這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。中心極限定理自提出至今，其內(nèi)容已經(jīng)非常豐富。在概率論中，把研究在什 么條件下，大量獨立隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理稱為中心 極限定理。但其中最常見、最基本的兩個定理是德莫佛 -拉普拉斯中心

3、極限定理 和林德貝格-勒維中心極限定理。一、三個重要的中心極限定理1. 獨立同分布的中心極限定理設隨機變量XXzlXn,相互獨立，服從統(tǒng)一分布，具有數(shù)學期望和方差1*2XEXk DXk 乂 Ok/，2,），則隨機變量之和y k的標準化變量,_E Xk、Xk _rPY = k 的分布函數(shù)Fn（X）對于任意X滿足,nim：Fn（x）jim：P 心輕-xe丄 /2dtx2. 李雅普諾夫定理設隨機變量Xl，X2,：Xn相互獨立，它們具有數(shù)學期望和方差EXk 戸,DXk =5 歟=1,2,)記 若存在正數(shù)使得當nr :時,nBnkk丄n則隨機變量之和k r *的標準化量化,Znnnnv Xk _E Xk

4、 、Xk 八kk4Bn _的分布函數(shù)Fn（X）對于任意X滿足,lim Fn(x) =lim PnJsCnn二 Xk -空_ _xBn一&2dt -：x3. 棣莫弗一拉普拉斯定理設隨機變量n（nT，2,）服從參數(shù)為（。心：1）的二項分布，則對于任意x，有e/2dt =：xn npp/-x二、中心極限定理的意義：首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要 n足夠大，便可以把獨立同分布的隨 機變量和的標準化當作正態(tài)變量， 所以可以利用它解決很多實際問題，同時這還 有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事 實，從而正態(tài)分布成為概率論中最重要的分布， 這就奠定了中心極限定理的首要 功

5、績。其次，中心極限定理對于其他學科都有著重要作用。例如數(shù)理統(tǒng)計中的參數(shù)（區(qū)間）估計、假設檢驗、抽樣調(diào)查等；進一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計在 統(tǒng)計學中的應用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關鍵在于掌握樣本特征值的抽樣 分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得知未知總體的樣本特征值就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機樣本數(shù)據(jù)， 幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計的全部處理問題的方法應用于統(tǒng)計學，這從另一個方面也間接地開辟了統(tǒng)計學的方法領域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計學方法論中居于主導地位三、中心極限定理的應用：1.1保險學的概率論數(shù)學原理保險體現(xiàn)了“人人為我，我為人人”的互助思想，它以數(shù)理統(tǒng)計

6、為依據(jù)。保 險中的風險單位是發(fā)生一次風險事故可能造成標的物損失的范圍，也就是遭受損失的人、場所或事物。風險單位是保險公司確定其能夠承擔的最高保險責任的計 算基礎。理想狀態(tài)下的風險單位應獨立同分布， 這種現(xiàn)象的意義在于保險人可以據(jù)此向每個潛在的被保險人收取同樣的保費。同時根據(jù)中心極限定理，含有n個風險單位的隨機樣本的平均損失符合正態(tài)分布，這個結(jié)論對保險費率的厘定極 為重要。保險公司各險種的交費標準是經(jīng)過精算后以同期銀行利率比照制定的， 所以在此基礎上應盡可能地多承保風險單位，也就越可能有足夠的資金賠付保險 期內(nèi)發(fā)生的所有索賠，從而使保險公司的運營更加平穩(wěn)，也就越有利于投保人或 被保險人.既然可利

7、用中心極限定理能合理地厘定保險費率，為何老年人投保一再被提高門檻呢？京江晚報3月28日就有報道“對保險公司來說，老年人屬于高風險 人群，存在的不確定因素較多，老年人發(fā)生醫(yī)療費用支出和意外事故的風險要比 年輕人大。所以，從賠付率的角度考慮，保險產(chǎn)品在推出前會經(jīng)過精密測算，設 置相應的年齡門檻和不同的繳費標準”我們以最簡單的一年定期壽險為例說明保險公司為何對中老年人保險總提高門檻，老年人投保壽險與年輕人有何區(qū)別。 如表1所示是臺灣遠雄人壽千喜男 性一年定期壽險的部分費率及死亡率（見附錄三、四）。為說明問題，我們選取 25-29歲作為年輕人的代表，61-65歲為老年人的代表，將這兩個年齡段進行比 較

8、。遠雄人壽千喜男性一年定期壽險的部分費率及死亡率表1單位：元/每萬元基本保額年齡保費死亡率年齡保費死亡率25180.000945612150.01489226180.000925622350.01636127180.000915632570.01797228180.000918642810.01974029190.000933653080.021677現(xiàn)假定每個年齡各有1000個人投保，則按照下列計算公式得出表 2： 總保費=1000 單個人的保費（元）=0.1 單個人的保費（萬元），賠付額=1（f E i（元）=E丄萬元），E i為100（個年齡為歲的個體在一年內(nèi)死亡的期望不同年齡的總保費及

9、賠付額表2單位：萬元年齡25262728296162636465總保費1.81.81.81.81.921.523.525.728.130.8賠付額0.950.930.920.920.9314.916.418.019.721.7由于計算中假定每個年齡的投保數(shù)相同， 而老年人的死亡率比年輕人高，則導致賠付額的基數(shù)較大，所以還不能很好的解釋問題，這里再引入賠付率（賠付 率=賠付額/總保費），得出表3。各年齡的賠付率表3年齡25262728296162636465賠付率52.851.751.151.148.969.369.870.070.170.5%從表3可知，25-29歲總體的賠付率呈下降趨勢，而

10、61-65歲總體的賠付率呈上升趨勢且賠付率處于較高水平。 那么對于一個保險公司，她的經(jīng)營主要是以盈利為目的，老年人身體狀況較差，是疾病、死亡的多發(fā)群體，面臨的風險大， 所以為老年承保壽險時保險公司的賠付率相對較高。因此老年人投保壽險一再被提高門檻。同時，老年人壽險的保費若定價較高，但老年人收入相對偏低，可能 買不起，而定價過低，保險公司也承受不起，從而更加影響公司的盈利。因此， 壽險公司更愿意把目光投向年輕人群體。1.2定期壽險保險金的給付模型在上述比較中，我們知道了保險公司更青睞于年輕群體，但是在保險公司追 求利益的同時還應考慮到他們的償還能力。我國保險法規(guī)定“保險公司應該 具有與其業(yè)務相適

11、應的最低償付能力?！毕旅嫖覀兙蛯⒔⒍ㄆ趬垭U保險金給付 模型。首先，根據(jù)國際精算協(xié)會的慣例，采用下列符號：（x）: 一個新生兒生存至x歲，記為個體（x）；t Px: （x）活過年齡x+t歲的概率，即（x）至少再活t年的概率；:（x）活到t歲的個體恰好在此年齡死亡的可能性，稱為死亡力。且當叫t）為常數(shù)時有p 丄t Px =e：是衡量在某個確切時點上利率水平的指標，稱為利息力，簡稱息力；V :稱為貼現(xiàn)因子，表示1年后得到1元在年初時刻的現(xiàn)值；T（x）:個體（x）的未來生存時間?，F(xiàn)假定利率為常數(shù)i，則有：i1，-.=l n（1 i）, d,v =1+i1+i再記n年定期壽險的保險人給付額的現(xiàn)值為乙則

12、Z的精算現(xiàn)值為11,vtt Pl（x）dtAx：n = oZ的j階矩為j11.Ax：n = Ax：n p （其中N表示計算時米用利息力j;-）nvjtt pL（x）dt=0現(xiàn)假定1000個x歲獨立的個體投保一年定期壽險，死亡保險金為 1萬元， 在死亡后立即給付。死亡力為常數(shù) J =0.06。死亡給付是由某投資基金提供，投資基金的利息力為;=0.04。若要能夠支付未來死亡保險金的概率不低于0.975，現(xiàn)在所需資金最低額度是多少？記1000個個體的未來生存時間分別為T1（x）,T2（x）,Two。），總給付金額的現(xiàn)1000瓦 vTj(x) 值為i丄，則精算現(xiàn)值為,11IAx：i = vttPx(x

13、)dt= eeJidt(1eg)=0.6(1 e 衛(wèi).1) =0.057100二階矩為2心入2 ndt =弋W)=3(214)40560T，（ x）2 11 2因此方差D（vj ）=亦-（A =0.0527。設W為滿足要求所需的最低資金額度，利用中心極限定理，我們可以得到:1000 T(x)-11000v vj() -1000Ax：11Tj(x)j4W -1000Ax：1P( v 乞W) =P()jJ000D(vTj(x). 1000D(vTj(x)Tj(x)1000vTj(x)-P(M _000D(vTj(x)7.261-1000 Ax：1W -52.77.26 )再利用正態(tài)分布0.975的

14、分為點1.96，得W -52.77.261.96即W 67萬元。所以，若需要能夠支付未來死亡保險金的概率不低于0.975，現(xiàn)在所需資金的最低額度是67萬元。1.3定期壽險業(yè)的盈虧我們已經(jīng)知道壽險公司的經(jīng)營是為了盈利，而一個保險公司的盈虧，是否破產(chǎn)， 我們也可以運用中心極限定理的知識做到估算和預測。例如設某壽險公司在一段 時間內(nèi)有n個同一年齡的人投保一年定期壽險，他們是相互獨立彼此互不影響 的，且在一年內(nèi)沒有新的投保人加入該項保險業(yè)務，也沒有人退保。那么就可以 利用中心極限定理估計該公司接下這些保單的盈虧概率。設每份保單的保費為 M保額為Q該年齡的死亡率為p，令x1,第i個人死亡0,第i個人仍活

15、著，i=1,2,n ,則有n、XiL N(n,p)，i壬再結(jié)合中心極限定理有該保險公司的虧本概率為 n M -npP(n M :：x Q)二 P(七M:x) = P(-npnp(1 _ p)x -np np(1- p)）= - Jn p（1 p）若計算出的較小，則對公司的盈利有好處，若偏大，則為了盈利著想，壽險 公司可通過增加保費等手段來降低虧本率。1.4實例分析 例1 :某保險公司的老年人壽保險有10000人參加，每人每年交200元。若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給其家屬1萬元。設老年人的死亡率為0.017，問：（1）保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率多大？（2）保險公司一年的利潤不少于20

16、萬元的概率多大？解：設表示一年內(nèi)參保人的死亡數(shù)。則由題可知L B（10000,0.017）。（1）要使保險公司虧本，必須滿足200 10000-10000 200則 P（ 200）=1- P （ 0 200）_1 不/ 20010000x0.017 、不/ 010000x0.017 x1-=）/0000X0.017X0.983J10000X 0.017 x 0.983=1-:2.3256） - ：（-13.1783）=0.01即保險公司虧本的概率為1%（2）要使保險公司一年的利潤不少于 20萬元，必須滿足200 10000-10000 - 200000二匕 P(X )。22同理可證明(2)，(

17、3)。 所以猜測一是正確的。對于猜測二：當n充分大時，我們可以得到f1n若0cp，貝肝(n)T 七C,此時 P(X A)T 0;2 21 n1若p 二一，則f(n)=0,此時P(X )=_；2 221n右？ p 1,則f (n) T此時 P(X 2)t 1。由此可知，當n充分大時，若則p(x )無限趨近于1,而p是一個大于2 21/2小于1的常數(shù)，所以必定有P(X n) p，即1 :：: p：；1是P(X .) p的必要條件;2 2 2相反當P(X .) p時，是否也有一 :p 7) =1-6( ) =- p，2Jn p(1-p) 2矛盾。若0p一，則當n充分大時，nr_npP(X n)=1：

18、(一2)趨于 0,2Jnp(1 p)1 n而p是一個大于0小于-的常數(shù)，所以P(X .)也不可能大于P,矛盾。即p2 2只能屬于(-,1)0因此，當n充分大時，P集正p的充要條件為-1 o62 2在驗證猜測一與二的基礎上，我們可以得出這樣的結(jié)論：當且僅當0.5p1時集 體決策為正確的概率大于個體決策為正確的概率，并且當參與人數(shù) n不斷增加 時，集體決策正確的概率也不斷趨向于 13.0中心極限定理在生產(chǎn)供應、需求上的應用現(xiàn)實生活中，當廠家的生產(chǎn)量大于需求量時，會導致商品的積壓以及商品價 值難以體現(xiàn)；而當廠家的生產(chǎn)量小于需求量時， 供給又難以滿足社會需求。為了 盡量防止“供”過于大于“求”及盡可能

19、的滿足社會需求度，我們就要利用中心 極限定理來估算一些值，具體如下。3.1根據(jù)現(xiàn)有生產(chǎn)能力及用戶需求狀態(tài)，估算能滿足社會需求的可靠程度某工廠負責供應某地區(qū)n個人的商品供應，在一段時間內(nèi)每人需用一件該商品的概率為p,假定在這段時間內(nèi)每個人購買與否彼此獨立，現(xiàn)該工廠僅生產(chǎn)M件商品，試估計能滿足該地區(qū)人們需求的概率1若記1,第i個人購買該商品彳Xi, i=1,ni 0,第i個人不購買該商品則nn Xi - npPC Xi ：M)-P(7M -np)_：( M -np )仝.,vnp(1 p)np(1p). np(1 - p)通過查正態(tài)分布表可求得3.2根據(jù)社會需求狀態(tài)來確定生產(chǎn)任務某工廠負責供應某地

20、區(qū)n個人的商品供應，在一段時間內(nèi)每人需用一件該商品的概率為p,假定在這段時間內(nèi)每個人購買與否彼此獨立，現(xiàn)該工廠至少有1的把握滿足社會需求，試問該工廠需要生產(chǎn)商品的件數(shù)M若記，i=1,nxi二1,第i個人購買該商品0，第i個人不購買該商品則N、Xi N(n, p)i nnI： Xinp-卩(乜汕)二卩(宀-M _np_)-：.：(M np)二戸i.n p(1p) .n p(1p)n p(1 p)嘆(x|.) 士 ：,(11)_np x. np(1 p),所以該工廠至少需要生產(chǎn)np np（1 一 p）件商品。3.3根據(jù)需求及產(chǎn)品質(zhì)量情況來確定生產(chǎn)量某工廠負責供應某地區(qū)的商品供應，該商品的次品率為p

21、,而在一段時間內(nèi)共需M件該商品且要求至少有1的可靠程度來保證居民購買到的是正品,求該工廠的生產(chǎn)量N。若記則N7 Y(N,p)i 土所以由NP(N - Y _M)i 可知NnYi - NpPC X N M) - p( p) M )：i 1Np(1 p). Np(1 p)令（y J 二：，Y = 1,第i件商品是次品0第i件商品不是次品,i=1,N,再通過解不等式N(1 _p) _M:Np(1 亍 p)由上式可解出生產(chǎn)量N的范圍3.4例題分析設某電視機廠生產(chǎn)液晶電視機以滿足某地區(qū) 100家客戶的需求，若由以往的 統(tǒng)計資料表明：每一用戶對該電視機的年需求量服從=2的泊松分布，現(xiàn)在該廠這種電視機的年產(chǎn)

22、量為220臺，能以多大的把握滿足客戶的需求量呢？若該廠 要有97.5%的把握滿足客戶的需求，則該廠至少生產(chǎn)多少臺這種液晶電視機？現(xiàn) 在該廠引進先進技術，將液晶電視機的出廠正品率提高到95%現(xiàn)估計一年內(nèi)該地區(qū)的社會總需求量為500臺，則為了有99.7%的把握保證客戶購買到的是正品液晶電視機，則該廠該年至少生產(chǎn)多少臺液晶電視機？11解：設這100戶客戶對這種液晶電視機的年需求量依次為 仆2,., 100。則由統(tǒng)計 資料表明：P( k = j)=.;k =1,2,.,100)那么根據(jù)泊松分布的知識知2 2 亍(j皿.再設100為這100家客戶對這種液晶電視機的年需求總量，則100100=7 k，k 2由于n=100較大，根據(jù)中心極限定理我們有：100近似服從正態(tài)分布N(n