微積分教案課程

1、微積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用微分模型一、光纖收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)模型某地有多家有線電視公司。 有線電視公司 A 的光纖收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 14 元/(月。戶)， 目前它擁有 5 萬(wàn)個(gè)用戶。某位投資顧問(wèn)預(yù)測(cè)，若公司每月降低 1 元的光纖收費(fèi)， 則可以增加 5000 個(gè)新用戶。1) 請(qǐng)根據(jù)這一預(yù)測(cè)，為公司制定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，以獲得最大收益2) 如果公司每月每戶降低一元的光纖收費(fèi)， 只增加 1000個(gè)新用戶， 問(wèn)該如何 制定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)？一、模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明1、假設(shè)該地的用戶數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 5 萬(wàn)2、假設(shè)只考慮公司降價(jià)而不考慮提價(jià)的情況3、若公司每月每戶降低 1 元的光纖收費(fèi)，可增加 a 個(gè)新用戶，公司每月每戶 降低X的光纖收費(fèi)，公司的月

2、收益為P(x) 0二、模型建立P( x) 每月每戶交納的費(fèi)用 總用戶數(shù) ，即三、模型求解(1) 當(dāng) a 5000時(shí)， P(x)=700000+20000x-5000x 2，求導(dǎo)得令 P ( x) 0 ，得駐點(diǎn) x 2 0根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的分析知道：當(dāng)公司定價(jià)為 12 元時(shí)，公司擁有 60000 用戶， 此時(shí)公司每月的最大收益為 72萬(wàn)元0(2) 1)當(dāng) a 1000時(shí)，p(x) 700000 36000x 1000x2，求導(dǎo)得 令 P（x） 0 ，得駐點(diǎn) x 18。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題知： x 0 ，故與實(shí)際情況不吻合二、存貯模型（一） 不允許缺貨的存貯模型1. 問(wèn)題的提出 存貯問(wèn)題廣泛存在于工廠的原材料

3、貯備，商店的商品貯備、 水庫(kù)蓄水等現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中這里的關(guān)鍵是存貯量的大小，存貯量過(guò)大則需付出過(guò)高 的存貯費(fèi)用；存貯量不足又可能導(dǎo)致不能滿足需求從而造成損失因此，確定一 個(gè)最優(yōu)的貯存策略是具有重要意義的2. 模型的構(gòu)建下面假定需求量是確定的，并且不允許缺貨現(xiàn)象出現(xiàn)，如鋼廠訂購(gòu)廢鋼供煉 鋼就是這種情況，因?yàn)殇撋a(chǎn)對(duì)原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料將造成 巨大的損失在不允許缺貨的情況下我們可以考慮兩種費(fèi)用：訂貨時(shí)需付的一次性訂貨費(fèi)， 貨物的貯存費(fèi)建立模型的目的是在單位時(shí)間的需求量為常數(shù)的情況下制定最優(yōu) 存貯策略，即多長(zhǎng)時(shí)間訂一次貨，每次訂多少貨，使總費(fèi)用最小模型假設(shè)：（ 1）每天貨物需求量為 r 噸

4、（2）每隔T天訂一次貨（稱T為訂貨周期），訂貨量是Q噸，當(dāng)貯存量降到零 時(shí)新一批訂貨恰好到達(dá)（3） 每次訂貨費(fèi)為Ci （與訂貨量無(wú)關(guān)，也與貨物本身的價(jià)格無(wú)關(guān)），每天每噸 貨物貯存費(fèi)為 C2 模型建立：訂貨周期T、訂貨量Q與每天需求量r之間應(yīng)滿足關(guān)系Q rT=-C2QT .2圖 10-1(2)這樣會(huì)導(dǎo)致訂貨周期越短越省錢的錯(cuò)誤結(jié)論，而應(yīng)以每天的平均費(fèi)用(記作C(T)為目標(biāo)函數(shù)，于是C(T)亞=C1 .T T 2(3)訂貨后貯存量由Q均勻地下降，設(shè)任意時(shí)刻的貯存量為q(t),則q(t)是t的線性遞減函數(shù)，其變化規(guī)律如圖10 - 1 .考慮一個(gè)訂貨周期的總費(fèi)用 C(T):訂貨費(fèi)G與貯存費(fèi).貯存費(fèi)=每

5、天每噸貨物的貯存費(fèi)平均每天的存貯噸數(shù)天數(shù)C2于是得_1C(T) C1 2 C2QT，12C(T) = GCzrT .2顯然，不能以一個(gè)周期內(nèi)的費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù),制定最優(yōu)存貯策略歸結(jié)為求訂貨周期T使C(T)最小.3.模型求解利用微分法，令警0,得烹知0，解得最佳進(jìn)貨周期(4)將Q rT代入上式得最佳進(jìn)貨量(5)式(8)就是經(jīng)濟(jì)理論中著名的 經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式4. 模型應(yīng)用訂貨批量公式(5)表明，訂貨費(fèi)Ci越高，需求量越大，則訂貨批量Q應(yīng)越大; 貯存費(fèi)C2越高，則訂貨批量Q應(yīng)越小.這些結(jié)論都可以由常識(shí)得到，不過(guò)公式在 定量上表明的平方根關(guān)系卻是憑常識(shí)無(wú)法得到的例 1 一鞋店平均每天賣出 110 雙鞋，

6、批發(fā)手續(xù)為每次 200 元，每雙鞋每?jī)?chǔ) 存一天的費(fèi)用為 0.01 元，該商店多少天進(jìn)一次貨最好，進(jìn)貨量為多少？解 本題中 r =110， C1 200, C2 0.01.于是得最佳進(jìn)貨量最佳進(jìn)貨天數(shù)即 20 天進(jìn)貨 2098 雙最好(二) 允許缺貨的存貯模型1 . 問(wèn)題的提出 考察一個(gè)商店經(jīng)理制定最優(yōu)訂貨周期和最優(yōu)訂貨批量時(shí)碰到 的問(wèn)題.設(shè)市場(chǎng)對(duì)某種商品的需求是確定的和已知的，市場(chǎng)對(duì)某種商品的需求仍 為每天 r 噸，但允許缺貨. 缺貨時(shí)因失去銷售機(jī)會(huì)而使利潤(rùn)減少， 減少的利潤(rùn)可以 視為因缺貨而付出的費(fèi)用，稱缺貨損失費(fèi).于是這個(gè)模型的第(1)、第( 3)條假設(shè)與不允許缺貨時(shí)相同，而第( 2)條改

7、為(2)每隔T天訂貨Q噸，允許缺貨，每天每噸貨物的缺貨損失費(fèi)為C3 .2 . 模型的構(gòu)建缺貨時(shí)貯存量q(t)視作負(fù)值，則q(t)的圖形如圖 102.貨物在 t T1 時(shí)售完，但每天需求量仍為 r ，在 T1,T 這段時(shí)間內(nèi)缺貨，可視存貯量 q(t) 為負(fù)值，于是在t T時(shí)下一次訂貨量Q 一次到達(dá)，且Q rT1 .圖10-2_T1一個(gè)訂貨周期內(nèi)總費(fèi)用C :訂貨費(fèi)Ci，貯存費(fèi)C2 0 q(t)dt，缺貨損失費(fèi).貯存費(fèi)每天每噸貨物的存貯費(fèi)從第一天到第Ti天總共存貯的貨物噸數(shù)的和Ti=C2 0 q(t)dt1C2QT1 Ttq(t) dt = C3 TQ(1 T7TitC2 0 Q(1 )dt2dt

8、(Ti缺貨損失費(fèi)=C3 TT1T)T=C3 t (rT1 rt dt (Q rT1)1 2=2。3仃 TJ2 于是一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用為:2C2QT11 2尹TJ2 3 模型的求解模型的目標(biāo)函數(shù)仍為每天的平均費(fèi)用C(T,Q)，將T1Q代入上式，得rC(Q)=C1C1 丹心孰T Q)2求T、Q使得C(T,Q)最小.先求出二元函數(shù)C(T,Q)關(guān)于T、Q的偏導(dǎo)數(shù)-C -CV Q然后令0,-C0,T Q最后解出最優(yōu)值T*與Q*，即得最佳進(jìn)貨周期T *2C1 (C2C3)Q2C3最佳進(jìn)貨批量(6)Q*LCC1；)(7)4.模型的應(yīng)用式（6）、（7）表明，缺貨損失費(fèi)C3越大，訂貨周期應(yīng)越短，訂貨批量越大.當(dāng)

9、C3很大（即缺貨損失變得很大）時(shí)，C3 ，有簣，則允許缺貨的最佳周期和最佳批量與不允許缺貨的最佳定貨周期和最佳批量有如下關(guān)系2C1 (C2 C3)rC 2C3:2rC1C3C2 (C2 C3)2rCi.C2允許缺貨的情形又回到了不允許缺貨的情形，顯然這是符合實(shí)際的.例2有一酒類批發(fā)商，以每天150瓶的速度供應(yīng)零售商，存儲(chǔ)費(fèi)用為每天每瓶0.05元，根據(jù)合同如缺貨，每瓶每天必須向零售商賠償 0.2元。若批發(fā)商一 次的費(fèi)用為300元，試確定批發(fā)商的最佳批發(fā)周期、進(jìn)貨量。解 因 r 150,C20.05,C30.2,C1300,于是得最佳批發(fā)周期為最佳進(jìn)貨量三、生豬的出售時(shí)機(jī)1. 問(wèn)題飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4

10、元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80千克重的生豬體重增加2公斤。市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克 8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低 0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出 售。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。2 分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí) 機(jī)，使利潤(rùn)最大建模及求解估計(jì)r=2 g=0.1若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為80 X 8=640 （元），t天出售，生豬體重w=80+rt銷售收入R=pw出售價(jià)格 p=8-gt資金投入C=4t利潤(rùn) Q二R-Cpw C Q(t) (8 gt)(80 rt) 4t求t 使Q(t)最大t 竺一40g2 =10rgQ(10)=660 640 10天后出售，

11、可多得利潤(rùn) 20元四、森林救火當(dāng)森林失火時(shí)，消防站應(yīng)派多少消防隊(duì)員去滅火呢？派的隊(duì)員越多，火災(zāi)損失越小，但救援幵支越大如何確定滅火隊(duì)員的人數(shù)，才能使總費(fèi)用(火災(zāi)損失 +救援幵支)最?。拷? 問(wèn)題分析(1) 火災(zāi)損失與森林被燒面積有關(guān)，而被燒面積又與從起火到火滅的時(shí)間有關(guān)，而這時(shí)間又與消防隊(duì)員人數(shù)有關(guān)(2) 救援幵支由兩部分構(gòu)成：滅火劑的消耗與消防隊(duì)員酬金(與人數(shù)和時(shí)間有關(guān))；運(yùn)輸費(fèi)(與人數(shù)有關(guān))(3) 在無(wú)風(fēng)的情況下，可認(rèn)為火勢(shì)以失火點(diǎn)為圓心，均勻向四周蔓延.半徑與時(shí)間成正比，從而被燒面積應(yīng)與時(shí)間的平方成正比2 .模型假設(shè)(1)火災(zāi)損失與森林被燒面積成正比記幵始失火的時(shí)刻為t 0，幵始滅火的時(shí)

12、刻為t t1，火被完全撲滅的時(shí)刻為t t2.設(shè)在時(shí)刻t森林被燒面積為Bt，G表示單位面積被燒的損失，則總損失為G B(t2 ).(2)被燒面積與時(shí)間關(guān)系dBdB表示單位時(shí)間被燒面積(燃燒速度：m2 /min),當(dāng)t = 0與t t?時(shí)一為零, dtdt當(dāng)t t1時(shí)不最大O,tl與ti,t2上，記 |t t! b.由前面分析，B t與t2成正比,故不妨設(shè)在區(qū)間 dt都是t的線性函數(shù).在0, ti上，斜率為 0， 稱為火勢(shì)蔓dt延速度，在tit上，斜率為 x 0,其中x為消防隊(duì)員人數(shù).為隊(duì)員的平均滅火速度.（3）救援幵支設(shè)x為消防隊(duì)員人數(shù)，滅火劑消耗與消防隊(duì)員酬金每單位時(shí)間的費(fèi)用為C2,運(yùn)輸費(fèi)平均

13、每人費(fèi)用為C3,則救援幵支為C3X C2X（t2 ti）.3.模型建立與求解圖 14-3由假設(shè)2,罟與t的關(guān)系如圖14-3所示.利用定積分的牛頓-萊布尼茲公式，?森林被被燒的最大面積為1I總費(fèi)用 C 2。心2 C?X（t2 tj C3X .此式中t2與X是變量，其余為常數(shù).？由圖可知但t2與X是密切相關(guān)的，t2bxt2 t1從而，總費(fèi)用可化為一元函數(shù):令爭(zhēng)0，解得唯一駐點(diǎn)1 G b2 2C2 b珂2C3駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).4 .模型評(píng)價(jià)從結(jié)果看，x，這表示為了能把火撲滅，派出的消防隊(duì)員人數(shù)要大一，這保證-X 0，使燃燒速度趨于零.而x的第一項(xiàng)1 C12C2 b是綜合考慮了Y 2C3各種因素，使總

14、費(fèi)用最低積分模型一、捕魚(yú)成本模型1 問(wèn)題的提出在魚(yú)塘中捕魚(yú)時(shí)，魚(yú)越少捕魚(yú)越困難，捕撈的成本也就越高，一般可以假設(shè)每 公斤魚(yú)的捕撈成本與當(dāng)時(shí)池塘中的魚(yú)量成反比。假設(shè)當(dāng)魚(yú)塘中有x公斤魚(yú)時(shí)，每公斤的捕撈成本是2000元。已知魚(yú)塘中現(xiàn)有10 x魚(yú)10000公斤，問(wèn)從魚(yú)塘中捕撈 6000公斤魚(yú)需花費(fèi)多少成本？2. 模型的構(gòu)成與求解根據(jù)題意，當(dāng)塘中魚(yú)量為x公斤時(shí)，捕撈成本函數(shù)為假設(shè)塘中現(xiàn)有魚(yú)量為 A公斤，需要捕撈的魚(yú)量為T公斤。當(dāng)我們已經(jīng)捕撈了 x公 斤魚(yú)之后，塘中所剩的魚(yú)量為A x公斤，此時(shí)再捕撈x公斤魚(yú)所需的成本為因此，捕撈T公斤魚(yú)所需成本為將已知數(shù)據(jù)A 10000kg,T6000kg代入，可計(jì)算出總捕撈成本為順便可以計(jì)算出每公斤魚(yú)的平均捕撈成本二、投資決策模型某公司投資1860萬(wàn)元建成一條生產(chǎn)線.投產(chǎn)后，其追加成本和追加收入（分 別是成本函數(shù)和收入函數(shù)對(duì)時(shí)間 t的變化率，類似于邊際函數(shù)概念）分別為2 2G（t） 5 2t3 （百萬(wàn)元/年），（t） 17八（百萬(wàn)元/年）.試確定該生產(chǎn)線使用多長(zhǎng) 時(shí)間停產(chǎn)則可使公司獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解 容易看出，追加成本 G（t）是單調(diào)增加函數(shù)而追加收入（t）是單調(diào)遞減函數(shù)，這說(shuō)明生產(chǎn)費(fèi)用在逐年增加，