高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修2-3(2021年最新整理)

1、高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教a版選修2-3高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教a版選修2-3 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教a版選修2-3）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來(lái)便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺(jué)得對(duì)您有幫

2、助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教a版選修2-3的全部?jī)?nèi)容。1623。2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念2能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題3掌握方差的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法,會(huì)利用公式求它們的方差知識(shí)鏈接1某省運(yùn)會(huì)即將舉行,在最后一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次,命中環(huán)數(shù)如下:甲運(yùn)動(dòng)員:7，8，6，8，6，5，8，10,7，5；乙運(yùn)動(dòng)員:9，5，7，8，7，6，8，6,7，7.觀察上述數(shù)據(jù)，兩

3、個(gè)人射擊的平均成績(jī)是一樣的那么，是否兩個(gè)人就沒(méi)有水平差距呢？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？答甲乙7，利用樣本的方差公式s2(x1)2（x2）2(xn）2，求得：s2.2，s1。2。ss，乙成績(jī)較穩(wěn)定,選乙參加比賽2隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何不同？答樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個(gè)隨機(jī)變量，而隨機(jī)變量的方差是通過(guò)大量試驗(yàn)得出的，刻畫了隨機(jī)變量x與其均值e(x）的平均偏離程度，因此它是一個(gè)常量而非變量預(yù)習(xí)導(dǎo)引1離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為xx1x2xixnpp1p2pipn則（xie(x)）2描述了xi（i1，2，n)相對(duì)于均值e(x）的偏

4、離程度，而d(x) （xie（x)）2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量x與其均值e(x）的平均偏離程度我們稱d（x)為隨機(jī)變量x的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差2離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)(1）設(shè)a，b為常數(shù),則d（axb)a2d(x);(2）d（c）0(其中c為常數(shù)）3服從兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差（1）若x服從兩點(diǎn)分布，則d（x)p（1p）（其中p為成功概率）;(2）若xb（n，p)，則d（x）np(1p）要點(diǎn)一求離散型隨機(jī)變量的方差例1甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，。

5、（1）求第三次由乙投籃的概率；(2）在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求的分布列、期望及標(biāo)準(zhǔn)差解（1）p。（2)p（0）；p(1).p(2)。故的分布列為012pe()012,d()(0)2（1)2（2）2，。規(guī)律方法1.求離散型隨機(jī)變量x的方差的基本步驟：利用公式d(x) (xie（x）)2pi求值2對(duì)于變量間存在關(guān)系的方差,在求解過(guò)程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如d(ab）a2d（），這樣處理既避免了求隨機(jī)變量ab的分布列，又避免了繁雜的計(jì)算,簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程跟蹤演練1已知x的分布列為x101p求：（1）e(x)，d（x);(2）設(shè)y2x3,求e(y)，d(y）解（1)e(x)101，d（x)(1

6、)2（0)2（1)2。(2)e(y）2e(x）3，d（y)4d(x）。要點(diǎn)二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差例2為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹(shù)、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的,成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望e（)為3，標(biāo)準(zhǔn)差為.（1)求n和p的值，并寫出的分布列；（2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種求需要補(bǔ)種沙柳的概率解由題意知，服從二項(xiàng)分布b（n,p)，p（k）cpk(1p)nk，k0，1，n.(1）由e（）np3，d（）np(1p)，得1p,從而n6，p.的分布列為0123456p(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件a，則p（a)p

7、(3),得p(a），或p（a）1p(3)1.所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為。規(guī)律方法方差的性質(zhì):d（ab）a2d(）若服從兩點(diǎn)分布，則d(）p(1p）若b(n，p），則d（）np(1p）跟蹤演練2設(shè)一次試驗(yàn)的成功率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，求當(dāng)p為何值時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大?并求其最大值解設(shè)成功次數(shù)為隨機(jī)變量x，由題意可知xb（100，p），則。因?yàn)閐(x）100p(1p)100p100p2，把上式看作一個(gè)以p為自變量的二次函數(shù)，易知當(dāng)p時(shí)，d(x）有最大值為25.所以的最大值為5。即當(dāng)p時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，最大值為5.要點(diǎn)三均值與方差的綜合應(yīng)用例3袋中有20個(gè)大小相同的球，其

8、中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè)(n1，2，3，4)現(xiàn)從袋中任取一球表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的分布列、期望和方差;（2)若ab，e()1,d（）11,試求a，b的值解(1）的分布列為01234p則e(）012341。5。d（)(01。5）2（11。5）2（21。5）2（31。5）2(41.5）22.75。（2）由d()a2d（），得a22。7511，得a2.又e()ae()b，所以當(dāng)a2時(shí),由121.5b，得b2；當(dāng)a2時(shí)，由121。5b，得b4。所以或即為所求規(guī)律方法解均值與方差的綜合問(wèn)題時(shí)的注意事項(xiàng)（1)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差是三個(gè)緊密聯(lián)系的有機(jī)統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在

9、一起考查，其解題的關(guān)鍵是求出分布列;(2)在求分布列時(shí)，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算概率，并注意結(jié)合分布列的性質(zhì)，簡(jiǎn)化概率計(jì)算；(3)在計(jì)算均值與方差時(shí)要注意運(yùn)用均值和方差的性質(zhì)以避免一些復(fù)雜的計(jì)算若隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布可直接利用對(duì)應(yīng)公式求解跟蹤演練3從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量x表示所選3人中女生的人數(shù)(1)求x的分布列;(2)求x的均值與方差;(3）求“所選3人中女生人數(shù)x1”的概率解(1)x可能的取值為0，1，2.p(xk）,k0，1，2。x的分布列x012p(2）由（1），x的均值與方差為e(x)0121.d（x）(0

10、1)2（11）2（12）2。(3)由(1），“所選3人中女生人數(shù)x1”的概率為p(x1)p(x0）p（x1).1設(shè)隨機(jī)變量x的方差d（x)1，則d（2x1）的值為()a2 b3 c4 d5答案c解析d（2x1）4d(x）414。2同時(shí)拋擲兩枚均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為，則d（)等于()a. b。 c。 d5答案a解析b(10，)，d（）10(1）。3已知離散型隨機(jī)變量x的可能取值為x11，x20,x31，且e（x）0。1,d(x）0.89，則對(duì)應(yīng)x1，x2,x3的概率p1，p2，p3分別為_(kāi)，_，_。答案0。40。10.5解析由題意知，p1p30.1，121p10。01p

11、20。81p30。89。又p1p2p31，解得p10.4,p20。1，p30。5。4有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資x1/元1 2001 4001 6001 800獲得相應(yīng)職位的概率p10。40.30.20.1乙單位不同職位月工資x2/元1 0001 4001 8002 200獲得相應(yīng)職位的概率p20。40。30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得e（x1）1 2000。41 4000。31 6000。21 8000.11 400，d(x1）（1 2001 400）20.4(1 4001 400)20。

12、3（1 6001 400）20。2(1 8001 400）20.140 000；e(x2）1 0000.41 4000.31 8000.22 2000。11 400,d(x2）(1 0001 400)20.4(1 4001 400)20.3（1 8001 400)20.22 2001 400）20。1160 000.因?yàn)閑(x1）e（x2)，d(x1)d(x2）,所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中，乙單位不同職位的工資相對(duì)分散這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些,就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位1隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取

13、值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度，以及隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度方差d（x）或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量x偏離均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏離的程度越大，說(shuō)明x的取值越分散2求離散型隨機(jī)變量x的均值、方差的步驟（1）理解x的意義，寫出x的所有可能的取值；(2)求x取每一個(gè)值的概率；(3）寫出隨機(jī)變量x的分布列；(4）由均值、方差的定義求e(x），d(x）特別地，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算e（x)和d（x）.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1下列說(shuō)法中，正確的是()a離散型隨機(jī)變量的均值e(x)反映了x取值的概率平均值b離散型隨機(jī)變量的方差d(x）反映了x取值的平均水平c離散型

14、隨機(jī)變量的均值e（x)反映了x取值的平均水平d離散型隨機(jī)變量的方差d(x）反映了x取值的概率平均值答案c2設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有a和，且p（a)m，令隨機(jī)變量則的方差d（)等于()am b2m（1m)cm(m1) dm（1m)答案d解析隨機(jī)變量的分布列為01p1mme(）0（1m）1mm。d(）（0m）2(1m）(1m）2mm（1m）故選d。3已知隨機(jī)變量x的分布列為p(xk)，k1，2，3，則d(3x5)等于()a6 b9 c3 d4答案a解析e（x）1232，d(x）（12)2（22)2(32)2，d(3x5）9d(x）96.4已知xb（n，p）,e(x）8,d（x)1.6,則n與p的值分

15、別是()a100和0.08 b20和0。4c10和0.2 d10和0.8答案d解析因隨機(jī)變量xb（n，p)，則e(x)np8，d（x）np(1p)1.6,所以n10，p0。8。5若d()1，則d（d(）_。答案1解析d(d(）d(1）d（)1.6隨機(jī)變量的分布列如下：101pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若e（），則d(）_。答案解析由題意得2bac，abc1，ca，以上三式聯(lián)立解得a，b，c，故d().7拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，用x表示擲出偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)（1）若拋擲一次,求e（x）和d（x）；(2)若拋擲10次，求e(x)和d(x)解（1)x服從兩點(diǎn)分布x01pe（x)p，d(x）p（1p）

16、(1)。(2)由題意知,xb(10，)e（x)np105，d(x）np(1p）10(1）.二、能力提升8已知隨機(jī)變量的分布列如下表，則的標(biāo)準(zhǔn)差為(）135p0。40.1xa.3.56 b. c3.2 d.答案d解析依題意:0.40.1x1，x0.5，e()10.430。150。53.2，d(）(13。2）20。4（33。2）20.1(53.2）20。53.56，.9設(shè)隨機(jī)變量的分布列為p(k）c()k(）nk,k0,1，2，,n，且e(）24，則d()的值為()a8 b12 c. d16答案a解析由題意可知b(n，)，e(）n24.n36.d（)36（1)8。10若隨機(jī)事件a在1次試驗(yàn)中發(fā)生的

17、概率為p（0p1)，用隨機(jī)變量x表示a在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則方差d(x）的最大值為_(kāi)答案解析隨機(jī)變量x的所有可能取值為0,1,由題意,得x的分布列為x01p1pp從而e(x）0（1p）1pp，d(x)(0p）2(1p)（1p)2ppp2.d(x）pp2(p2p)(p）2，因?yàn)?p1，所以當(dāng)p時(shí),d(x)取得最大值，最大值為。11有10張卡片,其中8張標(biāo)有數(shù)字2，2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為，求e（）和d（）解這3張卡片上的數(shù)字之和為，這一變量的可能取值為6，9，12。6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2，則p(6).9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2,一張標(biāo)有5,則

18、p（9)。12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5，則p(12）。的分布列為6912pe()69127。8.d（）(67。8）2(97.8)2(127.8)23。36.12有甲、乙兩名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計(jì)，他們?cè)诮獯鹜环輸?shù)學(xué)試卷時(shí),各自的成績(jī)?cè)?0分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分?jǐn)?shù)x8090100概率p0。20.60。2乙:分?jǐn)?shù)y8090100概率p0。40。20。4試分析兩名學(xué)生的成績(jī)水平解e（x）800.2900。61000.290，d（x）(8090)20.2（9090)20.6（10090）20.240，e(y)800.4900.21000。490，d（y)(8090)20。4(9090)20。2（10090)20.480,e(x)e(y),d(x）d（y)，甲生與乙生的成績(jī)均值一樣，甲的方差較小，因此甲生的學(xué)習(xí)成績(jī)較穩(wěn)定三、探究與創(chuàng)新13(2013北京理)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市,并停留2天(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2）設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)，求x的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由圖判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天的