概率論知識點總結及心得體會

1、學習好資料歡迎下載概率論總結及心得體會2008211208班08211106 號史永濤班內序號：01目錄前五章總結第一章隨機事件和概率1第二章隨機變量及其分布.5第三章多維隨機變量及其分布10第四章隨機變量的數(shù)字特征 13第五章極限定理.18學習概率論這門課的心得體會 20一、前五章總結第一章隨機事件和概率第一節(jié)：1.、將一切具有下面三個特點：（1）可重復性（2）多結 果性（3）不確定性的試驗或觀察稱為隨機試驗，簡稱為試驗，常用 E表示。在一次試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結果）稱為隨 機事件，簡稱為事件不可能事件：在試驗中不可能出現(xiàn)的事情，記為。必然事件：在試驗中必然出現(xiàn)的事情，記為

2、S或Q。2、 我們把隨機試驗的每個基本結果稱為樣本點，記作e或3 .全體 樣本點的集合稱為樣本空間樣本空間用S或Q表示.一個隨機事件就是樣本空間的一個子集?；臼录粏吸c集，復合事件一多點集一個隨機事件發(fā)生，當且僅當該事件所包含的一個樣本點出現(xiàn)。事件間的關系及運算，就是集合間的關系和運算。3、定義：事件的包含與相等若事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生，則稱B包含A，記為B A 或A Bo若AB且A B則稱事件A與事件B相等，記為A = B。定義：和事件“事件A與事件B至少有一個發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件 A與事件B的和事件。記為 A U Bo用集合表示為：A U B=e|e A, 或 e Bo定

3、義：積事件稱事件“事件A與事件B都發(fā)生”為A與B的積事件，記為A A B或AB，用集合表示為 AB=e|e A且e B。定義：差事件稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，這一事件為事件A與事件B的差 事件，記為A B,用集合表示為A-B=e|e A, e B。定義：互不相容事件或互斥事件如果A, B兩事件不能同時發(fā)生，即 AB = 0，則稱事件A與事件 B是互不相容事件或互斥事件。定義6 :逆事件/對立事件稱事件“ A不發(fā)生”為事件A的逆事件，記為d。A與d滿足：A Uq= S,且 A d=。運算律：設A, B, C為事件，則有(1) 交換律：A U B=B U A , AB二BA(2) 結合律：A

4、U (BU C)=(A U B)U C=A U B U CA(BC)=(AB)C二ABC(3) 分配律:A U (BAC) = (A U B) A(A U C)A(B U C) = (A AB)U (A AC)= AB U AC(4) 德摩根律：A B A BA B A B小結：事件的關系、運算和運算法則可概括為四種關系：包含、相等、對立、互不相容；四種運算：和、積、差、逆；四個運算法則：交換律、結合律、分配律、對偶律。第二節(jié):1、設試驗E是古典概型，其樣本空間S由n個樣本點組成，事件 A由k個樣本點組成.則定義事件A的概率為：P(A) = k/n = A包含的樣本點數(shù)/S中的樣本點數(shù)。2、

5、幾何概率：設事件A是S的某個區(qū)域，它的面積為 MA)，則 向區(qū)域S上隨機投擲一點，該點落在區(qū)域 A的概率為：P (A) = uA) / u(S)假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向 S上隨機投擲一點的 含義如前述，則事件A的概率仍可用(*)式確定，只不過把 理解為長度或體積即可.概率的性質:(1)P( )=0,PP(2)m 1m 1Aj, A j, ii,j 1,2, ,n,ij,兩兩互不相容,n則PknAkP Ak1k 17(3)P( A) 1P(A),(4) 若 A B，則 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).第四節(jié)：條件概率：在事件B發(fā)生的條件下，事

6、件 A發(fā)生的概率稱 為A對B的條件概率，記作P(A|B).P(A|B)P B而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“ B發(fā)生”這個條件 時A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.乘法公式： 若 P(B)0,則 P(AB)= P(B)P(A|B)P(A)0,則 P(AB)二P(A)P(B|A)全概率公式：設Ai,A2,nA是試驗E的樣本空間Q的一個劃分，且.nP(Ai)0 , i = 1,2,B 是任一事件,則 p(B)P(AJP(B I Aj)i 1貝葉斯公式：設A1,A2,nA是式驗E的樣本空間Q的一個劃分，且P(Ai)0 , i = 1,2,B 是任一事件且 P(B)0,則P(Ai

7、|B) P(Ai)P(B I Ai)P(Aj)P(B I A)第五節(jié)：若兩事件A、B滿足P(AB)= P(A) P(B)則稱A、B獨立，或稱 A、B相互獨立.將兩事件獨立的定義推廣到三個事件：對于三個事件A、B、C,若P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C)四個等式同時 成立貝S稱事件A、B、C相互獨立.第六節(jié)：定理 對于n重貝努利試驗，事件A在n次試驗中出現(xiàn)k 次的概率為Pn(k) C：pkqnk k 0,1, ,n, q 1 p總結：1. 條件概率是概率論中的重要概念，其與獨立性有密切的關系， 在

8、不具有獨立性的場合，它將扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計算中經(jīng)常使用, 請牢固掌握。3. 獨立性是概率論中的最重要概念之一，亦是概率論特有的概念, 應正確理解并應用于概率的計算。4. 貝努利概型是概率論中的最重要的概型之一，在應用上相當廣 泛。第二章：隨機變量及其分布1、隨機變量：分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。分布函數(shù)：設X是一個r.v，x為一個任意實數(shù)，稱函數(shù)F(X)=P (XWx)為X的分布函數(shù)。X的分布函數(shù)是F(x)記作 X F(x)或 Fx(x).如果將X看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間(x0 ; IPk=1分布律與

9、分布函數(shù)的關系:(1) 已知隨機變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù):設一離散型隨機變量X的分布律為PX=x k=p k (k=1 ，2,)由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為F(x) PX xPX XkXk x即 F(x)pkXk x已知隨機變量X的分布律,亦可求任意隨機事件的概率(2) 已知隨機變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：PX Xk F(xQ F(Xk 0) k 1,2,3,三種常用離散型隨機變量的分布.1( 0 1)分布:設隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律為PX=k=p k(1-p) 1-k , k=0 , 1. (0p1)則稱X服從(0 1)分布，記為X (0 1)分布

10、。(0 1)分布的分布律用表格表示為：X 01x 00 x 1x 10,1, ,n0P 1-p p易求得其分布函數(shù)為F(x) 1 pp2. 二項分布(bi no mial distributi on):k k 1 k定義：若離散型隨機變量X的分布律為PX k Cnpq k其中0p0是常數(shù)則稱X服從參數(shù)為 入 的泊松分布，記作XP(入)、連續(xù)型隨機變量1概率密度f(x)的性質(1) f(x) 0(2) f(t)dt 1.X 落在區(qū)間(X1 , X2)的概率 P x1 X x2 F(x2) F(x1)X2f (x)dxX1幾何意義：X落在區(qū)間(X1, X2)的概率Px 1 X0則稱X服從參數(shù)為 入

11、的指數(shù)分布.常簡記為XE(入)指數(shù)分布的分布函數(shù)為F(x)1 0指數(shù)分布的一個重要特性是”無記憶性”設隨機變量X滿足：對于任意的so，t0,有s t|X若r.v X的概率密度為f(x)2其中和都是常數(shù)，任意，卩0 ,則稱X服從參數(shù)為卩和2的正態(tài)分布.記作則稱隨機變量X具有無記憶性。(x )23. 正態(tài)分布)f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.0,1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布.標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通 過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.設龍,則F =蘭二/V(仏1) (T隨機變量函數(shù)的分布設X為連續(xù)型隨機變量，具有概率密度fx(x)，求Y二g(X)(g連續(xù))的概率密度

12、。1 .一般方法一一分布函數(shù)法可先求出Y的分布函數(shù)FY(y):因為 FY(y)=PY y=pg(x) ly=xig(K) y則Fy y p x lyfx(x)dxg(x)y fx(x)dx再由FY(y)進一步求出丫的概率密度fY y FY(y)2. 設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為x(x), y=f(x)連續(xù),求丫二f(X) 的密度函數(shù)的方法有三種：(1)分布函數(shù)法；(2 )若y=f(x)嚴格單調，其反函數(shù)有連續(xù)導函數(shù)，則可用公式法；(3) 若y=g(x)在不相重疊的區(qū)間Ii,l2,上逐段嚴格單調，其反函數(shù)分別為hi(y), h 2(y),h,毋),h 2(y),均為連續(xù)函數(shù)，貝SY二g(X)是

13、連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為y y x hi yhi y x h? yh?y對于連續(xù)型隨機變量，在求 Y= g (X)的分布時，關鍵的一步 是把事件 g(X) y 轉化為X在一定范圍內取值的形式，從而可以 利用X的分布來求P g(X) 0,P| X E(X)|P| X E(X)|1常見隨機變量的方差(P.159)分和概率分巾 也參數(shù)為P的(M分布“()P(z)/5(Y = 1) = p P(X = O) = l-p2V1T npU-p)z分布概率密度方養(yǎng)區(qū)間(億b)上f 1.f(r)_ a /b tj)*的均勻分布JU G0,其它12嚴蟲氣x0,1F(x)f(x) = J 八Q其它1AisFA

14、；(/t (72)fM- PT e 27第三節(jié)、協(xié)方差與相關系數(shù)量EX E(X)Y E(Y)稱為隨機變量X 與Y的協(xié)方差.記為Cov( X , Y),即Cov(X, Y) EX E(X)Y E(Y).Cov(X, Y)次丫 /PD(X) JD(Y)為隨機變量X與丫的相關系數(shù).若 xy 0，則稱x, y不相關注：(1) X和丫的相關系數(shù)又成為標準協(xié)方差，它是一個無量綱的 量。2、若隨機變量X和丫相互獨立Cov(X,Y) EX E(X)YE(Y)EX E(X)EY E(Y)0.D(X Y) D(X) D(Y)2EXE(X) 丫 E(Y)D(X) D( Y) 2Cov(X, Y)D(X) D(Y).

15、協(xié)方差的計算公式1、Cov(X, Y)二E(X Y)-E(X)E( Y)2、D(X+_Y)二D(X)+D( Y)+2Cov(X，丫)協(xié)方差的性質：(1)Cov(X,Y) Cov(Y,X); Cov(aX,bY) abCov(X,Y), a, b為常數(shù);(3) Cov( X1 X2,丫)Cov( X1,丫)Cov( X2,丫). 相關系數(shù)：1、 二維正態(tài)分布密度函數(shù)中，參數(shù) p代表了與丫的相關系數(shù)。2、二維正態(tài)隨機變量X和Y相關系數(shù)為零等價于X和Y相互獨.立即XY相互獨立等價于XY不相關不相關的充要條件1。 X,Y不相關 2 X,Y不相關3。X, Y不相關相關系數(shù)的性質：(1)1 PyI 1.P

16、xy 0;Cov(X,Y) 0;E(X Y) E(X)E(Y).(2)| Py1的充要條件是:存在常數(shù)a, b使PY a bX 1.第五章：極限定理大數(shù)定理：設Xn為一隨機變量序列，E(Xn)存在，記Yn 丄 n Xi E Xi n 1,2,n i 11 n若 lim PYnlim P-Xi E Xinnn i 11,則稱Xn服從(弱)大數(shù)定律。切比雪夫大數(shù)定律：設X1,X2, 是相互獨立的隨機變量序列,它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi) 0limP| Xi E(Xi)| 1n n i 1 n i 1馬爾科夫條件：在切比雪夫大數(shù)定理的證明過程中可以看出.D(X i ) (0

17、，則大數(shù)定理就能成立。1 n只要nim孑i 1切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況：設 Xl,X2, 是獨立隨機變量序列，且E(刈二 a, D(X)二0,2,i=1,2,則對任給1 nimP|Xi |Xl,X2,獨立同分布，具有有限1 n- Xi |1-n i in n i 1辛欽大數(shù)定律：設隨機變量序列的數(shù)學期E(刈二卩,1,2,;則對任給0專m P| ；辛欽大數(shù)不要求隨機變量的方差存在它為尋找隨機變量的期望值提 供了一條實際可行的途徑.中心極限定理: 獨立同分布下的中心極限定理:設X1,X2, 是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)=2D(Xi)=, i=1,2,，則x 1e-t22dt二、心得體

18、會1、自己學習概率論的一些感想岡I剛拿到概率論課本時，翻看了前幾節(jié)，感覺都是高中學過的, 心里還有點小得意，后來第一節(jié)課上老師將那些知識一帶而過，并 聲明了后面才是重點，我才開始重視起這門課。通過這半個學期的學習，我感覺這門課想要大致掌握一些知識， 不難；想學的很精通，不易。我感覺自己在這門課上下的功夫遠遠不夠，課下沒有花時間去進 行復習，而只是看看上節(jié)課老師講的內容，然后做完作業(yè)就算沒事 了，這樣導致上課的時候有時會跟不上老師的思路。比如老師在講 后面的內容時用到前面的知識，就當做已知的內容去說，而我由于 對前面的知識掌握的不牢固，不知道老師的這個步驟是怎樣得出的， 還得花時間思考，有時還會影響接下來的聽課。所以，我覺得我們在學習這門課的過程中必須注意課下花時間去 進行復習，不能說做完作業(yè)就沒事了，必須牢固的掌握前面的知識， 才會為后面的學習打下良好的基礎。2.、概率論這門課程在現(xiàn)實生活中的重要意義從課本中的例題我們就可以看出，概率論在我們的日常生活中有 著重要的現(xiàn)實意義。例如根據(jù)機器發(fā)生故障的概率去設定配備工人 的數(shù)量；可以根據(jù)運動員平時得分的概率去決定重要的重要的比賽 派誰上場；再有選舉的先后性，排序的公平性