三角變換的解題策略與技巧

1、三角變換的解題策略與技巧角的變換、三種變換函數(shù)名的變換式子結(jié)構(gòu)的變換、三種題型、常用的變換技巧（）“”的代換（）角的等量代換（）“切割”化“弦”（）公式的逆用和變用（）分式基本性質(zhì)的應(yīng)用（）代數(shù)恒等變形方法的應(yīng)用一、三角式的化簡、三角式化簡完成的標準、幾種類型的三角式的化簡例：化簡下列各式(1) cos2cos2 () 2 coscoscos()解讀：原式1cos21cos2()2 coscoscos()2211 cos 2cos2()2 coscoscos()21cos(2) cos2 coscoscos()1coscos(2)2 coscos()1cos coscos()sin sin()

2、1coscos()1cos2sin21 / 10(1 sincos)(sincos2)3(2)2()22 cos( ,22解讀：( 2 cos222sincos)(sincos)原式22222 2 cos222cos(cos2sin 2)2222 | cos|2cos(cos )2cos2cos( 3)1sin1sin(k ,k Z )1sin1sin2解讀原式(1sin) 2(1sin) 21sin21sin 21sin1sin| cos| cos|2| cos|2( 是第一，四象限角)cos2( 是第二，三象限角)cos三類三角式化簡的要點、“整式”形式的三角式合并“同類項”、“分式”形式

3、的三角式分解因式，約分、“根式”形式的三角式配方，去根號二、三角式的求值2 / 10給角求值三種求值問題給式求值給值求值例、求值()解讀：原式2sin 20 cos 20cos10 cos20sin 20 sin10cos20sin 40cos10cos20sin 40sin 80cos202sin 60cos20cos203()解讀：23 sin 20cos20cos40cos80原式23 sin 20sin16023 sin 2018()解讀：原式1 cos 20cos 40cos802116解讀：令則3 / 10A1 ,即原式11616()解讀：原式3cos50 cos70cos1023

4、cos10 (cos120 cos 20 )43 (1 cos10cos10cos20 )423 (1 cos101 cos301 cos10 )4222316例2、已知 x(0,), 且53 sin x5cos x8, 求 cos(2x)之值 .36解讀：由已知有 sin( x)465于是 cos(x)3( x(,)65662sin xsin( x)4336106cos xcos(x)4336106故 cos(2x)cos(x)x24735066解讀：由 sin(x6)4 ,cos(x)3565可求 sin( 2x)24 , cos(2x)7325325cos(2x)cos 2x66324

5、7 350例、已知 4 / 10求 sin解：若 ，則 此時，已知兩式均不成立.于是由已知式有cos1cos,sin1cos1sin1sin兩式平方后相加得(1cos) 2(1cos) 211sin1sin化簡得 ( ) 解得 sin1103sin110 為所求 .3例、已知,( 0,), 求 sin, tg 的值 .2解讀：運用倍角公式，由公式有2 cos2(2 sin 2sin1)02 cos2(2 sin1)(sin1)0( 0,2)sin10, cos202 sin1 0即 sin1265 / 103tg3(高考 )三、三角式的證明、基本證法定向化簡、證法思路從左往右證從右往左證左右兩

6、邊證、二類三角式的證明（）三角恒等式的證明（）三角條件等式的證明例、求證下列各式(1) tgsec11sintgsec1cos解讀：左邊sin1cossin1coscos(sin1cos)cos(sin1cos)cos(sin1)cos2cos (sin1cos)(1sin)(cos1sin)cos(sin1cos )1 sincos解讀：左邊( tgsec )(sec2tg 2 )tgsec1(tgsec)(1sectg )tgsec11 sin cos解讀6 / 10左tgsec1tg)右sec(sectg1tgsec1 tgsecsec2sectg 2tg sectgtgsec1( 2)

7、34 cos2 Acos 4 Atg 4 A34 cos2 Acos 4 A解讀：左邊34 cos2 A2 cos2 2 A134 cos2 A2 cos2 2 A12cos 2 A2cos2 A12cos 2 A2cos2 A1( 1cos 2 A) 21cos2 A2( 2 sinA) ) 2解讀：左邊4(1cos 2A)(1cos4 A)4(1cos 2A)(1cos4 A)8sin 2A2 sin2 2 A8cos2A2sin 2 2 A8sin 2A8 sin2 A cos2 A8cos2A8sin2 Acos2 Asin2A(1cos2A)cos2A(1sin 2A)sin4Aco

8、s4A解讀令3 4 1t 22(1t 2) 21則左邊1t 21t 21t 21t 2) 213 4t 22(t 2117 / 10(1(1(1(12( 2tt 2 ) 22(1t 2 )(1t 2 )(1t 2 ) 2t 2 ) 22(1t 2 )(1t 2 )(1t 2 ) 2t 21t 2 ) 2t 21t 2 ) 2)2例 2、已知 cos Acoscos1coscos求證 tg 2 Atg 22ctg 222解讀：coscos1tg2A1cosA1coscos21cos Acoscos1coscos11coscoscoscos1coscoscoscos(1cos)(1cos)(1co

9、s)(1cos)tg 2ctg 222解讀：由已知有cosAcoscos11coscos1cos A1coscoscoscos1cos A1coscoscoscos1cos A(1cos)(1cos)1cos A(1cos)(1cos)tg2Atg 2ctg2222四、三角形內(nèi)的三角變換基本關(guān)系式、角的關(guān)系 、邊的關(guān)系 8 / 10直角三角形中、邊角關(guān)系abc2Rsin Asin Bsin C例、已知是銳角的外心，、的面積依次成等差數(shù)列，求證、也成等差數(shù)列.解讀：作一示意圖S BOC1 R2 sin 2 A2SSCOA1 R2 sin 2B2AOB1R2 sin 2C2且 、 、 成等差數(shù)列R2 sin 2B1 R2 (sin 2A sin 2C)2()( ) ，、為銳角， () ( ) ()( ) ( )而 tgBtg ( AC)即、成等差數(shù)列tgAtgC13例、求證：在中，的充要條件是、中有一個是解讀： 239 / 10() ()2 cos 3A3B cos 3 A3B 2cos23( AB)12222 cos 3( AB)cos 3( AB)cos 3( AB) 12223C2 sin3Asin3B12 sin2223Asin3B3C14 sin2s