北京海淀區(qū)高三數(shù)學一模(文科)試題及答案精校版

1、海淀區(qū)高三年級第二學期期中練習 數(shù)學（文）答案及評分參考 2015.4一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）a （2）c （3）d （4）b （5）c （6）b （7）d （8）d二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空2分，第二空3分）（9） （10）0 （11）12；-54 （12） （13） （14）100110；4三、解答題（共6小題，共80分） （15）（共13分） 解：（）因為 , 所以 . 1分因為 是與的等差中項, 所以 , 即.所以 . 3分所以 是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.所以 . 6分（）由（）可得：. 所以 , . 所以 是以1

2、為首項, 為公比的等比數(shù)列. 9分所以 數(shù)列的前項和. 11分因為 ，所以 .若，當時，.所以 若對,恒成立，則.所以 實數(shù)的最小值為2. 13分 （16）（共13分）解：（）； 2分 6分 （）. 9分 （）乙種酸奶平均日銷售量為：（箱）. 11分乙種酸奶未來一個月的銷售總量為：（箱）. 13分 （17）（共13分）解：（）方法一：因為 且，所以 . 2分又因為 ， 4分所以 .所以 .所以 . 6分因為 ，所以 為等邊三角形.所以 . 7分方法二： 因為 ， 所以 . 1分因為 ，所以 .所以 . 3分所以 .所以 .所以 . 5分因為 ， 所以 .所以 ，即. 7分（）因為 ，且，所以

3、. 所以 9分（當且僅當時，等號成立）. 11分因為 ，所以 .所以 .所以 .所以 當是邊長為1的等邊三角形時，其面積取得最大值.13分（18）（共14分）證明：（）因為 四邊形為矩形， 所以. 因為 平面平面，且平面平面，平面， 所以 平面. 3分 因為 平面， 所以 . 5分（）證明：因為 四邊形為矩形， 所以 .因為 ， 所以 平面平面. 7分 因為 平面， 所以 平面. 9分（）直線與相交，理由如下： 10分取的中點，的中點，連接，.所以 ，且.在矩形中，為的中點，所以 ，且.所以 ，且.所以 四邊形為平行四邊形. 所以 ，. 12分因為 四邊形為梯形， 為的中點，所以 ，.所以 四

4、邊形為平行四邊形.所以 ，且.所以且.所以 是平行四邊形.所以 ，即.因為 ，所以 四邊形是以，為底邊的梯形.所以 直線與相交. 14分（19）（共13分）解：（）因為 橢圓過點，所以 . 1分因為 ， 所以 . 所以 橢圓的方程為 3分（）方法一：依題意得.因為 橢圓上存在點關于直線對稱，所以 直線與直線垂直，且線段的中點在直線上.設直線的方程為.由得 . 5分由，得.（*） 因為 ， 7分所以 的中點坐標為. 又線段的中點在直線上，所以 .所以 . 9分代入（*），得或.所以 . 11分因為 ，所以 對于，線段中點的縱坐標恒為，即線段的中點總在直線上. 13分方法二：因為 點在直線上，且關

5、于直線對稱，所以 ，且.設（），的中點為.則. 6分又在橢圓上，所以 .所以 .化簡，得 .所以 . 9分又因為 的中點在直線上，所以 .所以 .由可得.所以 ，或，即，或.所以 . 12分所以 對于，線段中點的縱坐標恒為，即線段的中點總在直線上. 13分（20）（共14分）解：（）. 1分 當時，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間是. 2分當時，令，得. 當變化時，的變化情況如下：極小值所以 的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是. 4分（）因為 存在兩條直線，都是曲線的切線，所以 至少有兩個不等的正實根. 5分令得，記其兩個實根分別為.則 解得. 7分當時，曲線在點處的切線分別為，.令.由得（不妨設），且當時，即在上是單調函數(shù).所以 .所以 ，是曲線的兩條不同的切線.所以 實數(shù)的取值范圍為. 9分（）當時，函數(shù)是內的減函數(shù).因為 ，而，不符合題意. 11分當時，由（）知：的最小值是.（）若，即時，所以，符合題意.