2019年湖北省高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

1、1212018-2019 學(xué)年湖北省襄陽四中高三（上）9 月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。1（5 分）已知集合a = y | y =log x ， x 1 ， b = y | y =( )2x ， x 1 ，則 ab =()a y | 0 y 2b y | 0 y 1c y |12y 0c $x r ， x 2 0 0+x +1 0 0d x r ， x2+x +104（5 分）曲線 y =x 3 -3 x 2 +1 在點 (1,-1) 處的切線方程為 ( )a y =3x -4b y =-3x +2c y =-4x +3d y =4 x -

2、55（5 分）下列說法正確的是 ( )a“x 1 ”是“ log ( x +1) 0， -pj0)的最小正周期是 p ，將 f ( x)圖象向左平移p3個單位長度后，所得的函數(shù)圖象過點 p(0,1)，則函數(shù) f ( x)()a在區(qū)間 -c在區(qū)間 -p6p3，p3p6上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減b在區(qū)間 -d在區(qū)間 -p6p3，p3p6上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增7（5 分）已知定義在 r 上的奇函數(shù) f ( x)，滿足 f ( x -4) =-f ( x)且在區(qū)間 0 ， 2上是增函數(shù)，則 ( )第 1 頁（共 25 頁），-a)，p (a f (-25) f (80) f (11)c f (11)f (80

3、) f (-25)b f (80) f (11) f (-25)d f ( -25) f (11)0)的導(dǎo)函數(shù)為 f (x)，若 xf (x) + f ( x) =ex，且 f（ 1 ） =e，則 ()a f ( x)的最小值為 eb f ( x)的最大值為 ec f ( x)的最小值為1ed f ( x)的最大值為1e10（5 分）設(shè)1 1 1 ( ) b ( )2 2 2a1，那么 ( )a aaabbab aabaabc abaabad abba0 ，第 2 頁（共 25 頁）p11nnnw 0 ， | j|0 ， y 0 則 x、 y 使得 x 2 +ky 2 1 恒成立的 k 的最大

4、值為 ( )a 2 3b 2 + 5c 2 +2 3d 7 +1二、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）13（5 分） sin63 cos18+cos63 cos108 =14（5 分） 1( x2+ 1 -x2)dx =-115（5分）對于任意實數(shù) x，符號 x表示 x的整數(shù)部分，即 x是不超過 x的最大整數(shù)，例如 2 =2 ； 2.1 =2 ； -2.2 =-3，函數(shù) y = x 叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應(yīng)用則函數(shù) f ( x) = xx， x -2， 2 值域為 16（5分）如圖，正方形 abcd 的邊長為 1，p 、q 分別為 ab 、da

5、 上的點，當(dāng) pcq =45時，求 dapq 的周長三、解答題：共 70 分17（10 分）設(shè) s 是數(shù)列 a 的前 nn n項和， a =1 ， s 2 =a ( s - )2， ( n2)（1）求 a 的通項；n（2）設(shè) b = nsn2 n +1，求數(shù)列 b 的前 n n項和 t n18（12 分）如圖， d 是直角 dabc 斜邊 bc 上一點， ac = 3 dc （1）若 dac =30，求角 b 的大??；（2）若 bd =2dc ，且 ad =3 2 ，求 dc 的長第 3 頁（共 25 頁）1 1 319（12 分）如圖，四棱錐 p -abcd 中，底面 abcd 為菱形， b

6、ad =60，q 是 ad 的中 點（1） 若 pa =pd ，求證：平面 pqb 平面 pad ；（2） 若平面 apd 平面 abcd ，且 pa =pd =ad = 2 ，在線段 pc 上是否存在點 m ，使二面角 m -bq -c 的大小為 60若存在，試確定點 m 的位置，若不存在，請說明理由20（12 分）某科研小組對熱能與電能的轉(zhuǎn)化和燃煤每分鐘的添加量之間的關(guān)系進(jìn)行科學(xué)研究，在對某發(fā)電廠 a 號機(jī)組的跟蹤調(diào)研中發(fā)現(xiàn)：若該機(jī)組每分鐘燃煤的添加量設(shè)計標(biāo)準(zhǔn) 為 a 噸，在正常狀態(tài)下，通過自動傳輸帶給該機(jī)組每分鐘添加燃煤 x 噸，理論上可以共生產(chǎn)電能 x3 -x +10 千瓦，而由于實際

7、添加量 x與設(shè)計標(biāo)準(zhǔn) a存在誤差，實際上會導(dǎo)致電能損耗 2 | x -a |千瓦，最后實際產(chǎn)生的電能為 f ( x)千瓦（1）試寫出 f ( x)關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng) 0 a 1 時，求 f ( x)的極大值（2）該科研小組決定調(diào)整設(shè)計標(biāo)準(zhǔn) a ，控制添加量 x ，實現(xiàn)對最終生產(chǎn)的電能 f ( x)的有效控制的科學(xué)實驗，若某次實驗中 a ,1), x , 2 2 2（單位：噸），用電高峰期間，要求該廠的輸出電能為每分鐘不得低于 9 千瓦，否則供電不正常試問這次實驗?zāi)芊駥崿F(xiàn)這個 目標(biāo)？請說明理由21（12 分）在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，動點 s 到點 f (1,0)的距離與到直線 x =

8、2 的距離的比值為22第 4 頁（共 25 頁）( i )求動點 s 的軌跡 e 的方程；( ii )過點 f 作與 x軸不垂直的直線 l 交軌跡 e 于 p ， q 兩點，在線段 of 上是否存在點m ( m, 0) ，使得 ( mp +mq) pq =0 ？若存在，求出 m 由的取值范圍；若不存在，請說明理( x -a ) 222（12 分）已知函數(shù) f ( x ) = （其中 a 為常數(shù)）lnx（1）當(dāng) a =1 時，對于任意大于 1 的實數(shù) x，恒有 f ( x)k 成立，求實數(shù) k 的取值范圍；（2）當(dāng)0 a 1 時，設(shè)函數(shù) f ( x)的 3 個極值點為 x ，x ，x ，且x x

9、 x 1 32e第 5 頁（共 25 頁）112018-2019 學(xué)年湖北省襄陽四中高三（上） 9 月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。1 （5 分）已知集合 a = y | y =log x2， x 1 ， b = y | y =( )2x ， x 1 ，則 ab =()a y | 0 y 2b y | 0 y 1c y |12y 12 a =(0, +)，1b = y | y =( )21 b =(0, ) 21 ab =(0, )2x ， x 1，故選： a 【點評】本題考查了交集運算以及函數(shù)的至于問題，要注意集合中的自變

10、量的取值范圍，確 定各自的值域2（5 分） sin585 的值為 ( )a -22b22c -32d32【考點】 ge ：誘導(dǎo)公式【分析】由 sin(a+2kp) =sin a、 sin(a+p)=-sina及特殊角三角函數(shù)值解之【解答】解： sin585 =sin(585 -360 )=sin 225 =sin(45 +180)=-sin45 =- 故選： a 【點評】本題考查誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值第 6 頁（共 25 頁）22，23（5 分）命題“ $x r ， x 2 +x +1 0 ”的否定是 (0 0 0)a x r ， x 2 +x +1 0b x r ， x2+x +1 0c

11、 $x r ， x 2 0 0+x +1 0 0d x r ， x2+x +10【考點】 2 j ：命題的否定 【專題】1：常規(guī)題型【分析】特稱命題“ $x r ， x 20 0+x +1 0 ”的否定是：把 $改為 ，其它條件不變，然后 0否定結(jié)論，變?yōu)橐粋€全稱命題即“ x r ， x2+x +1 0 ”【解答】解：特稱命題“ $x r ， x 2 +x +1 0 ”的否定是全稱命題：0 0 0“ x r ， x +x +1 0 ”故選： b 【點評】寫含量詞的命題的否定時，只要將“任意”與“存在”互換，同時將結(jié)論否定即可， 屬基礎(chǔ)題4（5 分）曲線 y =x3-3 x2+1 在點 (1,-

12、1)處的切線方程為 ( )a y =3x -4b y =-3x +2c y =-4x +3d y =4 x -5【考點】62：導(dǎo)數(shù)及其幾何意義【分析】首先判斷該點是否在曲線上，若在曲線上，對該點處求導(dǎo)就是切線斜率，利用點 斜式求出切線方程；若不在曲線上，想法求出切點坐標(biāo)或斜率【解答】解： 點 (1,-1)在曲線上， y=3x2-6 x ， y |x =1=-3，即切線斜率為 -3 利用點斜式，切線方程為 y +1 =-3(x -1)，即 y =-3x +2 故選： b 【點評】考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，該題比較容易 5（5 分）下列說法正確的是 ( )a“x 1 ”是“ log ( x +1) 1

13、”的充分不必要條件2b sin x +1sin x2( x kp, k z )第 7 頁（共 25 頁）1 11 1c命題“若 a b ，則 ac2 bc2”的逆命題為真命題d命題“若 a +b 5 ，則 a 2 ，或 b 3 ”為真命題【考點】 2 k ：命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法； 5 l ：簡易邏輯 【分析】 a 由利用充要條件判斷即可；b 反例：取 sin x =-，則 sin x + 0 100 sin x，判斷正誤即可c 寫出逆命題，判斷真假即可；d 寫出命題“若 a +b 5 ，則 a 2 ，或 b 3 ”的逆否命題判斷真假即可【解答】

14、 解：對于 a “x 1 ”不能得到“ log (x +1) 1”，反之成立，所以“ x 1 ”是2“ log ( x +1) 1 ”的必要不充分條件，所以 a 不正確；2對于 b ， x kp(k z )，取 sin x =-，則 sin x + b ，所以逆命題是假命題，所以 c 不正確；對于 d ，命題“若 a +b 5 ，則 a 2 ，或 b 3 ”，命題的逆否命題為：若 a =2 且 b =3 ，則 a +b =5 ，逆否命題是真命題，所以原命題是真命題；故選： d 【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔 題6（5 分）已知函數(shù) f ( x)

15、 =sin(wx +j)(j0， -pj0，-pj0)的最小正周期是2pw=p，w=2，將 f ( x) =sin(2x +j)的圖象向左平移p3個單位長度后，可得 y =sin(2 x +2 p3+j)的圖象，再根據(jù)所的圖象過點 p ( 0， 1) ， sin(2p p p +j)=13 6 6在區(qū)間 -p p p p p p p 2 x - - 6 3 6 2 2 6 3上單單調(diào)遞增，故 a 錯誤，且 b 正確在區(qū)間 -p3，p6上， 2 x -p6 -5p p p p 6 6 3 6上沒有單調(diào)性，故排除 c 、 d ，故選： b 【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性， y =a sin(

16、wx +j) 單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的7（5 分）已知定義在 r 上的奇函數(shù) f ( x) 數(shù)，則 ( )，滿足 f ( x -4) =-f ( x)且在區(qū)間 0 ， 2 上是增函a f (-25) f (80) f (11)c f (11)f (80) f (-25)b f (80) f (11) f (-25)d f ( -25) f (11) f (80)【考點】 3n ：奇偶性與單調(diào)性的綜合【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：f ( x -4) =-f ( x)， f ( x -8) =-f ( x -4

17、) = f ( x)即函數(shù)的周期是 8，則 f (11)= f（3） =-f (3 -4) =-f (-1) = f（1），f (80) = f (0)，f (-25) = f (-1)，f ( x)是奇函數(shù)，且在區(qū)間 0 ， 2上是增函數(shù)，第 9 頁（共 25 頁） f ( x)在區(qū)間 -2 ， 2 上是增函數(shù)， f (-1) f (0) f（1），即 f (-25) f (80) f (11)，故選： a 【點評】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化 是解決本題的關(guān)鍵8（5 分）如圖，正方形 abcd 的頂點 a(0,2 2) ， b (2 2， 0)

18、，頂點 c ， d 位于第一象限，直線 l : x =t (0剟t2) 將正方形 abcd 分成兩部分：記位于直線 l : x =t (0剟t2) 左側(cè)陰影部分的面積為 f (t )，則函數(shù) s = f (t )的圖象大致是 ( )abcd【考點】 5c ：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；34：方程思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】對 t分以下兩種情況討論：當(dāng) 0剟t22時，其陰影部分是一個等腰直角三角形，直角邊為 2 t；當(dāng)22t 2 時，其陰影部分的面積可用正方形的面積減去剩下的部分面積，剩下的部分是一個邊長為的等腰直角三角形根據(jù)分析寫出解析式

19、即可寫出答案第 10 頁（共 25 頁） 2【解答】解：當(dāng) 0剟t22時，其陰影部分是一個等腰直角三角形，直角邊為 2 t， f (t ) =12( 2t )2=t2 ；當(dāng)22t 2 時，其陰影部分的面積可用正方形的面積減去剩下的部分面積，剩下的部分是一個邊長為 2( 2 -t ) 的等腰直角三角形， f (t ) =12 -12 2( 2 -t )2=-t2+2 2t -1 2t2 ,0 剟t 2 f (t ) =-t2 +2 2t -1, 0)的導(dǎo)函數(shù)為 f (x)，若 xf (x) + f ( x) =ex，且 f（ 1 ） =e ，則 ()a f ( x)的最小值為 eb f ( x)

20、的最大值為 ec f ( x)的最小值為1ed f ( x)的最大值為1e【考點】 6b ：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】設(shè) g ( x) =xf ( x)，求導(dǎo)，得到 f ( x ) =e xx，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出【解答】解：設(shè) g ( x) =xf ( x)， g (x) =xf (x) + f ( x ) =e g ( x ) =e x ，x， xf ( x ) =ex， f ( x) =e xx，第 11 頁（共 25 頁）1，-a)，p ( f (x) =ex( x -1)x 2，令 f (

21、x) =0 ，解得 x =1 ，當(dāng) f (x) 0 ，時，解得 x 1 ，函數(shù) f ( x)在 (1,+)單調(diào)遞增，當(dāng) f (x) 0 ，時，解得 0 x 1 ，函數(shù) f ( x)在 (0,1) 單調(diào)遞減， f ( x )= fmin（1） =e，故選： a 【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù) f ( x) 屬于中檔題的表達(dá)式，10（5 分）設(shè)1 1 1 ( ) b ( )2 2 2a1，那么 ( )a aaabbab aabaabc abaabad abbaaa【考點】 4b ：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點【專題】11：計算題【分析】 先由條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

22、，得到 0 a b 1 ，再由問題抽象出指數(shù)函數(shù)和 冪函數(shù)利用其單調(diào)性求解【解答】解：1 1 1( ) b ( ) a 1 2 2 2且 y =( ) 2x 在 r 上是減函數(shù) 0 a b 1 指數(shù)函數(shù) y =ax在 r 上是減函數(shù) abaa 冪函數(shù) y =x a 在 r 上是增函數(shù) aa b a abaa0 ，第 12 頁（共 25 頁）p， -a)， p (3p p 2p又由 x (0, )，則 2 x + (，3pw 0 ， | j|0 ， w 0 ， | j|0 ， y 0 則 x、 y 使得 x2+ky21 恒成立的 k 的最大值為 ( )a 2 3b 2 + 5c 2 +2 3d

23、7 +1【考點】 3r ：函數(shù)恒成立問題第 13 頁（共 25 頁）【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想； 4g ：演繹法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】把 x2+ky2 1 恒成立，轉(zhuǎn)化為 x3+2 y3( x -y )( x2+ky2) 恒成立，展開后利用基本不等式得到 2 k +2k ，然后求解關(guān)于 k 的不等式得其最值 【解答】解：若 x 2 +ky 2 1 恒成立，則 x3+2 y3( x -y )( x2+ky2) =x3+kxy2-yx2-ky3，則 ( k +2) y3+yx2kxy2，k +2 0 ， ( k +2) y3+yx22 k +2 xy2 2 k +2k ， 4(

24、 k +2)k 2 ，解得： 2 -2 3剟k 2 +2 3 實數(shù) k 的最大值為 2 +2 3 ，故選： c 【點評】本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式的應(yīng)用，是 中檔題二、填空題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）13（5 分） sin63 cos18 +cos63 cos108 =22【考點】 gp ：兩角和與差的三角函數(shù)【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想； 4r ：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值【分析】利用誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡求值得解 【解答】解： sin63 cos18+cos63 cos108 =sin

25、63 cos18+cos63cos(90+18)=sin63 cos18-cos63 sin18 =sin(63-18)=sin45 =22故答案為：22第 14 頁（共 25 頁）11 1 12 p【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在解三角 形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題14（5 分） ( x2 + 1 -x 2 )dx =-1p2+23【考點】67：定積分、微積分基本定理【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】首先利用定積分的運算法則將所求轉(zhuǎn)化為和的積分，結(jié)合幾何意義，然后分別求原 函數(shù)代入求值【解答】 解： (

26、x 2 + 1 -x 2 )dx =2x2dx +2-1 0 01 -x2 dx =2 1 1 1 2 p x3 | +2 p12= + 3 0 4 3 2故答案為： + 3 2【點評】本題考查了定積分的計算；關(guān)鍵是正確做出被積函數(shù)的原函數(shù)以及利用定積分的幾 何意義求定積分15（5分）對于任意實數(shù) x ，符號x 表示 x 的整數(shù)部分，即 x 是不超過 x的最大整數(shù)，例如 2 =2 ； 2.1 =2 ； -2.2 =-3，函數(shù) y = x 叫做“取整函數(shù)”，它在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實踐中有廣泛的應(yīng)用則函數(shù) f ( x) = x x， x -2， 2 值域為0 ，1，2，3， 4 【考點】34：函數(shù)的值

27、域【專題】33：函數(shù)思想； 4r ：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】通過討論 x 的范圍，求出各個區(qū)間上的 f ( x)的范圍，取并集即可【解答】解：當(dāng) x -2， -1)時， x =-2， -2x (2， 4，f ( x) =-2x 2 ，3， 4，當(dāng) x -1， 0)時， x =-1，-x(0， 1，f ( x) = -x 0 ， 1，當(dāng) x 0， 1)時， x =0 ，f ( x) =0 ，當(dāng) x 1， 2)時， x =1 ，f ( x) = x =1 ，第 15 頁（共 25 頁）當(dāng) x =2 時， f ( x) =4 =4 ，故函數(shù)的值域是 0 ，1，2，3， 4，故答案為：

28、0 ，1，2，3， 4 【點評】本題考查了求函數(shù)的值域問題，考查分類討論思想，對應(yīng)思想，是一道中檔題16（5分）如圖，正方形 abcd 的邊長為 1，p 、q 分別為 ab 、da 上的點，當(dāng) pcq =45時，求 dapq 的周長 2【考點】 ht ：三角形中的幾何計算【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；56：三角函數(shù)的求值【分析】 設(shè) bcp =a，則 dcq =45-a， (0a45)，在直角三角形 bcp ，直角三角形 dcq 中，求得 pb ， qd ，可得 ap ， aq ，運用勾股定理可得 pq ，再由兩角和差 的正切公式，化簡整理，即可得到所求值【解答】解：設(shè) bcp =a，則 dcq =45-a，(0a60，adc =120，b =60；（2）設(shè) dc =x ，則 bd =2 x ， bc =3 x ， ac = 3 x ，第 18 頁（共 25 頁）在 rtdabc 中， sin b =6 cos b = ， 3ac 3=bc 3， ab = 6 x ，在 dabd 中，由余弦定理得： (3 2)2=6 x2+4 x