高中數(shù)學(xué)微課題研究性精品教程專(zhuān)題6.7：等差數(shù)列中前 項(xiàng)和的最值問(wèn)題的研究與拓展

1、 專(zhuān)題6.7：等差數(shù)列中前項(xiàng)和的最值問(wèn)題的研究與拓展 【探究拓展】探究1：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求公差的取值范圍；（2）求中的最大值.變式1：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則前多少項(xiàng)的和最大？變式2：若把條件改為“”，有類(lèi)似的結(jié)論嗎？變式3：一般地，若， ，則前多少項(xiàng)的和最大？變式4：若是等差數(shù)列，且，求證：；法1：基本量法證明法2：圖象，由，可得圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故法3：由可得：，即得，易得證. 變式5：探究5的逆命題是否成立？即若是等差數(shù)列，且，且，則成立嗎？為什么？拓展1：已知為等差數(shù)列，若，且它的前項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)取得最小正值時(shí)， . 19拓展2：等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，則當(dāng)時(shí)

2、，最大.8 拓展3：在等差數(shù)列中，公差，、是方程的兩個(gè)根. 是數(shù)列的前項(xiàng)和，那么滿(mǎn)足條件的最大自然數(shù) 4021拓展4：已知數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)之積為且，則下列四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)為_(kāi)（1）；（2）使得取得最大值的；（3）滿(mǎn)足不等式的最大正整數(shù)；探究2：設(shè)是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，給出如下兩個(gè)命題：命題：是等差數(shù)列；命題：等式對(duì)任意（）恒成立，其中是常數(shù).（1）若是的充分條件，求的值；（2）對(duì)于（1）中的與，問(wèn)是否為的必要條件，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若為真命題，對(duì)于給定的正整數(shù)（）和正數(shù)m，數(shù)列滿(mǎn)足條件，試求的最大值.解：（1）設(shè)的公差為，當(dāng)時(shí)原等式可化為所以，即對(duì)于恒成立，所

3、以當(dāng)時(shí)，也成立（2）當(dāng)時(shí) 假設(shè)命題成立，即“若對(duì)于任意的恒成立，則為等差數(shù)列”. 當(dāng)時(shí)，顯然成立當(dāng)時(shí)，由-得，即.當(dāng)時(shí)，即、成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，即.所以為等差數(shù)列，即為的必要條件.(3)由，可設(shè)，所以.設(shè)的公差為，則，所以，所以，所以的最大值為拓展1：設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0.證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何，都有拓展2：已知是等差數(shù)列，對(duì)于給定的正整數(shù)， ，則的最大值為_(kāi).拓展3：在正項(xiàng)數(shù)列中,令.（1）若是首項(xiàng)為25,公差為2的等差數(shù)列,求；（2）若（為正常數(shù)）對(duì)正整數(shù)恒成立,求證為等差數(shù)列；（3）給定正整數(shù),正實(shí)數(shù),對(duì)于滿(mǎn)足的所有等差數(shù)列,求的最大值.解：（1）由題意得,所以=（2）證:令,則=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化簡(jiǎn)得（3）（4）,（4）（3）得 在（3）中令,得,從而為等