曲線的離心率求法

1、圓錐曲線的離心率問題離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓， 雙曲線的形狀， 另一方面也體現(xiàn)了參數(shù)a, c之間的聯(lián)系。一、基礎(chǔ)知識：1、離心率公式： ec（其中 c 為圓錐曲線的半焦距）a（ 1）橢圓： e 0,1（ 2）雙曲線： e 1,+2、圓錐曲線中a, b, c 的幾何性質(zhì)及聯(lián)系（ 1）橢圓： a2b2c2 ，（ 2）雙曲線：c2b2a23、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)a, b, c 的比例關(guān)系 （只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向：（ 1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮

2、尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與a 有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解（ 2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用a,b, c 進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解，或者帶入曲線求解（ 3）利用三角形的相似關(guān)系（ 4）利用點(diǎn)線距離關(guān)系4、離心率的圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通常可從以下幾個(gè)方面考慮：（ 1）題目中某點(diǎn)的坐標(biāo)是否有圍要求：例如橢圓與雙曲線對橫坐標(biāo)的圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用 a,b, c 表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的圍就是求離心率圍的突破口（ 2）若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函

3、數(shù)的值域即可（ 3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于a,b, c 的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率圍時(shí)要注意圓錐曲線中對離心率圍的初始要求：橢圓：e 0,1，雙曲線： e 1,+二、考點(diǎn)一：求離心率方法一：焦點(diǎn)三角形問題例 1（1）：設(shè) F1 , F2 分別是橢圓 C : x222y21 ab 0 的左、 右焦點(diǎn)， 點(diǎn) Pab在橢圓 C 上，線段 PF1的中點(diǎn)在 y 軸上， 若PF1 F230o ，則橢圓的離心率為（）A3B3C 1D 13636答案：A小煉有話說：在圓錐曲線中，要注意 O為 F1F2中點(diǎn)是一個(gè)隱含條件，如果圖中存在其它中點(diǎn)，則有可能與 O搭配形成三角形的中位線。（ 2）：橢圓

4、 x2y 21 0 b 2 3 與漸近線為 x 2 y0 的雙曲線有相同的焦點(diǎn) F1, F2 ,P為它們的一個(gè)12b2公共點(diǎn) , 且 F1PF290o , 則橢圓的離心率為 _答案：306小 煉 有 話 說 ：在處理同一坐標(biāo)系下的多個(gè)圓錐曲線時(shí)，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲線的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關(guān)鍵點(diǎn)。（ 3）：設(shè) F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2y 21(a0, b 0) 的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P 使得a2b2|PF1| |PF2 |3b,| PF1 |PF2|9 ab, 則該雙曲線的離心率為44B.59D.3A.3C.34答案： B22（ 4）過橢圓 x y 1(ab0

5、) 的左焦點(diǎn) F 1作 x 軸的垂線交橢圓于點(diǎn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，若12a2b2P， FF PF60，則橢圓的離心率為 ()2311A. 2B. 3C.2D.3方法二：利用坐標(biāo)運(yùn)算22例 2（ 1）已知橢圓方程為x2 y2 1(ab0)， A ，B 分別是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M ， N 是橢圓上關(guān)于 x 軸ab對稱的兩點(diǎn)，直線AM ， BN 的斜率分別為 k12，若 |k1 21，則橢圓的離心率為_， kk |4（ 2）：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中， A1, A2, B1, B2x2y21(a b0) 的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn) 為其為橢圓b2a2右焦點(diǎn)，直線 A1B2與直線 B1F 相交于點(diǎn) T，線

6、段 OT 與橢圓的交點(diǎn)M 恰為線段 OT 的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為.答案： e2 75方法三：三角形的相似關(guān)系22例 3從橢圓 x2 y2 1(ab0)上一點(diǎn) P 向 x 軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F 1，A 是橢圓與 x 軸正半軸的交點(diǎn)，abB 是橢圓與 y 軸正半軸的交點(diǎn)，且AB OP(O 是坐標(biāo)原點(diǎn) )，則該橢圓的離心率是 ()2B.123A. 42C. 2D. 2方法四： 利用點(diǎn)線距離關(guān)系C：x22例 4 (2017 全國卷 )已知雙曲線2 y2 1(a0， b0) 的右頂點(diǎn)為A ，以 A 為圓心， b 為半徑作圓 A，ab圓 A 與雙曲線 C 的一條漸近線交于M ， N 兩點(diǎn)若 MA

7、N 60，則 C 的離心率為 _例 3：如圖所示，已知雙曲線 x2y2 1 ab0 的右焦點(diǎn)為F，過F的直線 l 交雙曲線的漸近線于A, Ba2b2兩點(diǎn)，且直線 l 的傾斜角是漸近線uuuruuurOA 傾斜角的 2 倍，若 AF2FB ，則該雙曲線的離心率為（）A.3 2B.2 3C.30D.54352答案： B考點(diǎn)二：求離心率的取值圍方法一： 通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于a, b, c 的不等式例 1（ 1） .橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A 1， A2， B1， B 2，焦點(diǎn)分別為 F1， F2，延長 B1F 2與 A2B2交于 P 點(diǎn)，若 B1PA2 為鈍角，則此橢圓的離心率的取值圍

8、為_x2 y2（ 2）已知橢圓E： a2 b2 1(a b 0)的右焦點(diǎn)為F ，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M ，直線 l ： 3x 4y0 交橢圓 E于 A， B 兩點(diǎn)若 |AF | |BF | 4，點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于4，則橢圓 E 的離心率的取值圍是 ()53333A. 0，2B. 0，4C. 2，1D.4， 1（ 3）：已知 F 是雙曲線 x2 y2 1 a0, b 0的左焦點(diǎn)， E 是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F 且垂直于 x 軸a2b2的直線與雙曲線交于A, B 兩點(diǎn)，若 VABE 是銳角三角形， 則該雙曲線的離心率 e的取值圍為（）1,1,21,12ABCD2,12答案： B小 煉

9、有 話 說 ：（ 1）在處理有關(guān)角的圍時(shí)，可考慮利用該角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而將角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮栴}方法二：題目中某點(diǎn)的坐標(biāo)是否有圍要求例 2（ 1）：已知橢圓 x2y2221 a b0 的左、右焦點(diǎn)分別為F1c,0, F2 c,0 ，若橢圓上存在點(diǎn)P 使abac，則該橢圓的離心率的取值圍為（）sinPF1 F2sin PF2F1A.0, 21B.22D.21,1,1C. 0,22答案： D（ 2）：已知 F1, F2 是橢圓 E : x2y21 ab0的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P ，使得 PF1PF2 ，則a2b2橢圓離心率的取值圍是（）A.5 ,1B.2 ,1C.0,5D.0,252

10、52思路一： 考慮在橢圓上的點(diǎn)P 與焦點(diǎn)連線所成的角中，當(dāng) P 位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時(shí)，F(xiàn)1PF2 達(dá)到最大值。所以若橢圓上存在PF1PF2 的點(diǎn) P ，則短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角90o ，考慮該角與 a,b,c 的關(guān)系，由橢圓對稱 性可知，OPF245o，所以 tan OPF2OF2c1 ，即2OPbcbc2b2c2a2c2，進(jìn)而c21212，再由 e0,1可得 e2a22即 e，解得 e2,122思路二：由PF1PF2可得F1PF290o ， 進(jìn) 而 想 到 焦 點(diǎn) 三 角 形 F1PF2的面積：SVF PF2b2 tanF1PF2b2 ，另一方面： SVF PF1F1F2yPcyP ，

11、從而 cyPb2yPb2，12122c因?yàn)?P 在橢圓上，所以 yPb,b ，即 yPb2bbc ，再同思路一可解得：e2c2,1uuuruuur思路三： PF1PF2 可想到 PF1PF20，進(jìn)而通過向量坐標(biāo)化，將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程。設(shè)uuuruuuruuuruuurx2y2c2Px, y , F1c,0 , F2 c,0，則有 PF1cx,y , PF2cx, y，則 PF1PF20 ，即 P 點(diǎn)一定在以 O 為圓心， c 為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點(diǎn)即可，通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑rb 時(shí)才可有交點(diǎn)，所以cb ，同思路一可解得e2,12注：本題對 P 在圓上也可由PF1PF2 判定出

12、 P 在以 F1F2 為直徑的圓上，進(jìn)而寫出圓方程思路四： 開始同思路三一樣，得到 P 所在圓方程為 x2y2c2 ，因?yàn)?P 在橢圓上， 所以聯(lián)立圓和橢圓方程：b2x22y22b24aa代入消去 x 可得： b2 c2y 2a2 y2a2b2 ，整理后可得： c2 y2b4y2b2 ，x2y2c2c由 yb, b可得： y2b4b2c b ，同思路一即可解得： e2 ,1c22答案： e2 ,12小 煉 有 話 說 ：本題的眾多思路重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不同的突破口；二是在解決離心率時(shí)是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計(jì)算求解22

13、（3）已知 F 1，F(xiàn)2分別是橢圓 C：x2 y2 1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C 上存在點(diǎn) P，使得線段 PF 1 的ab中垂線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)F2，則橢圓 C 離心率的取值圍是 ()2， 1B. 121， 1D.0，1A. 33，2C. 33（ 4）：設(shè)點(diǎn) A1, A2x2y2b0 的左右焦點(diǎn)， 若在橢圓上存在異于點(diǎn)A1, A2 的點(diǎn) P ，使分別為橢圓2b2 1 aa得 POPA2 ，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值圍是（）A.0, 1B.0, 2C.1 ,1D.2 ,12222答案： D小 煉 有 話 說 ：本題運(yùn)用到了一個(gè)求交點(diǎn)的模型：即已知一個(gè)交點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理求出另

14、一交點(diǎn)，熟練使用這種方法可以快速解決某些點(diǎn)的坐標(biāo)三、好題精選1、（2016 ，新余一中模擬）已知點(diǎn)A 是拋物線 x24y 的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B 為拋物線的焦點(diǎn)， P 在拋物線上且滿足 PAm PB ，當(dāng) m 取最大值時(shí)，點(diǎn)P 恰好在以 A, B 為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.21B.21C.51D.51222、已知x2y20F1 且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交F1, F2 分別是雙曲線22 1 a b的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)ab于 A, B 兩點(diǎn)，若 VABF 2 是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值圍是（）A21,B21,C 1,12D31,x2y21 a0, b 0的左右焦

15、點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)M ，使得3 、設(shè) F1 , F2 分別是雙曲線b2a2uuuuruuuuruuur0 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且uuuur3uuuurF1MOMOF1MF13MF 2 ，則該雙曲線的離心率為（）A.31B.312C.62D.6224 、（ 2016高三 第x2y21 ab0 和 圓一次聯(lián)考）橢圓b2a2bt2x2y 22c，（ c 為橢圓的半焦距）對任意t1,2恒有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的離心率e 的取值圍為2（）A.0, 4B.4 ,1C.0,17D.17 ,455171755、（ 2015，新課標(biāo) II）已知A, B為雙曲線E的左右頂點(diǎn)， 點(diǎn)M在EVABM為等腰三角形，

16、且頂角為 120o ，上，則 E 的離心率為（）A.5B.2C.3D.26、（ 2016 ，第一中學(xué)12 月考）已知雙曲線x2y21 a0,b0 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1 , F2 ，點(diǎn) M 在雙a2b2曲線的左支上，且MF27 MF1 ，則此雙曲線離心率的最大值為（）A45C 273BD337 、（ 2015 ，） 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， 雙 曲 線 C1 : x2y21 a0,b0的漸近線與拋物線a2b2C2 : x22 pyp0 交于點(diǎn) O, A, B ，若 VOAB 的垂心為 C2的焦點(diǎn)，則 C1 離心率為 _8 、（ 2014，）設(shè)直線x3ym 0 m0與雙曲線x

17、2y21 a0,b0的兩條漸近線分別交于點(diǎn)a2b2A, B ，若點(diǎn) P m,0滿足 PAPB ，則該雙曲線的離心率是_習(xí)題答案：1、答案： A解析：由拋物線方程可得：A 0, 1,B 0,1，過 P 作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M ，所以 PBPM，所以mPA1，可知 m 取得最大值時(shí)，PAM 最小，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)AP 與拋物線相切時(shí)，PAMPBsin PAM最小。設(shè) AP : ykx1，聯(lián)立方程x24 y，即 x24kx40 ，則0k1，此時(shí) P 2,1 ，ykx1則 PA2 2,PB2，所以 2aPAPB222a2 1，則 ec121a212、解析： Q VABF2 為鈍角三角形，且AF2BF2

18、,AF2F145o即 AF1F1F2 ，b22cc2a22ac0a即 e22e 10e12答案： Buuuuruuuuruuur3、思路：已知條件與焦半徑相關(guān)，先考慮焦點(diǎn)三角形MF1F2 的特點(diǎn)，從 F1MOMOF10 入手，可得uuuuruuuuruuurOMOF1OF2F1MOMOF1 ，數(shù)形結(jié)合可得四邊形OMPF 1 為菱形，所以，可判定 VMF1F2 為uuuuruuuur3 : 3MF13k, MF 23k ，可得 F1F2MF1222 3k直角三角形。MF1 : MF2MF2e2cF1F223k31答案： A2aMF2MF13k3kbt2cab2ca2t1,24、解析：由橢圓與圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則對任意恒成立，即b，平方變bt2c2cb2b25c24ac05e24e0e4 ,1答案： B形后可得：a217c20e215175、解析：設(shè)雙曲線方程為x2y 21 a0,b0，如圖所