高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)分類討論經(jīng)典例題

1、例 1（ 1）關(guān)于 x 的方程 x22(m3)x2m140 有兩個實根，且一個大于 1，一個小于 1，求 m 的取值范圍；（ 2） 關(guān)于 x 的方程 x2 2(m3)x2m140 有兩實根都在0,4) 內(nèi)，求m 的取值范圍；關(guān)于 x 的方程x22(m3)x2140 有兩實根在的取值范圍m1,3 外，求 m（ 4）關(guān)于 x 的方程 mx22(m3) x2m140 有兩實根，且一個大于 4，一個小于 4，求 m 的取值范圍 .解（1）令 f (x)x22(m3)x2m14 ，對應(yīng)拋物線開口向上，方程有兩個實根，且一個大于1，一個小于1 等價于 f (1)0 （思考：需要0 嗎？），即 m21.4（

2、2）令 f (x)x22(m3)x2m14 ，原命題等價于f (0)02m140f (4)0168(m3)2m140272(m3)m5.047m352m5,m14(m3)24(2m 14)0（3）令 f (x)x22(m3)x 2m14 ，原命題等價于f (1)0即12(m3)2m14021.f (3)096( m3)2m 14得 m04（4）令 g(x)mx22(m3)x2m14 ，依題得m0或m0, 得19m0.g(4)g(4)0013（1）已知函數(shù)()22，若有解，求實數(shù)的取值例 2f xaxaf ( x) 0a范圍；（2）已知 f ( x)x 24x ，當(dāng) x1,1時，若 f ( x)

3、a 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍。解：（1） f ( x)0 有解，即 ax2a20 有解a( x21)2 有解a2有x 21解 a|2|max2.所以 a(,2).21x（2）當(dāng) x 1,1 時， f ( x)a 恒成立 f (x)mina.又當(dāng) x 1,1時， f (x) minf ( 1)5 ，所以 a(, 5).【評注】“有解” 與“恒成立” 是很容易搞混的兩個概念。 一般地，對于“有解”與“恒成立”，有下列常用結(jié)論：（1）f ( x)a 恒成立f x) mina ；（ ）(2 f ( x) a恒成立 f ( x) maxa ;（3） f (x)a 有解 f ( x) maxa ；（

4、 4） f ( x)a 有解 f ( x) min a.1) x 3在區(qū)間 3 ,2例 3 已知函數(shù) f (x) ax 2 ( 2a上的最大值為，求實數(shù) a21的值。分析：這是一個逆向最值問題， 若從求最值入手， 首先應(yīng)搞清二次項系數(shù)a是否為零，如果a0, f ( x) 的最大值與二次函數(shù)系數(shù)a 的正負(fù)有關(guān)，也與對稱軸x012a 的位置有關(guān)，但 f(x)的最大值只可能在端點或頂點處取得，解答時必2a須用討論法。解、 a0 時， f ( x)x3，3,2 上不能取得 1，故 a0 .f (x) 在 2f ( x)ax2(2a1) x3(a0) 的對稱軸方程為 x01 2a .2a（1）令 f (3)1，解得 a10 ，23此時 x023 3 ,2 ，202因為 a3) 1不合適。0 ， f ( x0 ) 最大，所以 f (2（2）令 f (2)1 ，解得 a3 ，4此時 x013 ,2 ，32因為 a30, x013 ,2 ，且距右端點 2 較遠(yuǎn)，所以 f (2) 最大，合適。432（3）令 f (