高考數(shù)學必備—高考數(shù)學壓軸題命題區(qū)間—增分點 8　巧辨“任意性問題”與“存在性問題”

1、增分點巧辨“任意性問題”與“存在性問題”含有參數(shù)的方程(或不等式)中的“任意性”與“存在性”問題歷來是高考考查的一個熱點，也是高考復(fù)習中的一個難點破解的關(guān)鍵在于將它們等價轉(zhuǎn)化為熟悉的基本初等函數(shù)的最值或值域問題，而正確區(qū)分“任意性”與“存在性”問題也是解題的關(guān)鍵技法一“x，使得f(x)g(x)”與“x，使得f(x)g(x)”的辨析(1)x，使得f(x)g(x)，只需h(x)minf(x)g(x)min0.如圖.(2)x，使得f(x)g(x)，只需h(x)maxf(x)g(x)max0.如圖.典例設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)af(x)，其中f(x)是f(x)的導函數(shù)(1)若對于任意x0，

2、總有f(x)g(x)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若存在x0，使得f(x)g(x)，求實數(shù)a的取值范圍方法演示解：(1)設(shè)h(x)f(x)g(x)ln(1x)(x0)h(x).當a1時，h(x)0，h(x)在0，)上單調(diào)遞增，h(x)h(0)a，則a0，a0，a1,0當a1時，對于x(0，a1)有h(x)0，則h(x)在(0，a1)上單調(diào)遞減，所以h(a1)0，使得h(x)0，即f(x)g(x)在0，)上不恒成立綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為1,0(2)由(1)可知，當a1時，存在x0，使得f(x)g(x)，當a0，h(x0)a(1ea)0，必存在x0，使得f(x)g(x)綜上可知，實數(shù)a的取值范

3、圍是(，)解題師說(1)這是較為常見的一類恒成立問題，運用數(shù)形結(jié)合的思想可知，當x00時，總有f(x0)g(x0)，即f(x0)g(x0)0(注意不是f(x)ming(x)max)，可以轉(zhuǎn)化為當x0時，h(x)f(x)g(x)0恒成立問題(2)存在x0，使得f(x)g(x)，即至少有一個x00，滿足f(x0)g(x0)不是負數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為當x0時，h(x)f(x)g(x)的函數(shù)值至少有一個是非負數(shù)應(yīng)用體驗1設(shè)函數(shù)f(x)x3x23.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)yf(x)m在區(qū)間1,2上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)g(x)xln x，如果對任意的x1，x2，都有f(x

4、1)g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)3x22xx(3x2)由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x0,2xln x0，u(x)在上單調(diào)遞增；當x(1,2)時，1x0，則u(x)0，xR，g(x).(1)若x1(，1，x2，使得f(x1)g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當a時，證明：對任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)g(x2)方法演示解：(1)f(x)x2ax3，f(x)2x2ax22x(1ax)令f(x)0，得x0或x.a0，0，當x(，0)時，f(x)0，f(x)在(，1上單調(diào)遞減，故f(x)在(，1上的值域為.g(x)，g(x).當x0，g(

5、x)單調(diào)遞增，g(x)g，故g(x)在上的值域為.若x1(，1，x2，使得f(x1)g(x2)，則1，解得0a1時，f(x)0，所以f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，且f(2)4.所以f(x)在(2，)上的值域為(，4)則g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)在(1，)上的值域為(，0)因為(，4)(，0)，所以對于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)g(x2)解題師說本例第(1)問等價轉(zhuǎn)化的基本思想是：兩個函數(shù)有相等的函數(shù)值，即它們的值域有公共部分；第(2)問等價轉(zhuǎn)化的基本思想是：函數(shù)f(x)的任意一個函數(shù)值都與函數(shù)g(x)的某一函數(shù)值相等，即f(x)的值域都在g(x)的值

6、域中應(yīng)用體驗2已知函數(shù)f(x)，x0,1(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；(2)設(shè)a1，函數(shù)g(x)x33a2x2a，x0,1若對于任意x10,1，總存在x00,1，使得g(x0)f(x1)成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)，x0,1令f(x)0，解得x或x(舍去)當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x01f(x)0f(x)43所以f(x)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.所以f(x)minf4.又f(0)，f(1)3，所以f(x)maxf(1)3.故當x0,1時，f(x)的值域為B4，3(2)“對于任意x10,1，總存在x00,1，使得g(x0)f(x1)成立”等價于“在x0,1

7、上，函數(shù)f(x)的值域B是函數(shù)g(x)的值域A的子集，即BA”因為a1，當x(0,1)時，g(x)3(x2a2)g(x2)”與“x1，x2D，使得f(x1)g(x2)”的辨析(1)f(x)，g(x)是在閉區(qū)間D上的連續(xù)函數(shù)且x1，x2D，使得f(x1)g(x2)，等價于f(x)ming(x)max.其等價轉(zhuǎn)化的目標是函數(shù)yf(x)的任意一個函數(shù)值均大于函數(shù)yg(x)的任意一個函數(shù)值如圖.(2)存在x1，x2D，使得f(x1)g(x2)，等價于f(x)maxg(x)min.其等價轉(zhuǎn)化的目標是函數(shù)yf(x)的某一個函數(shù)值大于函數(shù)yg(x)的某些函數(shù)值如圖.典例已知f(x)x(a0)，g(x)xln

8、 x.(1)若對任意的x1，x21，e，都有f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若存在x1，x21，e，使得f(x1)0，所以g(x)在1，e上單調(diào)遞增，所以g(x)maxg(e)e1.只需證f(x)e1，即xe1a2(e1)xx2在1，e上恒成立即可令h(x)(e1)xx2.當x1，e時，h(x)(e1)xx2的最大值為h2.所以a22，即a.故實數(shù)a的取值范圍是.(2)存在x1，x21，e，使得f(x1)g(x2)，等價于x1，e時，f(x)min0，所以g(x)在1，e上單調(diào)遞增，所以g(x)maxg(e)e1.又f(x)1，令f(x)0，得xa，故f(x)x(a0)在(

9、0，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增當0a1時，f(x)在1，e上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)1a21e，符合題意；當1ae時，f(x)在1，a上單調(diào)遞減，在a，e上單調(diào)遞增，f(x)minf(a)2a，此時，2a1e，解得1ae時，f(x)在1，e上單調(diào)遞減，f(x)minf(e)e，此時，e1e，即ae矛盾，不符合題意綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為.解題師說(1)本例第(1)問從數(shù)的角度看，問題的本質(zhì)就是f(x)ming(x)max.從形的角度看，問題的本質(zhì)就是函數(shù)f(x)圖象的最低點也不低于g(x)圖象的最高點(2)本例第(2)問從形的角度看，問題的本質(zhì)就是函數(shù)f(x)圖象的最低點

10、低于g(x)圖象的最高點應(yīng)用體驗3已知函數(shù)f(x)4ln xax(a0)，(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當a1時，設(shè)g(x)2ex4x2a，若存在x1，x2，使f(x1)g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)由題意得f(x)a(x0)令f(x)0，即ax24xa30.當a0時，f(x).由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x0時，ax24xa30的判別式4(a1)(a4)若a1，0，則f(x)0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)若0a0.因為x1x20，x1x20，所以x10，x20.由f(x)0，得x1xx2；由f(x)x2或0xx1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(x1，x2)，

11、單調(diào)遞減區(qū)間為(0，x1)，(x2，)綜上，當a0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.當0ag(x2)”等價于“x時，f(x)maxg(x)min”由(1)知，當x時，f(x)maxf4ln 2a6.由g(x)2ex40，得xln 2.當x時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以當x時，g(x)ming(ln 2)44ln 22a.由f(x)maxg(x)min，得4ln 2a644ln 22a，解得1ag(x2)”與“x1D1，x2D2，使f(x1)g(x2)，等價于函數(shù)f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值，即f(x)ming(x)min(這里假設(shè)f(x)min，g

12、(x)min存在)其等價轉(zhuǎn)化的目標是函數(shù)yf(x)的任意一個函數(shù)值大于函數(shù)yg(x)的某一個函數(shù)值如圖.(2)x1D1，x2D2，使f(x1)g(x2)，等價于函數(shù)f(x)在D1上的最大值小于g(x)在D2上的最大值，即f(x)maxg(x)max.其等價轉(zhuǎn)化的目標是函數(shù)yf(x)的任意一個函數(shù)值小于函數(shù)yg(x)的某一個函數(shù)值如圖.典例已知函數(shù)f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若對任意的x1(0,2)，總存在x21,2，使f(x1)g(x2)，求實數(shù)b的取值范圍方法演示解：依題意知f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在1,2上的最小值，即f(x)ming(x)min.所以f

13、(x)，則當0x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當1x0，f(x)單調(diào)遞增，所以當x(0,2)時，f(x)minf(1).又g(x)x22bx4，當b1時，可求得g(x)ming(1)52b.由52b，解得b，這與b2時，可求得g(x)ming(2)84b.由84b，得b.綜合得實數(shù)b的取值范圍是.解題師說“對任意x1(0,2)，總存在x21,2，使f(x1)g(x2)”等價于“f(x)在(0,2)上的最小值大于或等于g(x)在1,2上的最小值”應(yīng)用體驗4已知函數(shù)f(x)x3x2ax.(1)若f(x)在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的最小值；(2)若g(x)，對x1，x2，使f(x1)g(

14、x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)由題設(shè)知f(x)x22xa0在1，)上恒成立，即a(x1)21在1，)上恒成立，而y(x1)21在1，)單調(diào)遞減，則ymax3，a3，a的最小值為3.(2)“對x1，x2，使f(x1)g(x2)成立”等價于“x時，f(x)maxg(x)max”f(x)x22xa(x1)2a1在上遞增，f(x)maxf(2)8a.又g(x)，由g(x)0，得x1，由g(x)1，g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減當x時，g(x)maxg(1).由8a，得a8，實數(shù)a的取值范圍為.1已知函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)asinxa1(a0)，若存在x1，x20,1，

15、使得f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍解：設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在0,1上的值域分別為A，B，則“存在x1，x20,1，使得f(x1)g(x2)成立”等價于“AB”當0x時，f(x)x單調(diào)遞減，所以0f(x).當0，所以f(x)單調(diào)遞增，所以0，所以g(x)asinxa1在0,1上單調(diào)遞增，其值域B.由AB，得01a或01，解得a2.所以實數(shù)a的取值范圍是.2已知函數(shù)f(x)ln xax.(1)若函數(shù)f(x)在1，)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)已知函數(shù)g(x)x，對于任意x11，e，總存在x21，e，使得f(x1)g(x2)成立，求正實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)a

16、，x1，)，函數(shù)f(x)在1，)上是單調(diào)函數(shù)，f(x)0或f(x)0對任意x1，)恒成立即ax2x10或ax2x10對任意x1，)恒成立，a或a對任意x1，)恒成立令t，由于x1，)，則t(0,1，設(shè)h(t)t2t2，因此h(t)0，故a0或a，實數(shù)a的取值范圍為0，)(2)由(1)知，當a0時，函數(shù)f(x)在1，e上為增函數(shù)，故f(1)f(x)f(e)，即1af(x)1ae.g(x)1，當x1，e時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，g(1)g(x)g(e)，即2g(x)e.對任意x11，e，總存在x21，e，使得f(x1)g(x2)成立，f(x1)maxg(x2)max，即1aee，解得0a1

17、，故所求正實數(shù)a的取值范圍為.3已知函數(shù)f(x)x2ax3(a0)，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)f(x2)1，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)2x2ax2(a0)，令f(x)0，得x0或x.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0f(x)00f(x)0所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)，.f(x)的極小值為f(0)0，極大值為f.(2)由f(0)f0及(1)知，當x時，f(x)0；當x時，f(x)2，即0a時，由f0知，0A，而0B，所以A不是B的子集當12，即a時，有f(2)

18、0，且此時f(x)在(2，)上單調(diào)遞減，故A(，f(2)，因而A(，0)；由f(1)0，有f(x)在(1，)上的取值范圍包含(，0)，則(，0)B，所以AB.當時，有f(1)0時，若對任意x1，x20,2，f(x1)g(x2)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x).當m0時，由f(x)0，得1x1；由f(x)1或x1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，1)，(1，)當m0，得x1或x1；由f(x)0，得1x0時，“對任意x1，x20,2，f(x1)g(x2)恒成立”等價于“對任意x0,2，f(x)ming(x)max成立”當m0時，由(1)知，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，在1,2上單調(diào)遞減，因為f(0)1，f(2)11，所以f(x)minf(0)1.故應(yīng)滿足1g(x)max.因為g(x)x2eax，所以g(x)(ax22x)eax.當a0時，g(x)x2，對任意x0,2，g(x)maxg(2)4，不滿足1g(x)max.當a0時，令g(x)0，得x0或x.()當2，即1a0時，在0,2上，g(x)0，所以g(x)在0,2上單調(diào)遞增，g(x)maxg(2)4e2a.由14e2a，得aln 2，所以1aln 2.()當02，即a1時，在上，g(x