材料力學(xué)梁的彎曲問題

1、第十五章 梁的彎曲問題,15.1 工程實(shí)際中的彎曲問題,梁在垂直于其軸線的荷載作用下要變彎，其軸線由原來的直線變成曲線，這種變形叫做彎曲變形。產(chǎn)生彎曲變形的構(gòu)件稱為受彎構(gòu)件。,一、平面彎曲的基本概念,工程實(shí)例 建筑工程中的各類梁、火車軸、水壓作用下的水槽壁等。,火車軸 廠房吊車梁,平面彎曲：梁的軸線在變形后仍保持在同一平面(荷載作用面)內(nèi)，即梁的軸線成為一條平面曲線。,對(duì)稱（平面）彎曲 (Planar bending),對(duì)稱平面,梁的荷載和支座反力,一、梁的荷載 1 集中力：作用在微小局部上的橫向力； 2 集中力偶：作用在通過梁軸線的平面（或與該面平行的平面）內(nèi)的力偶。,3 分布荷載：沿梁長(zhǎng)連

2、續(xù)分布的橫向力。,荷載集度：,用q(x)表示,分布荷載的大小,均布荷載,非均布荷載,二、梁的支座及支座反力 支座形式 1 固定鉸約束,2 可動(dòng)鉸約束,3 固定支座,計(jì)算簡(jiǎn)圖 確定梁的“計(jì)算簡(jiǎn)圖” 包含： 以梁的軸線經(jīng)代替實(shí)際的梁； 以簡(jiǎn)化后的支座代替實(shí)際的支座； 實(shí)際支承理想支承 以簡(jiǎn)化后的荷載代替實(shí)際的荷載。,三、梁的分類 按支座情況 簡(jiǎn)支梁：一端固定鉸，一端可動(dòng)鉸,外伸梁：一端或兩端向外伸出的簡(jiǎn)支梁,懸臂梁：一端固定支座，另一端自由,按支座反力的求解方法 靜定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；,超靜定梁：僅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。,按梁的橫截面 等截面梁：橫截面沿梁的長(zhǎng)度沒有變

3、化； 變截面梁：橫截面沿梁的長(zhǎng)度有變化。,汽車鋼板彈簧,魚腹梁,15.2 梁的內(nèi)力及其求法,一、求梁的內(nèi)力的方法截面法,內(nèi)力的形式及名稱,剪力,彎矩,N或kN,Nm或kNm,內(nèi)力的求法,?,內(nèi)力的正負(fù)號(hào),剪力,彎矩,左上右下為正,左下右上為負(fù),向上凹變形為正,向上凸變形為負(fù),例1 圖示簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)集中力作用，已知F1=12kN，F(xiàn)2=10kN，試計(jì)算指定截面1-1、2-2的內(nèi)力。,解：(1) 求支座反力,(2)求1-1截面上的內(nèi)力,(3)求2-2截面上的內(nèi)力,結(jié)論： 1 梁的任一橫截面上的剪力在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力（包括斜向外力的豎向分力、約束反力）的代數(shù)和；且截面左邊向上

4、（右邊向下）的外力使截面產(chǎn)生正號(hào)的剪力。 2 梁的任一橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）所有豎向力對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和（包括外力偶、約束反力偶）；且截面左邊順時(shí)針（右邊逆時(shí)針）的力矩使截面產(chǎn)生正號(hào)的彎矩。,例2 試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論寫出圖示梁1-1截面上的剪力和彎矩的表達(dá)式。,例3 求圖示簡(jiǎn)支梁1-1與2-2截面的剪力和彎矩。,解：(1)求支座反力,(2)求1-1截面的剪力FQ1、彎矩M1 根據(jù)1-1截面左側(cè)的外力計(jì)算可得：,根據(jù)1-1截面右側(cè)的外力計(jì)算可得,可見計(jì)算結(jié)果完全相同。,(3) 求2-2截面的剪力FQ2、彎矩M2 根據(jù)2-2截面右側(cè)的外力計(jì)算可得：,15.3 內(nèi)力圖剪力圖

5、和彎矩圖,為了形象地看到內(nèi)力的變化規(guī)律，通常將剪力、彎矩沿梁長(zhǎng)的變化情況用圖形表示出來，這種表示剪力和彎矩變化規(guī)律的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。,具體作法是： 剪力方程： 彎矩方程：,例4 求作圖示受均布荷載作用的簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。 解：(1)求支座反力,(2)列出剪力方程和彎矩方程 取距左端為x處的任一截面，此截面的剪力和彎矩表達(dá)式分別為:,(3)畫剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值,FQ圖,ql/2,ql/2,ql2/8,M圖,例5 簡(jiǎn)支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，試作出其剪力圖和彎矩圖。,分析： 1-1、2-2截面上的剪力,結(jié)論：當(dāng)梁中間受力較復(fù)雜時(shí)，剪力方程和彎矩

6、方程不可能用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)式來表達(dá)，必須分段 列出其表達(dá)式。,分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)為界,(分段點(diǎn)如何確定？),（ ? ）,解：(1)求支座反力,(2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和彎矩方程 AC段,CD段,DB段,(3)畫剪力圖、彎矩圖，標(biāo)出特征值,FQ圖,M圖,結(jié)論： 當(dāng)梁上荷載有變化時(shí)，剪力方程和彎矩方程不可能用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)式來表達(dá)，必須分段列出其表達(dá)式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)為界。 剪力圖和彎矩圖一般是連續(xù)的 。在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與集中力的方向相同；在有集中力偶作用的

7、地方彎矩圖發(fā)生突變，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向?yàn)椤绊樝履嫔稀薄?15.4 彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系 一、彎矩、剪力、荷載集度之間的關(guān)系,二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律,q, 0,FQ,直線段,FQ,= 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,= 0, 0,M,M,結(jié)論（規(guī)律）：,(2)當(dāng)梁的支承情況對(duì)稱，荷載反對(duì)稱時(shí)，則彎矩圖永為反對(duì)稱圖形，剪力圖永為對(duì)稱圖形。,(1)當(dāng)梁的支承情況對(duì)稱，荷載也對(duì)稱時(shí)，則彎矩圖永為對(duì)稱圖形，剪力圖永為反對(duì)稱圖形；,例7 圖示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷載的分布集度為q，試?yán)梦⒎株P(guān)系作梁的剪力圖、彎矩圖。,解：(1)求支

8、座反力,三、畫剪力圖、彎矩圖的簡(jiǎn)便方法,(2)作剪力圖,(3)作彎矩圖,7/6qa,11/6qa,=121/72qa2,FQ圖,M圖,Me,Mmax,2m,2m,2m,P=3kN,M1=2kNm,M2=6kNm,q=1kN/m,2m,B,A,4,6,6,6,8,3,2,2,2,FQ (kN),M(kNm),例8 作梁的內(nèi)力圖,結(jié)論：q、F、Me共同作用時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力等于q、F、Me分別單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力之和。 因此，當(dāng)梁上有幾種（或幾個(gè)）荷載作用時(shí)，可以先分別計(jì)算每種（或每個(gè)）荷載單獨(dú)作用時(shí)的梁的反力和內(nèi)力，然后將這些分別計(jì)算所得的結(jié)果代數(shù)相加得梁的反力和內(nèi)力。這種方法稱為疊加法。,15.5

9、疊加法作剪力圖和彎矩圖,線彈性，位移可以疊加,非線性彈性，位移不可以疊加,疊加原理成立的前提條件： （1）小變形 （2）材料滿足虎克定理（線性本構(gòu)關(guān)系）,當(dāng)變形為微小時(shí)，可采用變形前尺寸進(jìn)行計(jì)算。,1、疊加原理：當(dāng)梁在各項(xiàng)荷載作用下某一橫截面上的彎矩等于各荷載單獨(dú)作用下同一橫截面上的彎矩的代數(shù)和。,2、區(qū)段疊加法作彎矩圖：,設(shè)簡(jiǎn)支梁同時(shí)承受跨間荷載q與端部力矩MA、MB的作用。其彎矩圖可由簡(jiǎn)支梁受端部力矩作用下的直線彎矩圖與跨間荷載單獨(dú)作用下簡(jiǎn)支梁彎矩圖疊加得到。即：,彎曲內(nèi)力,B,MA,A,q,MB,l,B,1 q(x)=0,結(jié)論:彎矩圖為一水平直線 。,結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜

10、率的絕對(duì)值等于FS一斜直線 （）。,結(jié)論:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為斜率的絕對(duì)值等于FS一斜直線 （）。,2 q(x)0,結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的 一斜直線（） ，彎矩圖為拋物線（開口向下）。,3 q(x)0,結(jié)論:剪力圖為斜率等于q的 一斜直線（） ，彎矩圖為拋物線（開口向上）。,4 集中力F作用處,結(jié)論:在集中力作用處剪力圖發(fā)生突變(彎矩不變)，突變的數(shù)值等于集中力的大小，方向與剪力的方向相同。,5 集中力偶Me作用處,結(jié)論:在有集中力偶作用的地方彎矩圖發(fā)生突變(剪力不變)，突變的數(shù)值等于集中力偶的大小，方向?yàn)椤绊樝履嫔稀薄?例9 試判斷圖示各題的FQ、M圖是否正確，如有錯(cuò)請(qǐng)指出并加以

11、改正。,由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為剪切彎曲(或橫力彎曲)。 在梁的CD段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲。,15.6 梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算,1、剪切彎曲,2、純彎曲,內(nèi)力：彎矩M 正應(yīng)力,由以上定義可得：,1.純彎曲實(shí)驗(yàn),橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng),（一）梁的純彎曲實(shí)驗(yàn),縱向?qū)ΨQ面,縱向線變?yōu)橥膱A弧曲線，且上縮下伸,橫向線與縱向線變形后仍正交。,橫截面高度不變。,純彎曲梁上正應(yīng)力的確定,（2）縱向纖維間無擠壓、只受軸向拉伸和壓縮。,（1）平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，并垂直于變形

12、后梁的軸線。,（橫截面上只有正應(yīng)力）,2. 根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的兩點(diǎn)假設(shè)：,3.兩個(gè)概念,中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。 中性軸：中性層與橫截面的交線。,M 橫截面上的彎矩 y 所計(jì)算點(diǎn)到中性軸的距離 Iz 截面對(duì)中性軸的慣性矩,4. 正應(yīng)力公式,不僅適用于純彎曲，也適用于剪力彎曲； 適用于所有截面。,5. 應(yīng)力正負(fù)號(hào)確定,M為正時(shí),中性軸上部截面受壓 下部截面受拉; M為負(fù)時(shí),中性軸上部截面受拉 下部截面受壓. 在拉區(qū)為正,壓區(qū)為負(fù),最大正應(yīng)力,危險(xiǎn)截面: 最大彎矩所在截面 Mma 危險(xiǎn)點(diǎn)：距中性

13、軸最遠(yuǎn)邊緣點(diǎn) ymax,令,則,一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；,5. 最大正應(yīng)力,Wz 抗彎截面模量,1、正應(yīng)力強(qiáng)度條件：,矩形和工字形截面梁正應(yīng)力 max=M/Wz Wz = Iz /(h/2) 特點(diǎn)： max+= max-,T形截面梁的正應(yīng)力 max+ =M/W1 W1 = Iz /y1 max- =M/W2 W2 = Iz /y2 特點(diǎn)： max+ max-,15.7 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算,2、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算,、校核強(qiáng)度：,例10 受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示試求： （1）11截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力 （2）此截面上的最大正應(yīng)力

14、 （3）全梁的最大正應(yīng)力 （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。,解：畫M圖求截面彎矩,求應(yīng)力,求曲率半徑,解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力,例11 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于G點(diǎn)，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。并說明T字梁怎樣放置更合理？,畫危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn),x,-4kNm,2.5kNm,M,校核強(qiáng)度,T字頭在上面合理。,彎曲應(yīng)力,x,-4kNm,2.5kNm,M,一、 矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,圖a

15、,圖b,Sz*為面積A*對(duì)橫截面中性軸的靜矩.,15.8 梁橫截面上的切應(yīng)力及強(qiáng)度,z,y,式中: -所求切應(yīng)力面上的剪力.,IZ-整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩.,Sz*-過所求應(yīng)力點(diǎn)橫線以外部分面積對(duì)中性軸的靜矩.,b-所求應(yīng)力點(diǎn)處截面寬度.,y,A*,yc*,t方向：與橫截面上剪力方向相同 ； t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植?，沿高度h分布為拋物線。 中性軸上有最大切應(yīng)力. 為平均切應(yīng)力的1.5倍。,其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力,工字形截面梁 剪應(yīng)力分布假設(shè)仍然適用,橫截面上剪力； Iz整個(gè)工字型截面對(duì)中性軸的慣性矩； b1 腹板寬度； Sz*陰影線部分面積A*對(duì)中性軸的靜矩 最大剪應(yīng)力：,Iz圓形截

16、面對(duì)中性軸的慣性矩； b 截面中性軸處的寬度； Sz*中性軸一側(cè)半個(gè)圓形截面對(duì)中性軸的靜矩,圓形截面梁 最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上:,圓環(huán)截面梁,1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：,最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。,2、切應(yīng)力強(qiáng)度條件：,3、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況：,鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核切應(yīng)力。,梁的跨度較短，M 較小，而FS 較大時(shí)，要校核切應(yīng)力。,各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。,注意事項(xiàng),設(shè)計(jì)梁時(shí)必須同時(shí)滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件。 對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件是主要的，一般按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)，不需要校

17、核剪應(yīng)力強(qiáng)度，只有在個(gè)別特殊情況下才需要校核剪應(yīng)力強(qiáng)度。,彎曲強(qiáng)度計(jì)算的步驟,畫出梁的剪力圖和彎矩圖, 確定|FS|max和|M|max及其所在截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面。注意兩者不一定在同一截面； 根據(jù)截面上的應(yīng)力分布規(guī)律，判斷危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，分別計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力，即max和max（二者不一定在同一截面，更不在同一點(diǎn)）； 對(duì)max和max分別采用正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，即滿足 max , max ,解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力,例12 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7MPa，=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。,A

18、,B,L=3m,qL2/8,M,求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度,應(yīng)力之比,作彎矩圖，尋找需要校核的截面,分析：,非對(duì)稱截面，要尋找中性軸位置,例13,（2）求截面對(duì)中性軸z的慣性矩,（1）求截面形心,解：,（4）B截面校核,（3）作彎矩圖,-4kNm,2.5kNm,M,（5）C截面要不要校核？,（4）B截面校核,（3）作彎矩圖,-4kNm,2.5kNm,M,彎曲正應(yīng)力是控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素，故彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件：,要提高梁的承載承力，應(yīng)從兩方面考慮： 一方面是合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的值； 另一方面是采用合理的截面形狀，以提高W的數(shù)值，充分利用材料的性能。,15.9 提高梁強(qiáng)度的措施,

19、一、合理安排梁的受力情況 合理布置梁的支座,左邊梁的最大彎矩值是右邊梁的最大彎矩值的5 倍 。因此，右邊梁上的載荷還要提高四倍，才能使得其最大彎矩值同左邊的相同。因而，右邊梁的承載能力要比左邊高四倍，因此說來，合理的布置梁的支座，對(duì)提高梁的彎曲強(qiáng)度是十分必要的。,門式起重機(jī)的大梁,適當(dāng)增加梁的支座,合理的布置載荷。 比較下列兩種布置方法：,改善荷載的布置情況,二、提高抗彎截面系數(shù),選擇合理的截面形狀,在確定梁的截面形狀與尺寸時(shí)，除應(yīng)考慮彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件外，還應(yīng)考慮彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。因此，在設(shè)計(jì)工字形、箱形、T字形與槽型等薄壁截面梁時(shí)，也應(yīng)注意使腹板具有一定的厚度。,合理選擇截面形狀，盡量增

20、大Wz值,單位面積抗彎截面模量,常見截面的Wz/A值比較:,從表中可以看出，材料遠(yuǎn)離中性軸的截面較經(jīng)濟(jì)合理。,工程中的吊車梁、橋梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的樓板采用空心圓孔板，道理就在于此。,從彎曲強(qiáng)度考慮，比較合理的截面形狀，是使用較小的截面面積，卻能獲得較大抗彎能力的截面。在一般截面中，抗彎能力與截面高度的平方成正比。因此，當(dāng)截面面積一定時(shí)，宜將較多材料放置在遠(yuǎn)離中性軸的部位。因此，面積相同時(shí)：,工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形； 環(huán)形優(yōu)于圓形。,同時(shí)應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到最大值。,根據(jù)材料特性選擇截面,對(duì)于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對(duì)稱的截面,拉壓性

21、能不一的材料如鑄鐵，宜用不對(duì)稱的截面，使中 性軸靠近拉的一側(cè),變截面梁,1) b不變，中間h加大,Pl/4,2) h 不變，中間b隨x與彎矩M（x）同規(guī)律變化，如上圖,3) b 不變，中間h 隨x與彎矩 M（x）規(guī)律變化，如 右圖搖臂鉆床的搖臂。,等強(qiáng)度梁,階梯梁,漁腹梁,（工藝上簡(jiǎn)化）,雨蓬梁板,實(shí)例：,預(yù)應(yīng)力鋼筋,以上的措施僅僅考慮提高梁的強(qiáng)度方面，事實(shí)上，梁的合理使用應(yīng)綜合考慮強(qiáng)度與剛度、穩(wěn)定性等問題。這正是工程構(gòu)件力學(xué)分析的核心內(nèi)容。,彎曲構(gòu)件除了要滿足強(qiáng)度條件外, 還需滿足剛度條件。如車床主軸的過大彎曲引起加工零件的誤差。,15.10 梁的變形概念,但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件

22、具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。,例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。,撓度(w): 任一橫截面形心(即軸線上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線位移, 稱為該截面的撓度。,取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 梁變形前的軸線為x軸, 橫截面的鉛垂對(duì)稱軸為y軸, xy平面為縱向?qū)ΨQ平面。,撓度,w,y,轉(zhuǎn)角,轉(zhuǎn)角(): 橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度（或角位移）, 稱為該截面的轉(zhuǎn)角 ，也即撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角。,y,撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定：,撓度：在圖示坐標(biāo)系中, 向下為正, 向上為負(fù)。,轉(zhuǎn)角： 順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)。,y,x,A,B,C,C1,F,必

23、須注意: 梁軸線彎曲成曲線后, 在x軸方向也有線位移。,y,x,A,B,C,C1,F,但在小變形情況下, 梁的撓度遠(yuǎn)小于跨長(zhǎng), 這種位移與撓度相比很小，可略去不計(jì)。,撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。,撓曲線方程:,式中, x為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo), w為該點(diǎn)的撓度。,y,x,A,B,C,C1,F,撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：,y,x,A,B,C,C1,F,此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程。,再積分一次, 得撓度方程,上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程,若為等截面直梁, 其抗彎剛度EI為一常量, 上式可改寫成,式中：積分常數(shù)C1、C2可通過梁撓曲線的邊界條件和變形的連續(xù)性條件來確定。,15.11 梁的變形計(jì)

24、算 積分法求彎曲變形,簡(jiǎn)支梁,懸臂梁,邊界條件,wA0,wB0,wA0,qA0,連續(xù)性條件,在撓曲線的任一點(diǎn)上, 有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。如:,不可能,不可能,c,討論： 適用于小變形、線彈性、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲 用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移 積分常數(shù)由撓曲線變形邊界條件確定 優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點(diǎn)：計(jì)算較繁,例14 圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁, 在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角max 。,A,B,l,解：以梁左端A為原點(diǎn), 取直角坐標(biāo)系, 令x軸向右, y軸向下為正。,(1) 列彎矩方程,F,(2)

25、列撓曲線近似微分方程并積分,(3) 確定積分常數(shù),代入式(a)和(b), 得：,C10, C20,在x0處, w0,在x0處, q0,-,-,A,B,l,x,y,F,(4) 建立轉(zhuǎn)角方程和撓度方程,將求得的積分常數(shù)C1和C2代入式(a)和(b), 得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為：,(5) 求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度,自由端B處的轉(zhuǎn)角和撓度絕對(duì)值最大。,所得的撓度為正值, 說明B點(diǎn)向下移動(dòng); 轉(zhuǎn)角為正值, 說明橫截面B沿順時(shí)針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)。,例15：一簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并確定最大撓度和A、B截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁的抗彎剛度為EI。,解:1 建立坐標(biāo)系。求支座反力。列彎矩方程：,邊界

26、條件,得:,例16：已知F、EI，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程及wmax 。,解:1 建立坐標(biāo)系。 求支座反力。,2分段求出彎矩方程及w、w。,邊界條件：x = 0 ，w1= 0。,x = l ，w2= 0。,連續(xù)條件：x = a ，w1= w2， w1= w2,由連續(xù)條件，得：C1= C2， D1= D2,再由邊界條件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l,D1=D2=0,因此，梁各段的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為：,因此，受任意荷載的簡(jiǎn)支梁，只要撓曲線上沒有拐點(diǎn)，均可近似地將梁中點(diǎn)的撓度作為最大撓度。,條件：由于梁的變形微小, 梁變形后其跨長(zhǎng)的改變可略去不計(jì), 且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作,

27、 因而, 梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與作用在梁上的載荷成線性關(guān)系。,在這種情況下, 梁在幾項(xiàng)載荷 (如集中力、集中力偶或分布力)同時(shí)作用下某一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角, 就分別等于每項(xiàng)載荷單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。此即為疊加原理。,15.11 梁的變形計(jì)算 疊加法求彎曲變形,例17：簡(jiǎn)支梁所受荷載如圖示。用疊加法求梁中點(diǎn)撓度和左端截面的轉(zhuǎn)角。設(shè)梁抗彎剛度為EI。,解:,+,=,例18 簡(jiǎn)支梁的EI已知，用疊加法求梁 跨中截面的位移和兩端截面的轉(zhuǎn)角。,載荷分解如圖, 對(duì)稱均布載荷單獨(dú)作用時(shí),集中力偶單獨(dú)作用時(shí), 疊加,例19：一階梯形懸臂梁，在左端受集中力作用。試求左端的撓度。,解：,采用逐段剛化法,1、令BC剛化，AB為 懸臂梁。,2、令A(yù)B剛化，BC為 懸臂梁。,EI,2EI,2EI,累加得到總的結(jié)果：,例20：已知F、q、EI。求c和wc。,這種疊加法又稱為逐段（級(jí)）剛化法。,例21 用逐段剛性法求解簡(jiǎn)支外伸梁的撓度,把未變形B