數(shù)列的極限_教學(xué)設(shè)計

1、數(shù)列的極限教學(xué)設(shè)計西南位育中學(xué)肖添憶一、教材分析數(shù)列的極限為滬教版第七章第七肖第一課時內(nèi)容，是一節(jié)概念課。極限概念是數(shù)學(xué)中最 重要和最基本的概念之一，因為極限理論是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)理論，它的產(chǎn)生建立了有限與 無限、常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)之間的橋梁，從而彌補和完善了微積分在理論上的欠缺。本節(jié)后 續(xù)內(nèi)容如：數(shù)列極限的運算法則、無窮等比數(shù)列各項和的求解也要用到數(shù)列極限的運算與性 質(zhì)來推導(dǎo)，所以極限概念的掌握至關(guān)重要。課本在內(nèi)容展開時，以觀察時無窮等比數(shù)列的發(fā)展趨勢為出發(fā)點，結(jié)合數(shù) 列勺=/,(111)與丄的發(fā)展趨勢，從特殊到一般地給出數(shù)列極限的描述性泄義。在 n由泄義給出兩個常用極限。但引入部分的表述如

2、“無限趨近于0,但它永遠不會成為0”、 “不管“取值有多大，點G，”)始終在橫軸的上方”可能會造成學(xué)生對“無限趨近”的 理解偏差。二、學(xué)情分析通過第七章前半部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了數(shù)列的有關(guān)概念，以及研究一些特殊數(shù)列的方 法。但對于學(xué)生來說，數(shù)列極限是一個全新的內(nèi)容，學(xué)生的思維正處于由經(jīng)驗型抽象思維向 理論型抽象思維過渡的階段。由于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗與不當?shù)耐评眍惐?，學(xué)生在理解“極限”、“無限趨近”時可能產(chǎn)生偏 差，比如認為極限代表著一種無法逾越的程度，或是近似值。這與數(shù)學(xué)中“極限”的含義相 差甚遠。在學(xué)習(xí)數(shù)列極限之前，又曾多次利用無限趨近”描述反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對 數(shù)函數(shù)的圖像特征，這又與

3、數(shù)列中無限趨近”的含義有所差異，學(xué)生往往會因為常數(shù)列能 達到某一個常數(shù)而否定常數(shù)列存在極限的事實。三、教學(xué)目標與重難點教學(xué)目標：1、通過數(shù)列極限發(fā)展史的介紹，感受數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展，更好地把握極限概念的來龍 去脈：2、經(jīng)歷極限定義在漫長時期內(nèi)發(fā)展的過程,體會數(shù)學(xué)家們從槪念發(fā)現(xiàn)到完善所作出的努力, 從數(shù)列的變化趨勢，正確理解數(shù)列極限的概念和描述性建義：3、會根據(jù)數(shù)列極限的意義，由數(shù)列的通項公式來考察數(shù)列的極限；掌握三個常用極限。 教學(xué)重點：理解數(shù)列極限的概念教學(xué)難點：正確理解數(shù)列極限的描述性龍義四、教學(xué)策略分析在問題引入時著重突出“萬世不竭”與講臺可以疋到”在認知上的矛盾，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí) 興趣

4、與求知欲，并由此引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。在極限概念形成時，結(jié)合極限概念的發(fā)展史展開教學(xué)，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)理論不是一成不變 的，而是不斷發(fā)展變化的。數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程與學(xué)生的認知過程有著一泄的相似性，學(xué)生 在某些概念上的進展有時與數(shù)學(xué)史上的概念進展平行。比如部分學(xué)生的想法與許多古希臘的 數(shù)學(xué)家一樣,認為無限擴大的正多邊形不會與圓周重合，它的周長始終小于其外接圓的周長。 教師通過梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點，介紹概念的發(fā)展歷程以及前人對此的一系列觀 點，能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程以認 知角度加以分析，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維方式，了解數(shù)學(xué)槪念的發(fā)展，進

5、而建構(gòu)推理 過程，使學(xué)生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變。在課堂練習(xí)診斷部分，不但要求回答問題，還需對選擇原因進行辨析，進而強化概念的正確 理解。五、教學(xué)過程提綱與設(shè)計意圖1問題引入讓一名學(xué)生從距離講臺一米處朝講臺走動，每次都移動距講臺距離的一半，在黑板上寫岀表 示學(xué)生到講臺距離的數(shù)列。這爼學(xué)生是否能龍到講臺呢？類比“一尺之捶，日取英半,萬世不 竭”，莊子認為這樣的過程是永遠不會完結(jié)的，然而“講臺永遠走不到”這一結(jié)果顯然與事 實不同，要回答這一矛盾，讓我們看看歷史上的數(shù)學(xué)家們是如何思考的?！驹O(shè)計意圖】改編自芝諾悖論的引入問題，與莊子的“一尺之捶”產(chǎn)生了認知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 與求知欲，并引岀本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容

6、2. 極限概念的發(fā)展與完善極限概念的發(fā)展經(jīng)歷了三個階段：從早期以“割圓術(shù)”“窮竭法”為代表的樸素極限思想， 到極限概念被提出后因無窮小量是否為0”的爭論而引發(fā)的質(zhì)疑，再經(jīng)由柯西、魏爾斯特 拉斯等人的工作以及實數(shù)理論的形成，嚴格的極限理論至此才真正建立?！驹O(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點，了解數(shù)學(xué)家們提出觀點的時代背景，對照反 思自己的想法，發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。教師在比較槪念發(fā)展史 上被否左的觀點與現(xiàn)今數(shù)學(xué)界認可的觀點時，會使學(xué)生產(chǎn)生認知沖突。從而可能使學(xué)生發(fā)生 概念轉(zhuǎn)變，拋棄不正確的、不完整的、受限的想法，接受新的槪念。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合數(shù)學(xué)史展開教

7、學(xué)可以讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)理論不是一成不變的，而是不斷 發(fā)展變化的，從而提升學(xué)生概念轉(zhuǎn)變的動機。3. 數(shù)列極限的概念極限思想的產(chǎn)生最早可追溯于中國古代。極限理論的完善出于社會實踐的需要，不是哪一名 數(shù)學(xué)家苦思冥想得出，而是幾代人奮斗的結(jié)果。極限的嚴格定義經(jīng)歷了相當漫長的時期才得 以完善，它是人類智蔥高度文明的體現(xiàn)，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。今天的主題，極限的泄義，援引的便是柯西對于極限的闡述。左義：在無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列”中的無限趨近于一個常數(shù)A,那么A叫做數(shù)列的極限，或叫做數(shù)列5”收斂于A,記作讀作趨向于無窮大時，的極限等于A”。在數(shù)列極限的左義中，可用 山-A丨無限趨近于0來描述

8、山無限趨近于如前闡述，柯四版本的極限泄義雖然不是最完美的，但作為擺脫幾何直觀的首次嘗試，也是 歷史上一個較為成功的版本，在歷史上的地位頗高。有時，我們也稱其為數(shù)列極限的描述性 定義?！驹O(shè)計意圖】通過比較歷史上不同觀點下的極限左義，教師呈現(xiàn)數(shù)列極限的描述性左義，分析該左義的歷 史意義，讓學(xué)生進一步明確數(shù)列極限的含義。4. 課堂練習(xí)診斷由數(shù)列極限的左義得到三個常用數(shù)列的極限:(1) limC = C(C 為常數(shù));(2) liinl = 0(HeN*)：”f X n當|g|vl 時，limg =0 TOO練習(xí)Vl判斷下列數(shù)列是否存在極限，若存在求出其極限，若不存在請說明理由(1)sinnK5= n

9、(3) 1丄1丄,1(4)-4(l/71001)n為奇數(shù)n為偶數(shù)注：(1) 、(2)考察三個常用極限(3) 考查學(xué)生是否能淸楚認識到數(shù)列極限概念是基于無窮項數(shù)列的背景下探討的。當項數(shù) 無限增大時，數(shù)列的項若無限趨近于一個常數(shù)，則認為數(shù)列的極限存在。因此，數(shù)列極限可 以看作是數(shù)列的一種趨于穩(wěn)左的發(fā)展趨勢。有窮數(shù)列的項數(shù)是有限的，因而并不存在極限這 個概念。(4) 引用柯西的觀點，解釋此處無限趨近的含義，是指隨著數(shù)列項數(shù)的增加，數(shù)列的項與 某一常數(shù)要多接近就有多接近，由此得出結(jié)論：數(shù)列極限與前有限項無關(guān)且無窮常數(shù)數(shù)列存 在極限的。(5) 擴充對三種趨近方式的理解：小于A趨近、大于A趨近和擺動趨近。

10、本題中的數(shù)列沒 有呈現(xiàn)岀以上三種方式的任意一種。避免學(xué)生將趨近誤解為項數(shù)與常數(shù)間的差距不斷縮小。 練習(xí)2若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+.,則以下對A的描述正確的是 .A、A是小于1的最大正數(shù)B、A的精確值為1C、A的近似值為1選擇此選項的原因是 由于A的小數(shù)位都是9.找不到比A大但比1小的數(shù)： A是由無限多個正數(shù)的和組成，它們可以一直不斷得加下去，但總小于2； A表示的數(shù)是數(shù)列0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, .的極限： 1與A的差等于0.0001。注：此題是為考査學(xué)生對于無窮小雖:和極限概念的理解。由極限槪念的發(fā)展史可以看岀，數(shù) 學(xué)家們曾長時期陷入對無窮

11、小概念理解的誤區(qū)中，極大地阻礙了對極限概念的理解。學(xué)生學(xué)習(xí)極限槪念時可能也會遇到類似的誤區(qū)。練習(xí)3順次連接AABC各邊中點兒、B】、G，得到AA.Cio取8血C】各邊中點壓、 、C2并順次連接又得到一個新三角形AA2B2C20再按上述方法一直進行下去，那么最終得 到的圖形是A、一個點B、一個三角形C、不確定選擇此選項的原因是無限次操作后所得三角形的而積無限趨近于0但不可能等于0。當操作一定次數(shù)后，三角形的三點會重合。該項操作可以無限多次進行下去，因而總能作出類似的三角形。無限次操作后所得三角形的三個頂點會趨向于一點。注:此題從無限觀的角度考察學(xué)生對極限概念的的理解。學(xué)生容易忽視極限概念中的實無

12、限, 他們在視覺上采用無窮疊加的形式，但是會受最后一項的慣性思維，導(dǎo)致采用潛無限的思辨 方式。所謂實無限是指把無限的整體本身作為一個現(xiàn)成的單位，是可以自我完成的過程或無 窮整體。相對地，潛無限是指把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著不斷產(chǎn)生出來 的東西。它永遠處在構(gòu)造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在的。持有潛無限觀點的學(xué)生在理解極限槪念時，會將極限理解為是一個漸進過程，或是一個不可 達到的極值。通過習(xí)題，分析總結(jié)以下三個注意點：（1）數(shù)列%有極限必須是一個無窮數(shù)列，但無窮數(shù)列不一泄有極限存在：（2）“無限趨近”不能用“越來越接近”代替，例如數(shù)列丄可以說隨著H的無限增大，n數(shù)列的項與1會越來越接近，但這種接近不是無限趨近，所以不能說=F H（3）數(shù)列趨向極限A的過程可有多種呈現(xiàn)形式?！驹O(shè)計意圖】通過例題與選項原因的分析，消除關(guān)于數(shù)列極限理解的三類誤區(qū)：第一類是將數(shù)列極限等同于如下的三種