用解析法解平面幾何問題

1、A3、如圖：過圓中弦 AB的中點(diǎn)M，任引兩弦CD和EF，連CF、ED分別交弦 AB于Q、P。解析法1、如圖：四邊形ABCD的對(duì)角線AC丄BD，交點(diǎn)為0,自0向各邊作垂線，垂足為 E、F、G、H ; 連E0交CD于E,連F0交DA于F ，連 G0交AB于G ，連H0交BC于H 。求證： E、F、G、H、E、F、G、H 八點(diǎn)共圓。2、如圖：設(shè)H是銳角三角形 ABC的垂心，由A向以BC 為直徑的圓作切線 AP, AQ，切點(diǎn)分別為P、Q。 求證：P、H、Q三點(diǎn)共線。求證：PM=MQ。4、如圖：已知 ABCD是正方形, 求證：DE=DH。CE / BD ,DBCE5、用解析法證明圓的切割線定理。T.6、

2、用解析法證明半角的正切公式：sin 1 - costtan21 + cos日sin 67、acos 日 +bsi n 日=c acos +bsi n = cabc = 0,2abce +0,立。練習(xí)題：b0, c0，求證：.a b -ab：r：bc - be.acac說明等號(hào)何時(shí)成1、 已知方程|x|=ax+1有一個(gè)負(fù)根但沒有正根，則a的取值范圍是 。2、 已知fx =、1 x2，若a,b R,a = b，則|fa - f b |與|a-b|的大小關(guān)系為（）（C）| f a - f b | J a -b|（D）不能確定.cos。一33、 函數(shù) f x的值域?yàn)?。sin。-14、 對(duì)一切實(shí)數(shù) a有

3、| . a2 a 1 -、a2 - a 1卜：M ,則M的最小值為 5、求證三角形的三條高交于一點(diǎn)。參考答案1、證明以CA為x軸，DB為y軸建立坐標(biāo)系，并記直線AB與0G的方程分別為 仝+丫=1上=上ca b=1，d =聯(lián)立可解得Gabd.ac +bdabciac bd同理可得HEbedabciac +bdac bd bcd acdiac +bd ac +bd 丿Fabd acdiac +bd ac + bd 丿由于F與G, E 與H 的橫坐標(biāo)相同，有F G E H y軸；由于G與HE與 F 的縱坐標(biāo)相同，有 G H E F x軸；所以四邊形 E F G H 是矩形，以它的對(duì)角 線為直徑作圓，

4、這圓過 E , F , G , H 又由/ G EE = / G GE = / H FF =/ H HF =90。知，這圓也過 E, G, F, H，得證八點(diǎn)共圓.2、證明以BC為x軸，線段BC的垂直平分線為 y軸建立直角坐 標(biāo)系，記 ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A ( a, b), B ( R, 0), C ( R,2 2 20) (R0),則以BC為直徑的圓的方程為 x+y=R 而過P, Q的切線方程分別為xx p yyp = Raxp by p = R2因?yàn)閮汕芯€過點(diǎn) A，故有2xxq yyQ =Rax by = R這表明：P (xp,yp), Q ( xq$q)在直線 ax + by=R2AO

5、上，但過P, Q的直線是唯一的，故就是直線PQ的方程。又由銳角三角形知， AB , AC與圓相交，記交點(diǎn)為 E, F,貝U BF丄AC , CE丄AB，且BF與CE 交于 ABC的垂心H。由直線AC的斜率為 一 知，直線BF的斜率為 上空，得直線BF的方程為a Rba - R x by =R2 -aR;同理CE的方程為a R x b R2 aR;由+得知：BF與CE的交點(diǎn)在PQ上，即卩PQ通過 ABC的垂心。 3、證明以M為原點(diǎn)，直線 AB為軸建立直角坐標(biāo)系，則已知圓可表示為x2 y2 -2by f = 0直線CD, EF可表示為yr/x, y = k2x合并為y -Kx y -k?x i=0

6、于是，過、交點(diǎn) C、E、D、F的二次曲線系可表2 2示為X - y -2by + f + k(y - k)x (y - k2x )= 0其與X軸的交點(diǎn)P, Q的橫坐標(biāo)滿足方程1 k1k2 x f = 0，由P, Q的存在性知：這方程 必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且 Xp Xq =0，這說明：原點(diǎn) M是P, Q的中點(diǎn)，從而PM=MQ。y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為4、證明如圖：以BC所在直線為x軸，CD所在直線為1，則 A ( 1，1)，B ( 1，0)，C( 0，0)，D( 0，1)因?yàn)镃E/BD ,所以/ ECX= / DBC=45 ,因此直線CE 的方程為 y=x，設(shè) E( a, a),由

7、 |BE|=|BD|=、2 知，J(a +1 2 +a2 = J2 由于 a0,故 a = ，因2此|DE|= 3 -1，又 BE 的方程為一y2 3 ,x +1設(shè)H ( 0, b)，代入上述方程得 b =2 - 3，于是|DH|= 3 - 1所以 |DE|=|DH|。PAB是圓的割線，以圓心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)5、設(shè)P是圓O外一點(diǎn)，PT是圓的切線, 圓的方程為x2 y2 = r2點(diǎn)P的坐標(biāo)為P X0, y0 x。2y02r2，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)為x1, y1 , x2, y2 x2yi r2 ,i = 1,2，過點(diǎn) P 的直線方程為 y-y0=kx-x0有 PA= 1 k2|X1-X。|,

8、PB= . 1 k2 I X2 -X。|,PT2二 PO2 -OT2 二 x。2y。2-r2把代入得 1k2x_x022 ky0 x0 x _x0x。2 y。2 _r2 =02 2 2由韋達(dá)定理得/7v X0 +y0 -rX1 X。X2 _x。1 k從而 PA 卩B = 1 k2 xx0 x2 -x0 二 x。2 y。2 -r2 二 PT2 。6、證明如圖：對(duì)任意角 v - =2k：，y作單位圓與始邊 ox. e軸正向交于C,與終邊交于A，有A cos =,Sn二，C 1,0又角一2的終邊在點(diǎn)A、C的對(duì)稱軸上，或?yàn)樯渚€ OB，或?yàn)樯渚€OB ,e而直線BB 的方程為y=xtar。由AC丄BB 知

9、2日 1-c o Stan，又 AC 的中點(diǎn)在 BB 上，有2 si nsin v 1 - cos 丄口”丄sin 二=-tan，即 tan =。22221 costcrn,sin 二 1-cos n所以tan21 + cos 日si n 日7、證明對(duì)a, b不為0,已知條件表明，不同的兩點(diǎn)Acosr,sinr ,Bcos，sin：在直線ax by = c上,又 AB 所確定的直線方程為sinv-sinx-cos：；卜cosv-cos：: y - sin = 0日沁日+半日xcosysincos2 2由兩點(diǎn)確定一條直線知，重合,2aQ +tp cos2b_0 +P sin2cQ -tp cos2a V3fc43Aja 1 B(b,0 )CJ-c2 2J |AB| 即得所