對人教版A版高中數(shù)學(xué)《點到直線的距離》一節(jié)的一點看法與建議

1、 學(xué)科論文高中數(shù)學(xué)水到渠成,順理成章對人教版a版點到直線的距離一節(jié)的一點看法與建議內(nèi)容提要 本文結(jié)合具體課堂教學(xué)實踐，就新課標(biāo)教材點到直線的距離一節(jié)的處理如何更有效地激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力與符號運算能力，對該節(jié)課程的課堂教學(xué)與教材的編寫談了作者的一些思考.關(guān)鍵詞 點到直線距離 運算能力 學(xué)習(xí)策略 高中數(shù)學(xué)新課程無論在新課改的理念還是教師的教學(xué)手段等方面已經(jīng)悄悄地發(fā)生著變化。比如數(shù)學(xué)學(xué)科人教版a版的教材主導(dǎo)思想是想讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)是有用的、學(xué)數(shù)學(xué)能提高能力、數(shù)學(xué)是自然的、數(shù)學(xué)是清楚的。該教材是許多課程專家與一線教師的研究成果和實踐經(jīng)驗的結(jié)晶，但由于是新課程的第一階段，教材中也存

2、在一些不是很妥當(dāng)?shù)牡胤?，?jīng)過了一輪的教學(xué)以后，有些地方已經(jīng)進(jìn)行了一些修改，從原先的不甚合理變得比較得合理。本文就筆者所聽高一年級的一節(jié)點到直線的距離的公開課（人教版a版數(shù)學(xué)必修2），對該教材中對于點到直線的距離公式的推導(dǎo)的處理談?wù)剮c想法：首先我們看看這節(jié)課的大致情況的摘錄：該教師為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時也為了讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)是自然的，在進(jìn)入正題之前設(shè)置了一個生活中的例子“某電信局計劃年底解決本地區(qū)最后一個小區(qū)p的電話通信問題，并選擇了一條離它最近的電信線路，要完成這項任務(wù)，至少需要多長的電纜？”，然后師生共同從實際事例中抽象出數(shù)學(xué)問題：點到直線的距離問題。教師為了降低難度

3、，給出了線路所在的直線的方程，同時給出了點p的坐標(biāo)，然后請學(xué)生作答，同學(xué)們的發(fā)言比較踴躍，而且非常順利地依次采用“作垂線，求垂足，算距離”“構(gòu)造直角三角形，利用等面積求高”“利用兩點間距離公式，利用函數(shù)求最值”三種方法來解決這個問題.在這個環(huán)節(jié)中，教學(xué)活動進(jìn)程顯得很自然，也很順手，學(xué)生的求知欲望高漲，在問題得以解決時的那種興奮溢于言表，課堂氣氛熱烈，自然在這樣的情景中，教師趁熱打鐵，乘勝追擊，提出該問題是否可以推廣到一般情況，如：已知直線的方程為：（a、b不同時為零），點，問能否求出點到直線的距離。該問題拋出后，教師象剛才一樣讓學(xué)生思考了一會，讓同學(xué)們發(fā)表自己的見解，一位同學(xué)首先講述了自己的思

4、路：先利用垂直關(guān)系求出過點與直線垂直的直線方程，然后利用兩直線相交求出垂足q的坐標(biāo)，再利用兩點間的距離公式求出的值，即點到直線的距離（筆者認(rèn)為這個環(huán)節(jié)可以放手讓學(xué)生按照自己的思路進(jìn)行問題解決）。教師根據(jù)學(xué)生的思路在黑板上進(jìn)行了板書：可能擔(dān)心時間過于緊張，也可能因為課本p107上說“上述方法雖然思路十分自然，但運算較繁，下面我們采用另一種方法”，教師沒有繼續(xù)往下求解，而是話鋒一轉(zhuǎn)告訴同學(xué)們“這樣求解方程比較繁瑣，花的時間也很長，而且還不容易求對，因此，我們可以跟具體例子里一樣，我們還可以構(gòu)造直角三角形，利用等面積進(jìn)行計算。”.在這之前，筆者覺得該教師無論在課堂設(shè)計方面，還是學(xué)生的思維發(fā)散方面，都

5、處理地比較自然，沒有任何造作，可為了介紹教材中的推導(dǎo)方法，硬生生地把同學(xué)們的思維往另一個方向扭轉(zhuǎn)地方式是不妥當(dāng)?shù)摹ｋm然教師參考用書中也寫道“這是典型的坐標(biāo)法（指剛才學(xué)生所說的方法），不妨讓學(xué)生沿著這條思路走下去，求出結(jié)果來，而不是直接介紹教科書上的方法”，教材是我們開展課堂教學(xué)的“綱”與“本”（盡管有人認(rèn)為盡信書，不如無書，但也要回歸課本），由于教科書上說“運算較繁”，其結(jié)果自然會影響到這些運算能力較差的學(xué)生的解題自信心，事實上許多老師都已經(jīng)受到了影響。另外筆者認(rèn)為教科書里的這句話不科學(xué)，具體理由有以下：一、“作垂線，求垂足，算距離”（下面把這種方法就簡稱為方法一）的計算是不是真的很繁？是不是

6、比“構(gòu)造三角形，利用等面積求高”（下面簡稱為方法二）的計算要繁很多？oxyq1、下面我們就這兩種方法分別計算一下：方法一：解：如圖 ，過點作直線的垂線，垂足為q。（1）若直線平行于x軸，即a=0，直線的方程 變形為，點到直線的距離（2）若直線平行于y軸，即b=0，直線的方程 變形為.點p到直線的距離（3）若直線既不平行于x軸，又不平行于y軸，由直線的方程可得，它的斜率是.直線的方程為,即 。與直線的方程聯(lián)立，解得,.得，所以.方法二：解：如圖 ，過點作直線的垂線，垂足為q。oxyq（1）若直線平行于x軸，即a=0，直線的方程待添加的隱藏文字內(nèi)容3 變形為,點到直線的距離s（2）若直線平行于y軸

7、，即b=0，直線的方程 變形為,點到直線的距離 .（3）若直線既不平行于x軸，又不平行于y軸，則直線與x軸和y軸都相交，過點分別作x軸和y軸的平行線，交直線于r和s，則直線的方程為，r的坐標(biāo)為,直線的方程為，s的坐標(biāo)為，于是有.設(shè)，由三角形面積公式可得，,于是得 .比較以上兩種解法，似乎感覺方法一較繁，實際上，方法一就是式子看起來比較大，其實，計算的繁與簡有很多時候還是“仁者見仁，智者見智”的。2、從思維角度，筆者認(rèn)為方法一比方法二更簡單。前面一節(jié)同學(xué)們剛學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式，而且，初中時學(xué)生就比較熟悉點到直線的距離,就是由該點向直線引垂線段的長。因此，方法一是比較自然就可以想到的；而方法二

8、，從其本身來說，是難得的一種好方法，也比較重要，但并不是所有的好方法為學(xué)生所能掌握的，或者說在基礎(chǔ)教育階段都有能力掌握的?？梢韵胍幌耄尸F(xiàn)在我們面前的只不過是一個點和一條直線，其他什么都沒有，現(xiàn)在我們需要構(gòu)造一個直角三角形來解決問題，試問由沒有的圖形通過一種經(jīng)驗來構(gòu)造，這樣的解決問題的方式對思維及能力本身的要求相對于方法一是簡還是繁呢？答案是顯然的。二、從知識之間的聯(lián)系來看，筆者認(rèn)為點到直線的距離公式推導(dǎo)過程應(yīng)更傾向于方法一。新教材強調(diào)的知識的螺旋上升，那么點到直線的距離公式的推導(dǎo)實際上從某種意義上來說也是一次知識的上升過程，至少也是一種應(yīng)用過程。而且利用曲線的方程，從方程的角度探究曲線的幾何

9、特性始終貫穿整個高中的解析幾何。三、從能力培養(yǎng)角度來看，方法一更貼近現(xiàn)在的課標(biāo)要求。新課標(biāo)中講到“必修課程內(nèi)容確定的原則是：滿足未來公民的基本數(shù)學(xué)需求，為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備”，考綱中也只要求學(xué)生掌握通性通法，削弱技巧性的問題。既然是這樣，那么學(xué)生 “水到渠成”的一種想法為什么不進(jìn)行宣揚呢。更何況，現(xiàn)在許多學(xué)生的運算能力十分低下，而運算求解能力又是一種基本能力，能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標(biāo)也是考綱中的要求。解析幾何就是利用代數(shù)的方法來解決幾何的問題，既然是幾何問題進(jìn)行了代數(shù)化，代數(shù)的主要研究方式就是進(jìn)行運算，因此也就造成了解析幾何避免不了的運算量大的現(xiàn)象，所以對于一個帶有字母量的二元一次方程組的求解，無論是從運算的角度還是從培養(yǎng)學(xué)生堅韌不拔、鍥而不舍的精神品質(zhì)的角度都應(yīng)該是一個很好的素材，所以我建議在教科書中，我們應(yīng)該按照學(xué)生的思路進(jìn)行求解，至于構(gòu)造三角形確實是一個好方法，不妨以思考或探究的形式，如：“你能否用其他的方法進(jìn)行求解，如果可以，請比較一下這些方法各有什么優(yōu)點？”通過學(xué)生自己動手操作，通過比較可以加深對知識的理解，并加強了學(xué)生應(yīng)用知識的能力，同時學(xué)生的自主探索、動手實踐、閱讀自學(xué)等能力也可以得到發(fā)展。當(dāng)然也可以放在課外閱讀或課外練習(xí)中?？傊?，筆者認(rèn)為，既然想讓學(xué)生感覺“數(shù)學(xué)是自然的”，那么我們解