點(diǎn)、直線、圓與圓位置關(guān)系—知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系一知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解并掌握點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的各種位置關(guān)系；2. 理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練掌 握 以 上 內(nèi) 容 解 決 一 些 實(shí) 際 問(wèn) 題；3. 了解兩個(gè)圓相離（外離、內(nèi)含），兩個(gè)圓相切（外切、內(nèi)切），兩圓相交，圓心距等概念理解兩圓的位置關(guān)系與 d、5、 r2等量關(guān)系的等價(jià)條件并靈活應(yīng)用它們解題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1 點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類(lèi)點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；

2、設(shè)O O的半徑為r ,點(diǎn) P到圓心的距離為d ,則有（1）點(diǎn)P在圓內(nèi)od 尸0點(diǎn)P在圓上ud二尸U點(diǎn)P在圓外OdhO2 .三角形的外接圓經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角 形的外心.三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系; 知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；置 關(guān)這時(shí)直線叫做圓唯一的公共點(diǎn)叫做切（2） 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.要點(diǎn)二、直線和圓的位置關(guān)系系：的割線.直 線 和圓 的 三 種 位（1）相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)

3、，叫做直線和圓相交.直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切這時(shí)直線叫做圓的切線,相切:（2）占八、相離：直線和圓沒(méi) 線 與 圓 的 位 直直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓置 關(guān) 系 的 判 定 和 性的位置關(guān)系一樣通過(guò)一些條件來(lái)進(jìn)行分析判斷呢？ （圓心） 中直線與圓由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn) 的位置關(guān)系.下面圖（1）中直線與圓心的距離小于半徑；圖 （2）中直線與圓心的距離等于半徑；圖 心的距如果O O 的半徑為 r的距圓心 O 到直線(1) 直銭/和0交 d0相離Odr要點(diǎn)詮釋?zhuān)哼@三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直

4、線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的 位置關(guān)系的判定.要點(diǎn)三、切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理1 切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵芯€的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可2 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑 3 .切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵芯€長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是“切線的長(zhǎng)”的簡(jiǎn)稱(chēng)切線是直線，而非線段4 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線

5、的夾角要點(diǎn)詮釋?zhuān)呵芯€長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等5.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓6 .三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即T : (S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).2三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別:名稱(chēng)確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交占八、A(1)到三角形三

6、個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即 OA=OB=QC(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB OC分別平 分/ BAC / ABC / ACB內(nèi)心在三角形內(nèi)部要點(diǎn)四、圓和圓的位置關(guān)系1.圓 與 圓 的 五 種 位 置 關(guān) 系 的 定 義兩圓外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離. 兩圓外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩 個(gè) 圓 外 切 這 個(gè) 唯一 的 公 共 點(diǎn) 叫 做 切 點(diǎn) 兩圓相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩圓相交. 兩圓

7、內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩 個(gè) 圓 內(nèi) 切 . 這 個(gè) 唯一 的 公 共 點(diǎn) 叫 做 切 點(diǎn) . 兩圓內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系:設(shè)O O的半徑為,O O半徑為2,兩圓心 0Q的距離為d ,則:兩圓外離dr1+r 2兩圓外切0d=r 1+r2兩圓相交01-r 2vdvr 計(jì)2(r 12)兩圓內(nèi)切0d=r 1-r 2(r 1r2)兩圓內(nèi)含0dvr 1-r 2(r12)要占八、詮釋:(1)圓與圓的位置關(guān)系,既考慮它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),又注意到位置的不冋,若

8、以兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類(lèi)，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；(2)內(nèi)切、外切統(tǒng)稱(chēng)為相切，唯 一的公共點(diǎn)叫作切占八、(3)具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個(gè)圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.【典型例題】類(lèi)型一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系a1. 已知圓的半徑等于 5 cm,根據(jù)下列點(diǎn) P到圓心的距離：(1)4 cm ； (2)5 cm ; (3)6 cm，判定點(diǎn)P與圓的 位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案與解讀】(1)當(dāng) d=4 cm 時(shí)，T dv r ,點(diǎn) P在圓內(nèi)；(2) 當(dāng)d=5 cm時(shí)，T d=r，點(diǎn) P在圓上；(3) 當(dāng)d=6 cm時(shí)，t d r，點(diǎn)P在圓外.【總結(jié)升華】禾U用點(diǎn)與圓的位

9、置關(guān)系，由點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小比較 舉一反三：【變式】 點(diǎn)A在以0為圓心，3為半徑的OO內(nèi)，則點(diǎn)A到圓心0的距離d的范圍是.【答案】Ow dv 3.類(lèi)型二、直線與圓的位置關(guān)系2. 在Rt ABC中，/ C=90, AC=3厘M BC=4厘M以C為圓心，r為半徑的圓與 AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(1)r=2 厘 M;(2)r=2.4 厘 M;(3)r=3 厘 M【答案與解讀】過(guò)C點(diǎn)作CDL AB于D,在 Rt ABC中，/ C=90, AC=3 BC=4,得 AB=5,(1)(2)(3 ).cd=名阮 3 4AB=2.4 (cm),5r =2cm 時(shí) CDr ,圓 C與 AB相離;r=

10、2.4cm 時(shí)，CD=r,.圓 C與 AB相切;r=3cm 時(shí)，CDR+r；兩圓外切二d= R+r:兩圓相交二 R-rvdv R+r;兩圓內(nèi)切二d= R-r;兩圓內(nèi)含二dv R-r.點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系一鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.已知：如圖，PA PB分別與O O相切于A, B點(diǎn)，C為O O上一點(diǎn)，/ ACB=65，則/ APB等于()A. 65B. 50C. 45 D . 402 .如圖，AB是O O的直徑，直線 EC切O O于B點(diǎn)，若/ DBC=z，貝U ().1A.Z A= a B . Z A=90- a C . Z ABD= a D./ ABD =90 -23.設(shè)

11、OO的半徑為d應(yīng)滿足的條件是A.d=3 B. dv 3 C. d w 3 D.d 34.在 Rt ABC中，Z C=9C ,AB=1Q AC=6以C為圓心作OC和AB相切，則OC的半徑長(zhǎng)為()A.8B.4C.9.6D.4.85.已知OO 1和OO2的半徑分別為1和5,圓心距為3,則兩圓的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D. 內(nèi)含6 .已知：A, B, C, D, E五個(gè)點(diǎn)中無(wú)任何三點(diǎn)共線，無(wú)任何四點(diǎn)共圓，那么過(guò)其中的三點(diǎn)作圓，最多能作出 ().A. 5個(gè)圓B. 8個(gè)圓C. 10個(gè)圓D. 12個(gè)圓二、填空題7 銳角三角形的外心在三角形的 部，鈍角三角形的外心在三角形的 部,直角三角

12、形的外心在 8.若 ABC中，/ C=90, AC=10cm BC=24cm則它的外接圓的直徑為 9 .若 ABC內(nèi)接于O 0, BC=12cm 0點(diǎn)到BC的距離為8cm,則O O的周長(zhǎng)為10. 如圖所示，以 0為圓心的兩個(gè)同心圓中, 5cm,則AB的長(zhǎng)為.11. 如圖所示，已知直線大圓的弦是小圓的切線,C為切點(diǎn)，若兩圓的半徑分別為3cm和cm.AB是O 0的切線,A為切點(diǎn),0B交O 0于點(diǎn)C,點(diǎn)D在O 0上，且/ 0BA= 40,則/第10題圖12. 如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1 m的水泥管，兩兩相切地堆放在一起，其最高點(diǎn)到地面的距離是 三、解答題13.如圖所示，四邊形 AB

13、CD是平行四邊形，以 AB為直徑的O 0經(jīng)過(guò)點(diǎn)D, E是O 0上一點(diǎn)，且/ AED= 45，試 判斷CD與O0的關(guān)系，并說(shuō)明理由.P為AB延長(zhǎng)線上任意CD交14. AB是O0的直徑，BC切O0于B, AC交O0于D點(diǎn)，過(guò) D作O 0的切線DE交BC于E.求證：CE=BE.15.如圖所示，AB是O 0的直徑,AB于點(diǎn)E,求證：PD= PE【答案與解讀】1.【答案】B；2.3.4.5.6.、7.8.9.10.11.12.【解讀】【答案】【解讀】【答案】連結(jié) OA OB 則/ AOB=130，/ PAOM PBO=90，所以/ P=50 .A；/ AB是O O 的直徑，/ ADB=90，/ A+M

14、ABD=90 ,又：直線 EC切O O于 B 點(diǎn)， a +M ABD=90，/ A=a，故選 A.C；【答案】【解讀】作 CDLAB于 D,則 CD為OC 的半徑，BC= AB2 _ AC2 = . 1。2 _ 62 =8,由面積相等，得 AB- CD=AC BC. CD= =4.8.10【答案】?jī)?nèi)切、外切分別對(duì)應(yīng)d=R+ r, d=R r，它們起著分界作用.在OO 1和OO 2相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)依次產(chǎn)生外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種位置關(guān)系，圓心距逐漸變小，而相內(nèi)切和外切起著分界作用，所以先計(jì)算d+ r和d r，因?yàn)閳A心距d=3 v R r，所以“內(nèi)含”【答案】C.【解讀】過(guò)其中的三點(diǎn)作圓，最多能

15、作出BDE CDE的圓.10 個(gè)，即分別過(guò)點(diǎn) ABG ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE填空題【答案】?jī)?nèi)，外，它的斜邊中點(diǎn)處.【答案】26cm.【答案】20 n cm【答案】8.【解讀】因?yàn)?AB切小O O于C,連OA OC如圖，由切線的性質(zhì)知 OCLAB,又由垂徑定理得 AC= BC, 在 Rt AOC中, AO= 5, OC= 3.AB = 2AC= 8(cm).【答案】25 .【解讀】 OALAB,M OBA= 40, M BOA= 50,1 M ADC= M BOA= 25 .2JJ3【答案】(1+m.2【解讀】由于三個(gè)圓兩兩外切，所以圓心距等于半徑之和，所以三個(gè)圓

16、心為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為1 m的等邊三角形，最高點(diǎn)到地面距離是等邊三角形的高加上一個(gè)直徑.等邊三角形的高是,故最高點(diǎn)到地面的距離是(1 +3) m.2三、解答題直線I可能和圓相交或相切.13. 【答案與解讀】CD與O O相切.理由：如圖，連0D則/AOD= 2/ AED= 2X 45= 90四邊形ABCD是平行四邊形， AB / DC/ CDO=Z AOD= 90, OD 丄 CD, CD與OO相切.14.【答案與解讀】證法1:連結(jié)DBAB是直徑BDC=90 . / BC、/ EBD+ /DE / ADB=90 ./ EDC=90 ,證法2:連結(jié) OD、OE. J DE切O O于C=是切線， BE=ED. EBD= / EDB. J/ EDB+ / EDC. / C = /D , OD 丄 DE. ODE=90 . 同B=90 .J OB