工程力學(下)電子教案第七章

1、學習好資料歡迎下載第七章應力和應變分析 7.1應力狀態(tài)概述 7.2二向和三向應力狀態(tài)的實例 7.3二向應力狀態(tài)分析一解析法教學時數(shù)：2學時教學目標：1. 了解一點應力狀態(tài)的基本概念，進行應力分析的意義。2. 介紹平面應力狀態(tài)的工程實例。3. 掌握平面一般應力狀態(tài)分析一一解析法。4 會應用解析法確定一點應力狀態(tài)中的主應力、主方向、主剪應力、主剪平面方位及任意給定方位截面上的應力數(shù)值。5 .對空間應力狀態(tài)做簡單介紹。教學重點：1. 重點掌握平面一般應力狀態(tài)分析一解析法。2. 重點掌握主應力、主方向、主剪應力、主剪平面方位及任意給定方位截面上的應力 數(shù)值的計算方法。3. 理解一點應力狀態(tài)的分析在構(gòu)件

2、強度計算中的重要作用。教學難點：難點是對構(gòu)件危險點處的主應力、主萬位客觀存在的理解。教學方法：板書+ PowerPoint,采用啟發(fā)式教學和問題式教學法結(jié)合，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題，激發(fā)學生的學習熱情。教 具： 教學步驟：（復習提問）（引入新課） 7.1應力狀態(tài)概述（a）彎曲架楙裁面上各點鼻有革同初正用力（b）宣曲秦於裁血上各點具有不同的剪世力1 .凡提到“應力”，必須指明作用在哪一點，哪 個（方向）截面上。因為受力構(gòu)件內(nèi)同一截面上 不同點的應力一般是不同的，通過同一點不同（方向）截面上應力也是不同的。例如，如圖1所示彎曲梁橫截面上各點具有不同的正應力與 剪應力；如圖2通過軸向

3、拉伸桿件同一點 m的不 同（方向）截面上具有不同的應力。2 .點處的應力狀態(tài)是指通過一點不同截面上的 應力情況，或指所有方位截面上應力的集合。應力分析就是研究這些不同方位截面上應力隨截面方向的變化規(guī)律。如圖 3是通過軸向拉伸桿件內(nèi) m點 不同（方向）截面上的應力情況（集合）3點處的應力狀態(tài)可用圍繞該點截取的 微單元體（微正六面體）上三對互相垂直微面上的 應力情況來表示。如圖 4 （a,b）為軸向拉伸桿件內(nèi)圍繞 m點截取的兩種微元體。特點：根據(jù)材料的均勻連續(xù)假設，微元體（代表一個材料點）各微面上的應力均勻分布， 相互平行的兩個側(cè)面上應力大小相等、方向相反；互相垂直的兩個側(cè)面上剪應力服從剪切互等

4、關(guān)系。在圖2a中，單元體的三個互相垂直的面上都沒有切應力，這種切應力等于零的面稱為主平面。 主平面上的正應力成為主應力。一般來說，通過受力構(gòu)件的任意點都可以找到三個互相垂直的主平 面，因而每一點都有三個主應力。對簡單拉伸，三個主應力中只有一個不等于零，稱為單向應力狀 態(tài)。若三個主應力中有兩個不等于零，稱為二向或平面應力狀態(tài)。當三個主應力都不等于零時，稱 為三向或空間應力狀態(tài)。1 圖 2，f IT.i = 圖3靄哨:時m烹一總.即沁訂 7.2二向和三向應力狀態(tài)的實例1 .薄壁圓筒壓力容器D為平均直徑，為壁厚則薄壁圓筒的橫截面上的應力pD(7.1)用相距為I的兩個橫截面和包含直徑的 縱向平面，從圓

5、筒中取出一部分（圖7.2c）,若在筒壁的縱向截面上應力為c，則內(nèi)力為在這一部分圓筒內(nèi)壁的微分面積| d上，壓力為 pl d 。它在y方向的投影為2 2pl d sin 。通過積分求出上述投影的總和為2:pl Ds in d 二 plD積分結(jié)果表明，截出部分在縱向平面上的投影面積ID與p的乘積，就等于內(nèi)壓力的合力。由平衡方程7 Fy =0，得 2匚- p I D= 0宀罟（7.2）從公式（7.1 ）和（7.2）看出，縱向截面上的應力是橫截面上應力匚的兩倍。2. 球形貯氣罐（圖8-6）壁的內(nèi)力用包含直徑的平面把容器分成兩個半球，半球上內(nèi)壓力的合力為nD容器截面上的內(nèi)力為re 7.J由平衡方程容易得

6、出一罟由球?qū)ΨQ知包含直徑的任意截面上皆無切應力，且正應力都等于由上式算出的二，與二相比，如再省略半徑方向的應力，三個主應力將是；，；3 = 03. 彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用下的圓軸()(b上W*OX 3更4. 受橫向載荷作用的深梁）壹號白擷柞用曲茱墨（靳H量血） 7.3二向應力狀態(tài)分析解析法1.空間一般應力狀態(tài)如圖所示，共有9個應力分量:X 面上的二 XX , xy , xz ； y 面上的二 yy ,. yx ,- yz ； Z 面-ZX，-zy 空同一離用力狀態(tài)(b)平面一般應力狀態(tài)（口平面一般應力狀態(tài)1） 應力分量的下標記法：第一個下標指作用面（以其外法線方向表示），第二個下標指作 用方向。由

7、剪應力互等定理，有： xy = yx , yz 二 zy , xz = zx 2） 平面一般應力狀態(tài) 如圖b所示，即空間應力狀態(tài)中，z方向的應力分量全部為零（；：zz =1以二y =）；或只存在作用于x-y平面內(nèi)的應力分量 二x，二y, xy , - yx ,其中二x 二y分別為二xx，- yy的簡寫，而xy = yx 3）正負號規(guī)定：正應力以拉應力為正，壓為負；剪應力以對微元體內(nèi)任意一點取矩為順時 針者為正，反之為負。2 .平面一般應力狀態(tài)斜截面上應力如圖7.5所示，斜截面平行于z軸且與x面成傾角，由力的平衡條件：7 Fn =0 和 V Ft =0可求得斜截面上應力2丄2c = x c o

8、s很亠 ，y s in： - xy 2s i n cos（b）的平所體（C）積之間的關(guān)系圖7.5(7.3)1 1(二 x 亠 y)(二 x - ；y)cos2： - . xy sin 2：2 2.一 =(；x - ；y) s i n c o s xy(cos sinQ（二 x -；y）sin2篇川，xy cos2：（7.4）注意到：1 ）圖7.5b中應力均為正值，并規(guī)定傾角二自x軸開始逆時針轉(zhuǎn)動者為正，反之為負。2）式中.紹均為x面上剪應力，且已按剪應力互等定理將.yx換成.xy。3 .正應力極值一主應力根據(jù)（7.3）式，由求極值條件 -0,得da-(二 x -；y)sin2: - 2 . x

9、y cos2: =0即有tan2： o2 xy(7.5)x：-0為二:.取極值時的：角，應有：-0 , :- 090兩個解。從公式（7.5）求出sin 2 0和cos2： 0分別代入（7.3）, （7.4）即得：6 玄=丄（7x + J） 丄（6 _0）2 +4珥（7.6）m i n22 s說明：1）當傾角：轉(zhuǎn)到：0和090面時，對應有二-.0，二90，其中有一個為極大值，另一個為極小值；而此時, -0 90均為零。可見在正應力取極值的截面上剪應力為零。2） 定義：正應力取極值的面（或剪應力為零的面）為 主平面，主平面的外法線方向稱 主方 向，正應力的極值稱主應力，對平面一般應力狀態(tài)通常有兩個

10、非零主應力：匚max，二min，故也 稱平面應力狀態(tài)為二向應力狀態(tài)。4 .剪應力極值主剪應力根據(jù)（7.4）式及取極值條件d （二x-；y）cos2-2.xyS in2=0，可得:datan2：2Xy(7.7)為取極值時的:-角，應有：90兩個解。將相應值sin 2：、COS2分別代入(7.3),(7.4)即得:-max min、2 2、 y ) 4 xy)(7.8)= ；：.； 90=2（匚 X 90面時，對應有.max , -min1體現(xiàn)了剪應力互等定理，而此兩面上正應力大小均取平均值2（匚吋 min）（如圖8-11b）2）定義：剪應力取極值的面稱主剪平面，該剪應力稱主剪應力。注意到：*ta

11、n 2 0 tan 2 0 = -12 0 = 2二0 _ 90 或 ： 0 = : 0 _ 45 因而主剪平面與主平面成_45夾角。（課堂小節(jié)） 作業(yè)布置：7.4(a) (d) 7.7第七章應力和應變分析 7.4二向應力狀態(tài)分析一圖解法 7.10強度理論概述 7.11四種常用強度理論 7.12莫爾強度理論教學時數(shù)：2學時教學目標：1. 了解從任意截面上的應力公式引出應力圓的簡要過程，即應力圓的方程的導出2. 掌握應力圓的作圖方法。3. 掌握用應力圓求任意斜截面上的應力、主應力和確定主平面的位置的具體方法。4 掌握極點法，明確極點法的優(yōu)越性。5. 了解強度理論的基本概念。6. 掌握四種常用的強

12、度理論的內(nèi)容及其應用條件7. 了解莫爾強度理論及其適用范圍。教學重點：3. 重點掌握應力圓的作圖方法 。4. 掌握用極點法求解任意斜截面上的應力、主應力和確定主平面的位置。5. 重點了解強度理論的基本概念。4. 重點掌握四種常用強度理論的內(nèi)容及應用條件。教學難點：難點是學生對材料的機械性能與強度理論之間的內(nèi)在聯(lián)系尚不能深刻地理解，特別對從能量原理和唯象處理方法導出的強度理論不一定徹底接受。教學方法：板書+ PowerPoi nt,采用啟發(fā)式教學和問題式教學法結(jié)合，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題，激發(fā)學生的學習熱情。教 具：教學步驟：（復習提問）（引入新課）（講授新課）7.4平面應力狀態(tài)

13、分析圖解法1 .應力圓方程由式（7.3）和（7.4）消去sin2，cos2得到(a)此為以二：.，=為變量的圓方程，以二為橫坐標軸，：為縱坐標軸，則此圓圓心 0 坐標為，半徑為R二1此圓稱應力圓或莫爾（Mohr）圓(b)-r圖 7.10(a)2 .應力圓的作法應力圓法也稱應力分析的圖解法。作圖7.10a所示已知平面一般應力狀態(tài)的應力圓及求傾角 為的斜截面上應力；：.，：.的步驟如下：1）根據(jù)已知應力 二X，二y , xy值選取適當比例尺；2） 在 E坐標平面上，由圖7.10a中微元體的面上已知應力作D （ X , xy ）, D 3 -旳）兩點；3）過D, D兩點作直線交二 軸于C點，以C為圓

14、心，CD為半徑作應力圓;4）半徑CD逆時針（與微元體上:-轉(zhuǎn)向一致）轉(zhuǎn)過圓心角 v - 2得E點，則E點的橫坐標值OF即為；.，縱坐標值FE即為3 .微元體中面上應力與應力圓上點的坐標的對應關(guān)系單元體內(nèi)任意斜面上的應力都對應著應力圓上的一個點。1） OF k -., FE=的證明：OF -OC CE cos（2： 02 ）=OC CE cos2-：g cos2-：i CE sin2-,sin 2二(d)FE 二 CEsin(2-：i02)=CEsin 2二0 cos2二CE cos2-：0 sin 2：1CEcos2j0 =CDcos2： 0 = CA（二x - ；y）；CE sin2、；0

15、= CD sin2、；0=AD = .xy將以上結(jié)果及（b）式一并代入（d）式，即可求得1 1則 OF =2（二 X；y） 2（6 - ；y）COS2： xy S 2：x _；yFEsin2 - xxy cos2：2FE 與公式（7.3）及（7.4）比較，可見 OF =二一2）確定主應力的數(shù)值和主平面的方位OAi =OC CA1 冷匚 ty）亠“2打xyOB1 =OC 一耳二”亠；）-+ t2* xy主平面位置：應力圓上由D點順時針轉(zhuǎn)過 2 0角度到Ai點，單元體中（圖7.10c）由x軸也按。 按照關(guān)于:的符號規(guī)定，順時針的是順時針量去:-o，這就確定了二1所在主平面的法線位置負值，ta n2

16、o應為負值。由圖7.10b看出,tan2： oAD _2 xyCA（匚 x - ；y）（即式（7.5）,對應微元體內(nèi)從x面順時針轉(zhuǎn)過o（0角（g面）。應力圓上Gi和G2兩點的縱坐標分別是最大和最小值， 分別代表最大和最小切應力。 因為CGi和CG2都是應力圓的半徑，故有maxminG -CTx y2LTxy這就是公式（7.8）。又因為應力圓的半徑也等于-，故又可寫成2maxmin.2_ 2在應力圓上，由A1和G1所對圓心角為反時針的；在單元體內(nèi)，由C1所在主平面的法線2到-max所在平面的法線應為反時針的7.10強度理論概述1不同材料在同一環(huán)境及加載條件下對“破壞”（或稱為失效）具有不同的抵抗

17、能力（抗力）。例1常溫、靜載條件下，低碳鋼的拉伸破壞表現(xiàn)為塑性屈服失效，具有屈服極限 Cs，鑄鐵破壞表現(xiàn)為脆性斷裂失效，具有抗拉強度 cb。圖9-1a,b2.同一材料在不同環(huán)境及加載條件下也表現(xiàn)出對失效的不同抗力。LJ（怕（4 ）駆室牲屈服失*t時尤滑扛嗇出現(xiàn)4薩滑尋域（b） 鐵發(fā)生桃牲斎規(guī)先效時語P（a）（a）箭環(huán)弟察切槽低碳鉗試件量拉伸柞州 （b ） JS切楷帳邯址生臃柱葡駅（平斷口） 圖9-2(b)例2常溫靜載條件下，帶有環(huán)形深切槽的圓柱形低碳鋼試件受拉時，不再出現(xiàn)塑性變形，而沿切槽根部發(fā)生脆斷，切槽導致的應力集中使根部附近出現(xiàn)兩向和三向拉伸型應力狀態(tài)。圖（9-2a,b）例3常溫靜載條件

18、下，圓柱形鑄鐵試件受壓時，不再出現(xiàn)脆性斷口，而出現(xiàn)塑性變形，此時轉(zhuǎn)快覺壓總劃直atA療fi*踰宜戰(zhàn)覽迪Ifl t-sDDO和ES總棘用下竄生也甘覺無ffl t-i材料處于壓縮型應力狀態(tài)。圖（9-3a）例4常溫靜載條件下，圓柱形大理石試件在軸向壓力和圍壓作用下發(fā)生明顯的塑性變形，此時材料處于三向壓縮應力狀態(tài)下。圖9-3b3 根據(jù)常溫靜力拉伸和壓縮試驗，已建立起單向應力狀態(tài)下的彈性失效準則，考慮安全系數(shù) 后，其強度條件為卜I，根據(jù)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)實驗，可建立起純剪應力狀態(tài)下的彈性失效準則,考慮安全系數(shù)后，強度條件為乞! 1。建立常溫靜載一般復雜應力狀態(tài)下的彈性失效準則一一強度理論的基本思想是：1）確認

19、引起材料失效存在共同的力學原因，提出關(guān)于這一共同力學原因的假設；2）根據(jù)實驗室中標準試件在簡單受力情況下的破壞實驗（如拉伸），建立起材料在復雜應力狀態(tài)下共同遵循的彈性失效準則和強度條件。3）實際上，當前工程上常用的經(jīng)典強度理論都按脆性斷裂和塑性屈服兩類失效形式，分別提 出共同力學原因的假設。7.11四個強度理論1 .最大拉應力準則（第一強度理論）基本觀點：材料中的最大拉應力到達材料的正斷抗力時，即產(chǎn)生脆性斷裂。 表達式：；一 max = - u復雜應力狀態(tài)二1一匚 2 匚 3， 當匚 10，；m a x= ；：116111嚴X XX6簡單拉伸破壞試驗中材料的正斷抗力”_，1=、. u = “

20、b，- 2= ” 3 = 0最大拉應力脆斷準則:(9-1a)相應的強度條件：G-（9-1b）nb適用范圍：雖然只突出；而未考慮 匚2,匚3的影響，它與鑄鐵，工具鋼，工業(yè)陶瓷等多數(shù)脆性材料的實驗結(jié)果較符合。 特別適用于拉伸型應力狀態(tài) （如匚j _匚2 .二3 =0），混合型應力狀態(tài)中 拉應力占優(yōu)者（c1 . 0, c3 : 0,但；J |0 ,b3 W 0,V坊3 ）的實驗結(jié)果也較符合，但上述材料的脆斷實驗不支持本理論描寫的二2，二3對材料強度的影響規(guī)律。3 .最大剪應力準則（第三強度理論）基本觀點：材料中的最大剪應力到達該材料的剪切抗力圖9-4晁抵土，花簡另受妊 時在酬向（el才向）開敦u時，

21、即產(chǎn)生塑性屈服。表達式:T-max復雜應力狀態(tài)簡單拉伸屈服試驗中的剪切抗力最大剪應力屈服準則:(9-3a)相應的強度條件：5 -；3 _ !=二（9-3b）7Os v1 fI113適用范圍：雖然只考慮了最大主剪應力13，而未考慮其它兩個主剪應力12 , 32的影響,但與低碳鋼、銅、軟鋁等塑性較好材料的屈服試驗結(jié)果符合較好；并可用于像硬鋁那樣塑性變 形較小，無頸縮材料的剪切破壞，此準則也稱特雷斯卡（Tresca）屈服準則。3 .形狀改變比能準則（第四強度理論）基本觀點：材料中形狀改變比能到達該材料的臨界值（u f ）u時，即產(chǎn)生塑性屈服。表達式：u f = （u f ） u復雜應力狀態(tài)Uf6Ek

22、l)2(匚(匚3 -)2 1簡單拉伸屈服試驗中的相應臨界值:* a(Uf )u 二g 2二:6E形狀改變比能準則：J1 （耳r2）2 +（r2 -貯3）2 +3 -耳）2】=%（9-4a）相應的強度條件:2)2 (二2)2 (二(9-4b)ns適用范圍：它既突出了最大主剪應力對塑性屈服的作用，又適當考慮了其它兩個主剪應力的影響，它與塑性較好材料的試驗結(jié)果比第三強度理論符合得更好。此準則也稱為米澤斯（Mises ）屈服準則，由于機械、動力行業(yè)遇到的載荷往往較不穩(wěn)定，因而較多地采用偏于安全的第三強度理論；的（8）薄壁冏箭拉機組合作用時的應力然態(tài)（b）軟鋼.銅，轄的試驗點與理論橢國曲箜圖9-5土建行

23、業(yè)的載荷往往較為穩(wěn)定，因而較多地采用第四強度理論。1931)。*附：泰勒奎尼（Taylor Qui nney）薄壁圓筒屈服試驗（米澤斯與特雷斯卡屈服準則的試驗驗證。9-5a。薄壁圓筒承受拉伸與扭轉(zhuǎn)組合作用時，應力狀態(tài)如圖 主應力：CTt 3 =丄空石2 +4已1,3 2 -代入第三強度理論:2二:s(a)代入第四強度理論:(b)(a),( b)式在以一為坐標軸的平面內(nèi)為兩條具有不同短軸的理論橢圓曲線（圖6-s9-5b)。結(jié)果：試驗點基本上落于兩條理論曲線之間，大多數(shù)試驗點更接近于第四強度理論曲線。莫爾強度理論1 不同于四個經(jīng)典強度理論，莫爾理論不致力于尋找（假設）引起材料失效的共同力學原因, 而致力于盡可能地多占有不同應力狀態(tài)下材料失效的試驗資料，用宏觀唯象的處理方法力圖建立對 該材料普遍適用（不同應力狀態(tài)）的失效條件。2自相似應力圓與材料的極限包絡線自