線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、大學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章行列式二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的和aj n =送（-1嚴(yán)jlj2jn（奇偶）排列、逆序數(shù)、對(duì)換行列式的性質(zhì)：行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式 d = dt） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號(hào)。推論：若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零。 常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零；推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式 M

2、j、代數(shù)余子式 4 =（1）宀皿耳定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對(duì)應(yīng)余子式乘積之和為零?？巳R姆法則：Dj非齊次線性方程組 ：當(dāng)系數(shù)行列式 D式0時(shí)，有唯一解：Xj =1、2n）D齊次線性方程組：當(dāng)系數(shù)行列式 D=10時(shí)，則只有零解逆否：若方程組存在非零解，則D等于零反對(duì)稱行列式：aj - -ajj奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式值為零ai1ai2ai3a21a220a310a33三線性行列式方法：用k22把a(bǔ)2i化為零，?；癁槿切涡辛惺教厥庑辛惺?a11ai2ai3ai1a21a31轉(zhuǎn)置行列式：a21a22a23Tai2a22a32a3ia 32a 33ai3a23a33對(duì)稱行列式:aij =

3、a ji上（下）三角形行列式行列式運(yùn)算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、第二章矩陣矩陣的概念：Am*n （零矩陣、負(fù)矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣）矩陣的運(yùn)算：加法（同型矩陣） 交換、結(jié)合律數(shù)乘 kA = （kaj） m*n - -分配、結(jié)合律乘法A* B =（7 *4）“ aikbkj）m*n注意什么時(shí)候有意義般AB=BA，不滿足消去律；由AB=0，不能得 A=0或B=0轉(zhuǎn)置（at）t 二 A(A B)Tat bt方幕:(kA)T =kAJAklAk2=A（AB）t =BtAt （反序定理）幾種特殊的矩陣:對(duì)角

4、矩陣:若 AB 都是 N 階對(duì)角陣，k是數(shù)，則 kA、A+B、AB都是n階對(duì)角陣數(shù)量矩陣：相當(dāng)于一個(gè)數(shù)（若）單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若）對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣階梯型矩陣：每一非零行左數(shù)第一個(gè)非零元素所在列的下方都是0分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個(gè)子塊也要轉(zhuǎn)置注：把分出來的小塊矩陣看成是元素逆矩陣：設(shè) A是N階方陣，若存在 N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的,A4 =B（非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣）3、將某行（列）的初等變換 1、交換兩行（列）2.、非零 k乘某一行（列）倍加到另一行（列） 初等變換不改變矩陣的可逆性初等矩陣都可逆初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃?/p>

5、經(jīng)過一次初等變換得到的（對(duì)換陣倍乘陣倍加陣）等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣（OO0矩陣的秩r（A）:滿秩矩陣 降秩矩陣 若A可逆，則滿秩若A是非奇異矩陣，則 r （AB ） =r （ B）初等變換不改變矩陣的秩求法：1定義2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式或階梯形矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別：都是數(shù)表；行列式行數(shù)列數(shù)一樣，矩陣不一樣；行列式最終是一個(gè)數(shù)，只要值相等，就相等，矩陣是一個(gè)數(shù)表，對(duì)應(yīng)元素相等才相等；矩陣（kaj）n = k（ajj）n，行列式 kaj ” = k a,”逆矩陣注：AB=BA=I則A與B 一定是方陣 BA=AB=I則A與B 一定互逆；不是所有的方陣都存在逆矩陣；若 A可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足

6、的 運(yùn)算律：1、 可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且 （A）* = A-11-12、 可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且（kA） Ak3、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置AT也是可逆的，且（AT）=（A）T4、兩個(gè)可逆矩陣 A與B的乘積AB也是可逆的，且（AB）二BA但是兩個(gè)可逆矩陣 A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但（A B） = A， B，A為N階方陣，若|A|=0，則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。5、若A可逆，則A=|A伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣：A* = 1A11 A2（代數(shù)余子式）A21 A22特殊矩陣的逆矩陣：（對(duì)1和2，前提是每個(gè)矩陣都可逆）A B_4/ A _A BC1、分塊

7、矩陣D =1則D =2 c丿2c，丿A、A2 -4a2_i2、準(zhǔn)對(duì)角矩陣A =，則A =A3AAua/* I I 13、 AA = AA=AI4、A =| A A （ A 可逆）*n1*1d *15、 A=A6、（A=（A）=厶 A （A 可逆）IA7、（A ） =（AT *8、（AB） = B A1判斷矩陣是否可逆：充要條件是 A = 0，此時(shí)AA*IAI求逆矩陣的方法：定義法AA丄=1*A伴隨矩陣法A二IAI初等變換法 A| In = In |AJ只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系：設(shè)A=?aj m*n是m*n階矩陣，則對(duì) A的行實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以

8、 A:對(duì)A的列實(shí)行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以 A（行變左乘，列變右乘）第三章線性方程組消元法 非齊次線性方程組：增廣矩陣t簡(jiǎn)化階梯型矩陣r（AB）=r（B）=r 當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng) r Hn時(shí)，有無窮多解 r（AB）芒 r（B），無解齊次線性方程組：僅有零解充要r（A）=n有非零解充要r（A）n 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù) 未知量個(gè)數(shù)，一定有非零解 當(dāng)齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)，有非零解充要 |A|=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個(gè)N維向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量 0,負(fù)向量，相等向

9、量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系：I線性組合或線性表示向量組間的線性相關(guān)（無）：定義R79向量組的秩：極大無關(guān)組（定義 P188）定理：如果G i ,3，.巴 是向量組G a .叫的線性無關(guān)的部分組，則它是j1 j2Jr極大無關(guān)組的充要條件是：12,as中的每一個(gè)向量都可由 a人，。j2 ,.乞j線性表出。 秩:極大無關(guān)組中所含的向量個(gè)數(shù)。定理：設(shè)A為m*n矩陣，則r（A）二r的充要條件是：A的列（行）秩為r?，F(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性組合或線性表示注：兩個(gè)向量 a3,若口 = kB則a是 B線性組合單位向量組任意向量都是單位向量組的線性組合零向量是任意向量組的線性組合任意向量組

10、中的一個(gè)都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無）注：n個(gè)n維單位向量組一定是線性無關(guān)一個(gè)非零向量是線性無關(guān)，零向量是線性相關(guān) 含有零向量的向量組一定是線性相關(guān) 若兩個(gè)向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量B可由一：匚2,.島線性表示的充要條件是 r（_：T一叮nT ） = rCJnT ： T）判斷是否為線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)k1k2.kn，求k1k2.kn （適合維數(shù)低的）2、向量間關(guān)系法R83 :部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān)3、 分量法（n個(gè)m維向量組）R80 :線性相關(guān)（充要）n r 02丁 .。n n線性無關(guān)（充要）一（:叮打.：*）二n推論當(dāng)m=n時(shí)，相關(guān)，貝U=0

11、；無關(guān)，則 口0（23丁式0當(dāng)mn時(shí)，線性相關(guān)推廣：若向量a1 （2,.as組線性無關(guān)，則當(dāng)s為奇數(shù)時(shí)，向量組 円+ot2,a2+口 3,.叫+1也線性無關(guān)；當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)，向量組也線性相關(guān)。定理：如果向量組-2,./ s/-線性相關(guān)，則向量一：可由向量組、，亠線性表出，且表示法唯一的充分必要條件是：i2,.-s線性無關(guān)。極大無關(guān)組 注：向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個(gè)數(shù)是確定的；不全為零的向量組的極大無關(guān)組一定存在；無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其本身；向量組與其極大無關(guān)組是等價(jià)的。齊次線性方程組（I ）解的結(jié)構(gòu)：解為X，2（I ）的兩個(gè)解的和1 仍是它的解；（I）解的任意倍數(shù)還是

12、它的解；（I）解的線性組合 c： 1 c： 2 . s也是它的解，Ci,C2,.Cs是任意常數(shù)。 非齊次線性方程組（II ）解的結(jié)構(gòu)：解為叫，2（II）的兩個(gè)解的差 叫-巳仍是它的解；若是非齊次線性方程組 AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組AX=O的一個(gè)解，則u+v是（II ） 的一個(gè)解。定理：如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩r（A） =r ： n，則該方程組的基礎(chǔ)解系存在，且在每個(gè)基礎(chǔ)解系中，恰含有n-r個(gè)解。若亠是非齊次線性方程組 AX=B的一個(gè)解，v是其導(dǎo)出組 AX=O的全部解，則u+v 是（II）的全部解。第四章向量空間向量的內(nèi)積 實(shí)向量定義：（a, B） =aB 丁 =印 +a2d +

13、.+anbn性質(zhì)：非負(fù)性、對(duì)稱性、線性性（a,k B）=k（ a B）;2（k a,kB）= k （ a B）；(a+ B, ; )=( a )+( a - )+( B, )+( B );rsrsC ki： i,lj L) 7 klj(： Jj)i =1j 電i W j W向量的長(zhǎng)度 網(wǎng) F（a,a）a =0的充要條件是 a=0 ； a是單位向量的充要條件是（a, a） =1 單位化向量的夾角正交向量：aB是正交向量的充要條件是（a, B） =0正交的向量組必定線性無關(guān)性質(zhì)：1、若A為正交矩陣，則A可逆，且 A，= AT，且A，也是正交矩陣;2、若A為正交矩陣，則 A =1 ；3、若A、E為同

14、階正交矩陣，則AE也是正交矩陣；4、n階矩陣A=（ aj ）是正交矩陣的充要條件是A的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量;第五章矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量A是N階方陣，若數(shù)入使AX= hX，即（入I-A ） =0有非零解，則稱 九為A的一 個(gè)特征值，此時(shí)，非零解稱為A的屬于特征值X的特征向量。|A|=入*為* 入注：1、AX=2、求特征值、特征向量的方法I打A = 0求扎 將入i代入（k I-A ） X=0求出所有非零解3、對(duì)于不同的矩陣，有重根、單根、復(fù)根、實(shí)根（主要學(xué)習(xí)的）特殊：（打）n的特征向量為任意 N階非零向量或C2 （Ci不全為零）lCn丿4、特征值:若 C - 0）是A的特

15、征值則A41扎則Amm A則kAk若A2 =A則 =0 或 1若A2 =則- =-1 或 1k若A =O則 =0跡 tr(A ):跡(A) =an +a?2 +a.n性質(zhì)：1、N階方陣可逆的充要條件是 A的特征值全是非零的12、A與A有相同的特征值3、N階方陣A的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)4、5、 P281相似矩陣定義P283: A、B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P,滿足PAP =B，則矩陣A與B相似，記作AB性質(zhì)1、自身性：AA,P=I2、 對(duì)稱性：若 AB 則 BAPAP = BA=PBP，(P1)，BP1=A1 13、 傳 遞性：若 AB、BC 貝U ACR AR = BF2 BP

16、2=C-(PPzf&RPO =C4、若AB，則A與B同(不)可逆5、 若AB，貝U AB PAP=B兩邊同取逆， PAP二B-16、 若AB，則它們有相同的特征值。(特征值相同的矩陣不一定相似)7、 若AB，則r(A) = r(B)初等變換不改變矩陣的秩例子：PAP 二 B 則 A100 = PB100PP AP =0A=OP AP 二 IA=IP APIA= I矩陣對(duì)角化定理：N階矩陣A與N階對(duì)角形矩陣相似的充要條件是A有N個(gè)線性無關(guān)的特征向量注：1、P與人中的人與、順序一致2、AA,則A與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個(gè)互異的特征值，則 Aa ( P281)定理：n階方陣Aa的充要條件是對(duì)于每一個(gè)Ki重特征根i，都有r ( i I - A) = n - Ki注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣 I的特征值為主對(duì)角線。約當(dāng)形矩陣丸1約當(dāng)塊：形如九1的n階矩陣稱為n階約當(dāng)塊;JiJ