多重積分方法總結(jié)

1、摘要：二重積分和三重積分的概念都有實(shí)際的幾何或物理的背景，定 義分為四個(gè)步驟用構(gòu)造的方法給出，最終表現(xiàn)為“黎曼和”的極限.故 多重積分具有極限的基本性質(zhì)，如唯一性，線性性質(zhì)等.定義給出了 概念的一個(gè)準(zhǔn)確描述方法，進(jìn)而從定義出發(fā)可以從純邏輯上考察概念 具有的性質(zhì)以及計(jì)算方法.關(guān)鍵詞：二重積分三重積分英文題目 Summary of multiple integral methodAbstract： The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, d

2、efi nit ion is divided into four steps with the met hod of st rue ture are given, finally shown as nRiemann andM limit. So has the limits of the integral multipie basic properties, such as uniqueness, linear properties. Definition of the concept of a given accurate description method, and from the d

3、efinition from pure logic can be reviews the concep t has property and calcula tion met hod.Keyword： The double integraltriple integral1. 引言：重積分的計(jì)算主要是化為多次的積分.這里首先要看被 積區(qū)域的形式，選擇合適的坐標(biāo)系來進(jìn)行處理二重積分主要給出了 直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的計(jì)算方法.我們都可以從以下幾個(gè)方面把握 相應(yīng)的具體處理過程：1.被積區(qū)域在幾何直觀上的表現(xiàn)（直觀描述， 易于把握)；2.被積分區(qū)域的集合表示(用于下一步確定多次積分的 積分次序和相應(yīng)的積

4、分限)；3.化重積分為多次積分.2. 研究問題及成果2.1.二重積分的計(jì)算1. 在直角坐標(biāo)下：(a) X-型區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于y軸的直線穿過區(qū)域部，與邊界的交點(diǎn) 最多兩個(gè).從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù) y = %(x)和 y = y2(x);被積區(qū)域的集合表示：D = (x,y)axb,yx)yy2(x);二重積分化為二次積分：J“(x，yYxdy = 丄寸；：/(x, yly (b) 丫-型區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于北軸的直線穿過區(qū)域部，與邊界的交點(diǎn)最多兩個(gè).從而可以由左右交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù)X = x(x)和被積區(qū)域的集合表示：)= (x,y)|cy Wd,

5、X(x)U2(x)；二重積分化為二次積分：2. 在極坐標(biāo)下：幾何直觀表現(xiàn)：從極點(diǎn)出發(fā)引射線線穿過區(qū)域部，與邊界的交點(diǎn) 最多兩個(gè).從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲線確定兩個(gè)函數(shù) r = /iW和2(&)(具體如圓域,扇形域和環(huán)域等)；被積區(qū)域的集合表示：D = (r,0|6；2,/(0r)|0620r);直角坐標(biāo)下的二重積分化為極坐標(biāo)下的二重積分，并表示成相應(yīng) 的二次積分：JJ / (x, ylxdy = JJ /(rcos &, rsin O)rdrdO = J dOf (rcos 0, rsin 0rdr .DI) a 注：具體處理題目時(shí)，首要要能夠選擇適當(dāng)?shù)奶幚矸椒?，并能?實(shí)現(xiàn)不同積分次

6、序及直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化.3. 二重積分的換元法：z = /(x,刃在閉區(qū)域上連續(xù)，設(shè)有變換Jx = X(M,V)T, (w, v) e Dy = y(w,v)將D映射到上，又x(“,v),)，(*)關(guān)于，卩有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),(S)小則有口 /(九 ylxdy = jj /(x(w, v), y(“, v)J ludv . D/三重積分的計(jì)算 三重積分具體的處理過程類似于二重積分，也分為三個(gè)步驟來進(jìn) 行處理.1. 在直角坐標(biāo)下：空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過區(qū)域部，與邊 界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè).從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定 兩個(gè)函數(shù)z = z，i (x, y)和乙=石

7、(兀,刃,并把區(qū)域投影到xoy面上從而確定 (x,y)的圍，記為幾；被積區(qū)域的集合表示：V = (x, z)|(X, y) g Dxy, (x, y)z z2 (x, ,y), 進(jìn)一步地，Q可以表示成X型區(qū)域或Y型區(qū)域；三重積分化為三次積分：JJJ/(x,y,z)dV = JJ如)y,z)dz (所謂“二套一”的形式)=f/?dx 1 *dy /(x,y,z)dz.(久為 X型)Jd Jvj(x) Jz(x.y)=f *：J： /(x, y, z)dz( 為 Y型)注：類似于以上的處理方法，把空間區(qū)域投影到y(tǒng)oz面或zox 面又可把三重積分轉(zhuǎn)化成不同次序的三次積分.這時(shí)區(qū)域幾何直觀表 現(xiàn)，區(qū)域

8、的集合表示，以及新的三次積分次序如何？可見，三重積分 最多可以對(duì)應(yīng)六種積分次序.這里還有所謂一套二的處理方法，區(qū)域 的直觀表現(xiàn)為：平行于款少面的截面面積容易求得.作為被積函數(shù)最 好與匕y無關(guān)，即可表示為為/(z)則區(qū)域表示為：v = (x,y,z)|cWd,(x,y)w)J，其中2表示垂直于2軸的截面.此時(shí)，三重積分化為：JjJ f(x,y,z)JV = 6/zj| f(zdxdy (所謂一套二”的形式) vC D.其中Sq表示截面2的面積，它是關(guān)于Z的函數(shù).2. 在柱坐標(biāo)下：柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：x = rcosOy = rsin,(O r s,0 S 0 2,-oo z 乜)空間區(qū)域幾何

9、直觀表現(xiàn)：用平行于z軸的直線穿過區(qū)域部，與邊 界曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定 兩個(gè)函數(shù)z =石(x,y)和z =石(x,y)空間區(qū)域在xoy面上的投影區(qū)域易于 用參數(shù)廠和&表示圍(具體如圓域，扇形域和環(huán)域等)，并且Z = Z|(X,刃 和z = 也易于進(jìn)一步表示z成關(guān)于匚0較簡單的函數(shù)形式，比如 X2 + V2可以看成一個(gè)整體(具體如上、下表面為旋轉(zhuǎn)面的情形)；被積區(qū)域的集合表示：V = (r,9)|9, 992,/(0r/;(9),zI(r)z2(r,9);直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng) 的三次積分：3. 在球坐標(biāo)下:球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的

10、關(guān)系:x = rsincosy = r sin sin & ,(0 r ,O0 2/r, 0(p7r)空間區(qū)域幾何直觀表現(xiàn)：從原點(diǎn)出發(fā)引射線穿過區(qū)域部，與邊界 曲面的交點(diǎn)最多兩個(gè)，從而可以由下面和上面交點(diǎn)位于的曲面確定兩 個(gè)球坐標(biāo)函數(shù)r = /i（r）和心處“）；（具體如球心在原點(diǎn)或Z軸上的 球形域）被積區(qū)域的集合表示：V = G*,&,0）|q eeiyq （pp2,rOy（p）rr2（e,（p）;直角坐標(biāo)下的三重積分化為極坐標(biāo)下的三重積分，并表示成相應(yīng) 的三次積分： 廠sin 0cos &”sin 0sin rcos sin(pdrd3d(p/(rsin0cos&,rsin0sinO.rc

11、os0)r2 sin(pclr .如球心在原點(diǎn)半徑為的球形域下:4.三重積分的換元法:sin (pcos 0. r sin sin r cos 0)r2 sin (pdr .u = f（W）在閉區(qū)域y上連續(xù)，設(shè)有變換X = x(u. V, IV)y =vv)eVzZ = z(“,w)將 映射到卩上，又兀（仏從w）,y（u*,w）和z（u,yw）關(guān)于U, U和爐有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則有III/(圮 ” zZ = Jjjy(u,幾 w), Z(mu)jdudvdw . VV三.重積分的幾何和物理應(yīng)用1.幾何應(yīng)用a）二重積分求平面區(qū)域面積；b）二重積分求曲頂柱體體積；c）三重積分求空間區(qū)域的體積；

12、d）二重積分求空間曲面的面積.求曲面的面積A,對(duì)應(yīng)著曲面方程為直角坐標(biāo)系下的二元函數(shù)形 式和參數(shù)方程形式分別有以下公式:1)曲面方程 S：z = f(x, y), (x, y) e DDX = x(u.v)f/)曲面參數(shù)方程 S: y = y(w,v),v) e DuvZ = z(tt.v)A = JJ|(兀丿 + yJ + 祁)x (xYi + yj + zvk)dudv = 口 兀% % v注：這里的公式都對(duì)函數(shù)有相應(yīng)的微分條件.2.物理應(yīng)用包括求質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和引力等應(yīng)用，積分是研究物理問 題的重要工具.建立物理量對(duì)應(yīng)的積分公式的一般方法是從基本的物 理原理出發(fā)，找到所求量對(duì)應(yīng)的微元，也就是