2003年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、臺(tái)側(cè)=(c+c)l密啟用前2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）本試卷分第卷（選擇題）第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘。（第卷選擇題共50分）注意事項(xiàng)：.1答第卷前，考生務(wù)必將自己姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上.3考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式：三角函數(shù)的積化和差公式：正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式11sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)s221cosasinb=sin(a+b)-si

2、n(a-b)其中c、c分別表示上、下底面21cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b)2周長，l表示斜高或母線長.2314sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b)球體的體積公式：v=pr3，其中球r表示球的半徑.一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1設(shè)集合a=x|x2-10,b=x|logx0|,則ab等于2（）ax|x1cx|x0dx|x1212設(shè)y=40.9,y=80.44,y=()-1.5，則123（）ay3y1y2by2y1y3cy1y2y3dy1y3y23“cos2a=-3”是“a=kp+5,kz

3、”的p212（）4已知，是平面，m，n是直線.下列命題中不正確的是a必要非充分條件b充分非必要條件c充分必要條件d既非充分又非必要條件（）a若mn，m，則nc若m，m，則b若m，=n，則mnd若m，mb，則5極坐標(biāo)方程r2cos2q-2rcosq=1表示的曲線是（）a圓b橢圓c拋物線d雙曲線6若zc且|z+2-2i|=1,則|z-2-2i|的最小值是（）a2b3c4d5a2pbp32c233dp7如果圓臺(tái)的母線與底面成60角，那么這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面面積的比為（）1p28從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有a24

4、種b18種c12種d6種（）9若數(shù)列a的通項(xiàng)公式是ann=3-n+2-n+(-1)n(3-n-2-n)2,n=1,2,l，則nlim(a+a+l+a)等于12n（）24b1724d25a1124c1924a=號(hào)0,第i號(hào)同學(xué)不同意j號(hào)同學(xué)當(dāng).選10某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人.全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號(hào)分別為1，2，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”，令.1,第i號(hào)同學(xué)同意j第同學(xué)當(dāng)選ij第其中i=1，2，k，且j=1，2，k，則同時(shí)同意第1，2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（）aa+a1112+l+a+a+a+l+a1k21222kba+a1121+l+a+a+a

5、+l+a1k1222k2caa1112+aa+l+aa2122k1k2daa1121+aa+aa12221k2k第卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.11函數(shù)f(x)=lg(1+x2),g(x)=0x+2,x1.是偶函數(shù).12以雙曲線x2y2-=1右頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程是16913如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個(gè)平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是.14將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應(yīng)為.三、解答題：本大

6、題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.（）求f(x)的最小正周期；2，求f(x)的最大值、最小值.（）若x0,p.16（本小題滿分13分）a已知數(shù)列n是等差數(shù)列，且a1=2,a+a+a=12.123a（）求數(shù)列n的通項(xiàng)公式；b（）令b=axn(xr).求數(shù)列nn17（本小題滿分15分）n前n項(xiàng)和的公式.如圖，正三棱柱abca1b1c1的底面邊長的3，側(cè)棱aa1=點(diǎn)，且bd=bc.（）求證：直線bc1/平面ab1d；（）求二面角b1adb的大?。唬ǎ┣笕忮Fc1abb1的體積.332,d

7、是cb延長線上一如圖，橢圓的長軸a1a2與x軸平行，短軸b1b2在y軸上，中心為m（0，r）br0).18（本小題滿分15分）（）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；（）直線y=kx交橢圓于兩點(diǎn)c(x,y),d(x,y)(y0);直線y=kx交橢圓于兩1112222點(diǎn)g(x,y),h(x,y)(y0).求證：33444kxxkxx112=234；x+xx+x1234（）對(duì)于（）中的c，d，g，h，設(shè)ch交x軸于點(diǎn)p，gd交x軸于點(diǎn)q.求證：|op|=|oq|.（證明過程不考慮ch或gd垂直于x軸的情形）19（本小題滿分14分）有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于a，b，c三點(diǎn)處，且ab=ac=a，b

8、c=2b.今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在bc的垂直平分線上的p點(diǎn)處，（建立坐標(biāo)系如圖）（）若希望點(diǎn)p到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點(diǎn)p應(yīng)位于何處？（）若希望點(diǎn)p到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)p應(yīng)位于何處？|f(u)-f(v)|b0,記h=a2-b2,設(shè)p的坐標(biāo)為（0，y，則p至三鎮(zhèn)距離的f(y)=2(b2+y2)+(h-y)2=3(y-)2+h2+2b2.所以，當(dāng)y=平方和為h233h3時(shí)，函數(shù)f(y)取得最小值.答:點(diǎn)p的坐標(biāo)是(0,13a2-b2).（）解法一：p至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為g(x)=b2+y2,當(dāng)b2+y2|h-y|,|h-y|,當(dāng)b2+y2|h-y|.由b2+y2|h-

9、y|解得yh2-b2h2-b2,記y*=,于是2h2h當(dāng)yn=0,即hb時(shí)，b2+y2在y*,+)上是增函b2+y2,當(dāng)yy*,g(y)=|h-y|,當(dāng)yy*.h2-b22h數(shù)，而|h-y|在(-,y*上是減函數(shù).由此可知,當(dāng)y=yn時(shí),函數(shù)g(y)取得最小值.當(dāng)2hhb時(shí),函數(shù)y*=b.可見,當(dāng)y=0時(shí),函數(shù)g(y)取得最小值.答hb時(shí),點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,a-2b);當(dāng)hb時(shí),點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,0),其中h=a2-b2,當(dāng)222a2-b2b2+y2,當(dāng)b2+y2|h-y|,解法二:p至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為g(y)=|h-y|,當(dāng)b2+y2|h-y|.由b2+y2|h-y|解得y,記y*=h2-b

10、22hh2-b22h,于是當(dāng)當(dāng)b2+y2,當(dāng)yy*,g(y)=|h-y|,當(dāng)yy*.y*0,即hb時(shí),z=g(y)的圖象如圖(a)，因此，當(dāng)y=y*時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值.yy*,即hb時(shí),z=g(y)的圖象如圖(b)，因此，當(dāng)y=0時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值.答：當(dāng)hb時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,a2-2b2）);當(dāng)hb，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（0，0，其中h=a2-b2.2a2-b2解法三：因?yàn)樵赼bc中，ab=ac=a,所以abc的外心m在射線ao上，其坐標(biāo)為(0,a2-2b2)，2a2-b2且am=bm=cm.當(dāng)p在射線ma上，記p為p1；當(dāng)p在射線ma的反向延長線上，記p為p2，若h）=a2-b

11、2b（如圖1，則點(diǎn)m在線段ao上，這時(shí)p到a、b、c三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為p1c和p2a，且p1cmc，p2ama，所以點(diǎn)p與外心m重合時(shí)，p到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.若h=a2-b2b(如圖2),則點(diǎn)m在線段ao外,這時(shí)p到a、b、c三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為p1c或p2a，且p1coc，p2aoc，所以點(diǎn)p與bc邊中點(diǎn)o重合時(shí)，p到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小為b.答：當(dāng)h=a2-b2b時(shí)，點(diǎn)p的位置在abc的外心2a2-b2)；當(dāng)(0,a2-2b2h=a2-b21時(shí),uv0,不妨設(shè)u0且v-u1,所以，|f(u)-f(v)|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)1時(shí)，有uv0且1|u-v|=|u|+|v|2.所以|f(u)-f(v)|f(u)|+|f(v)|1-|u|+1-|v|=2-(|u|+|v)1.綜上可知，對(duì)任意的u,v-1,1,都有|f(u)-f(v)|1.（）答：滿足所述條件的函數(shù)不存在.理由如下，假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件，則由|1f(u)-f(v)|