點、直線、圓與圓位置關系—知識講解(基礎)

1、點、直線、圓與圓的位置關系一知識講解（基礎）【學習目標】1. 理解并掌握點與圓、直線與圓、圓與圓的各種位置關系；2. 理解切線的判定定理、性質定理和切線長定理，了解三角形的內切圓和三角形的內心的概念，并熟練掌 握 以 上 內 容 解 決 一 些 實 際 問 題；3. 了解兩個圓相離（外離、內含），兩個圓相切（外切、內切），兩圓相交，圓心距等概念理解兩圓的位置關系與 d、5、 r2等量關系的等價條件并靈活應用它們解題.【要點梳理】要點一、點和圓的位置關系1 點和圓的三種位置關系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質和判定方法；

2、設O O的半徑為r ,點 P到圓心的距離為d ,則有（1）點P在圓內od 尸0點P在圓上ud二尸U點P在圓外OdhO2 .三角形的外接圓經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角 形的外心.三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等要點詮釋：（1）點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系; 知道數(shù)量關系也可以確定位置關系；置 關這時直線叫做圓唯一的公共點叫做切（2） 不在同一直線上的三個點確定一個圓.要點二、直線和圓的位置關系系：的割線.直 線 和圓 的 三 種 位（1）相交：直線與圓有兩個公共點時

3、，叫做直線和圓相交.直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切這時直線叫做圓的切線,相切:（2）占八、相離：直線和圓沒 線 與 圓 的 位 直直線與圓的位置關系能否像點與圓有公共點時，叫做直線和圓置 關 系 的 判 定 和 性的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？ （圓心） 中直線與圓由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關系，就可以轉化為直線和點 的位置關系.下面圖（1）中直線與圓心的距離小于半徑；圖 （2）中直線與圓心的距離等于半徑；圖 心的距如果O O 的半徑為 r的距圓心 O 到直線(1) 直銭/和0交 d0相離Odr要點詮釋：這三個命題從左邊到右邊反映了直

4、線與圓的位置關系所具有的性質；從右邊到左邊則是直線與圓的 位置關系的判定.要點三、切線的判定定理、性質定理和切線長定理1 切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線要點詮釋：切線的判定定理中強調兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可2 切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑 3 .切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長要點詮釋：切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱切線是直線，而非線段4 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線

5、的夾角要點詮釋：切線長定理包含兩個結論：線段相等和角相等5.三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓6 .三角形的內心：三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心三角形的內心到三邊的距離都相等要點詮釋：(1) 任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2) 解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內切圓半徑乘積的一半，即T : (S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內切圓的半徑).2三角形的外心與內心的區(qū)別:名稱確定方法圖形性質外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交占八、A(1)到三角形三

6、個頂點的距離相等，即 OA=OB=QC(2)外心不一定在三角形內部內心(三角形內切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB OC分別平 分/ BAC / ABC / ACB內心在三角形內部要點四、圓和圓的位置關系1.圓 與 圓 的 五 種 位 置 關 系 的 定 義兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離. 兩圓外切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩 個 圓 外 切 這 個 唯一 的 公 共 點 叫 做 切 點 兩圓相交：兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩圓相交. 兩圓

7、內切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩 個 圓 內 切 . 這 個 唯一 的 公 共 點 叫 做 切 點 . 兩圓內含：兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓內含.與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關系:設O O的半徑為,O O半徑為2,兩圓心 0Q的距離為d ,則:兩圓外離dr1+r 2兩圓外切0d=r 1+r2兩圓相交01-r 2vdvr 計2(r 12)兩圓內切0d=r 1-r 2(r 1r2)兩圓內含0dvr 1-r 2(r12)要占八、詮釋:(1)圓與圓的位置關系,既考慮它們公共點的個數(shù),又注意到位置的不冋,若

8、以兩圓的公共點個數(shù)分類，又可以分為：相離(含外離、內含)、相切(含內切、外切)、相交；(2)內切、外切統(tǒng)稱為相切，唯 一的公共點叫作切占八、(3)具有內切或內含關系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.【典型例題】類型一、點與圓的位置關系a1. 已知圓的半徑等于 5 cm,根據(jù)下列點 P到圓心的距離：(1)4 cm ； (2)5 cm ; (3)6 cm，判定點P與圓的 位置關系，并說明理由.【答案與解讀】(1)當 d=4 cm 時，T dv r ,點 P在圓內；(2) 當d=5 cm時，T d=r，點 P在圓上；(3) 當d=6 cm時，t d r，點P在圓外.【總結升華】禾U用點與圓的位

9、置關系，由點到圓心的距離與半徑的大小比較 舉一反三：【變式】 點A在以0為圓心，3為半徑的OO內，則點A到圓心0的距離d的范圍是.【答案】Ow dv 3.類型二、直線與圓的位置關系2. 在Rt ABC中，/ C=90, AC=3厘M BC=4厘M以C為圓心，r為半徑的圓與 AB有怎樣的位置關系？為什么？(1)r=2 厘 M;(2)r=2.4 厘 M;(3)r=3 厘 M【答案與解讀】過C點作CDL AB于D,在 Rt ABC中，/ C=90, AC=3 BC=4,得 AB=5,(1)(2)(3 ).cd=名阮 3 4AB=2.4 (cm),5r =2cm 時 CDr ,圓 C與 AB相離;r=

10、2.4cm 時，CD=r,.圓 C與 AB相切;r=3cm 時，CDR+r；兩圓外切二d= R+r:兩圓相交二 R-rvdv R+r;兩圓內切二d= R-r;兩圓內含二dv R-r.點、直線、圓與圓的位置關系一鞏固練習(基礎)【鞏固練習】一、選擇題1.已知：如圖，PA PB分別與O O相切于A, B點，C為O O上一點，/ ACB=65，則/ APB等于()A. 65B. 50C. 45 D . 402 .如圖，AB是O O的直徑，直線 EC切O O于B點，若/ DBC=z，貝U ().1A.Z A= a B . Z A=90- a C . Z ABD= a D./ ABD =90 -23.設

11、OO的半徑為d應滿足的條件是A.d=3 B. dv 3 C. d w 3 D.d 34.在 Rt ABC中，Z C=9C ,AB=1Q AC=6以C為圓心作OC和AB相切，則OC的半徑長為()A.8B.4C.9.6D.4.85.已知OO 1和OO2的半徑分別為1和5,圓心距為3,則兩圓的位置關系是 ()A.相交 B.內切 C.外切 D. 內含6 .已知：A, B, C, D, E五個點中無任何三點共線，無任何四點共圓，那么過其中的三點作圓，最多能作出 ().A. 5個圓B. 8個圓C. 10個圓D. 12個圓二、填空題7 銳角三角形的外心在三角形的 部，鈍角三角形的外心在三角形的 部,直角三角

12、形的外心在 8.若 ABC中，/ C=90, AC=10cm BC=24cm則它的外接圓的直徑為 9 .若 ABC內接于O 0, BC=12cm 0點到BC的距離為8cm,則O O的周長為10. 如圖所示，以 0為圓心的兩個同心圓中, 5cm,則AB的長為.11. 如圖所示，已知直線大圓的弦是小圓的切線,C為切點，若兩圓的半徑分別為3cm和cm.AB是O 0的切線,A為切點,0B交O 0于點C,點D在O 0上，且/ 0BA= 40,則/第10題圖12. 如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1 m的水泥管，兩兩相切地堆放在一起，其最高點到地面的距離是 三、解答題13.如圖所示，四邊形 AB

13、CD是平行四邊形，以 AB為直徑的O 0經過點D, E是O 0上一點，且/ AED= 45，試 判斷CD與O0的關系，并說明理由.P為AB延長線上任意CD交14. AB是O0的直徑，BC切O0于B, AC交O0于D點，過 D作O 0的切線DE交BC于E.求證：CE=BE.15.如圖所示，AB是O 0的直徑,AB于點E,求證：PD= PE【答案與解讀】1.【答案】B；2.3.4.5.6.、7.8.9.10.11.12.【解讀】【答案】【解讀】【答案】連結 OA OB 則/ AOB=130，/ PAOM PBO=90，所以/ P=50 .A；/ AB是O O 的直徑，/ ADB=90，/ A+M

14、ABD=90 ,又：直線 EC切O O于 B 點， a +M ABD=90，/ A=a，故選 A.C；【答案】【解讀】作 CDLAB于 D,則 CD為OC 的半徑，BC= AB2 _ AC2 = . 1。2 _ 62 =8,由面積相等，得 AB- CD=AC BC. CD= =4.8.10【答案】內切、外切分別對應d=R+ r, d=R r，它們起著分界作用.在OO 1和OO 2相對運動時依次產生外離、外切、相交、內切、內含五種位置關系，圓心距逐漸變小，而相內切和外切起著分界作用，所以先計算d+ r和d r，因為圓心距d=3 v R r，所以“內含”【答案】C.【解讀】過其中的三點作圓，最多能

15、作出BDE CDE的圓.10 個，即分別過點 ABG ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE填空題【答案】內，外，它的斜邊中點處.【答案】26cm.【答案】20 n cm【答案】8.【解讀】因為 AB切小O O于C,連OA OC如圖，由切線的性質知 OCLAB,又由垂徑定理得 AC= BC, 在 Rt AOC中, AO= 5, OC= 3.AB = 2AC= 8(cm).【答案】25 .【解讀】 OALAB,M OBA= 40, M BOA= 50,1 M ADC= M BOA= 25 .2JJ3【答案】(1+m.2【解讀】由于三個圓兩兩外切，所以圓心距等于半徑之和，所以三個圓

16、心為頂點的三角形是邊長為1 m的等邊三角形，最高點到地面距離是等邊三角形的高加上一個直徑.等邊三角形的高是,故最高點到地面的距離是(1 +3) m.2三、解答題直線I可能和圓相交或相切.13. 【答案與解讀】CD與O O相切.理由：如圖，連0D則/AOD= 2/ AED= 2X 45= 90四邊形ABCD是平行四邊形， AB / DC/ CDO=Z AOD= 90, OD 丄 CD, CD與OO相切.14.【答案與解讀】證法1:連結DBAB是直徑BDC=90 . / BC、/ EBD+ /DE / ADB=90 ./ EDC=90 ,證法2:連結 OD、OE. J DE切O O于C=是切線， BE=ED. EBD= / EDB. J/ EDB+ / EDC. / C = /D , OD 丄 DE. ODE=90 . 同B=90 .J OB