概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第3章連續(xù)型隨機變量及其分布1

1、第三章 連續(xù)型隨機變量及其分布 在實際問題中，常常會遇到這樣一些隨機變量，它們的值域是一個區(qū)間(或若干個區(qū)間的并)，稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量。 對于取值在區(qū)間上的隨機變量，我們不可能把它的取值一一列出，因而不能簡單地用表格形式(即概率函數(shù))來研究它的統(tǒng)計規(guī)律性。如何描述這一類隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性，是本章討論的主題。,3.1 分布函數(shù) 在研究一個隨機變量時，我們常常關(guān)心的不是它取某個值的概率，而是它落在某個區(qū)間內(nèi)的概率。 一般地，對于一個隨機變量X，如果我們需要知道 其中 的值，則由 推得 因此，對實數(shù)軸上任意一個 ，若已知 的值時，由上式便能算得 的值。,定義3.1 給定一個隨機變量

2、X，稱定義域為 的實值函數(shù) 為隨機變量X的分布函數(shù)，有時也記作 。 要注意的是，分布函數(shù)對任意一個隨機變量都是按定義 3.1 規(guī)定的，且對任意的 ，總有,例1 已知隨機變量 ，求它的分布函數(shù)。 解 由隨機變量的概率函數(shù)可知， （1）當 時， （2）當 時， 所以分布函數(shù)為,定理3.1(分布函數(shù)的性質(zhì)) 設(shè) 是隨機變量X的分布函數(shù)，則 有下列性質(zhì)： （1） ； （2） 是單調(diào)不減的，即當 時，有 ； （3） ； （4）對任意一個 右連續(xù)。,設(shè)離散型隨機變量X的概率函數(shù)為 那么，X的分布函數(shù)為 這個分布函數(shù) 在每一個 處間斷，且間斷點處的跳躍度為,一般地，對任意一個隨機變量X與任意一個實數(shù) ，我們

3、有下列結(jié)論： 定理3.2 對任意一個隨機變量X，X的分布函數(shù) 在 處連續(xù)的充分必要條件是：,定義3.2 給定一個隨機變量 ，稱定義域為整個平面的二元實值函數(shù) 為隨機變量 的分布函數(shù)，或稱它為X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 按照分布函數(shù)的定義： 其中，區(qū)域 如圖所示。,一般地，對任意的 按照分布函數(shù)的幾何解釋，讀者可以自行證明這個結(jié)果。,定理3.3(聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)) 設(shè) 是隨機變量 的分布函數(shù)，則有下列結(jié)論： (1) ； (2) 固定一個自變量的值時， 作為一元函數(shù)關(guān)于另一個自變量是單調(diào)不減的； (3) 對任意一個y，有 ；對任意一個x，有 ；且有,(4)固定一個自變量的值時， 作為一元函數(shù)關(guān)于另一

4、個自變量右連續(xù)； (5)對任意的 有 定理3.3的證明從略。,對分布函數(shù)的三個說明： (1) 對于離散型隨機變量，雖然從原則上說可以利用分布函數(shù)來計算事件的概率，但實際上這并不方便，一般應(yīng)盡可能利用概率函數(shù)來計算事件的概率。 (2) 分布函數(shù)的性質(zhì)（定理3.1）刻劃了分布函數(shù)的特征，這就是說，如果某個函數(shù) 具有定理3.1給出的四條性質(zhì)，那么它必定是某個隨機變量的,分布函數(shù)。同樣，定理3.3也給出了聯(lián)合分布函數(shù)的特征性質(zhì)。 (3) 對于n維隨機變量 ，它的分布函數(shù)類似地定義為,例2 設(shè)二維隨機變量 的分布函數(shù)為 求常數(shù)A、B、C的值。,解 由分布函數(shù)的性質(zhì)可知 由此解得,3.2 概率密度函數(shù) 我

5、們給出隨機變量X的分布函數(shù) 從中我們看到，這個連續(xù)性隨機變量的分布函數(shù)處處連續(xù)，且除了個別點外處處可導(dǎo)。注意到：,從高等數(shù)學(xué)得知，可以把 表達成 其中取非負值的函數(shù) 或 則 恰是 在區(qū)間 上的定積分。,定義3.3 給定一個連續(xù)性隨機變量X，如果存在一個定義域為 的非負實值函數(shù) ，使得X的分布函數(shù) 可以表達成 那么，稱 為連續(xù)性隨機變量X的（概率）密度函數(shù)。,密度函數(shù) 與分布函數(shù) 之間的關(guān)系如圖所示。 從圖形中可知， 恰是 在區(qū)間 上的定積分。,按照分布函數(shù)的定義和性質(zhì)，密度函數(shù)必須滿足下列兩個條件： (1) (2) 這兩個條件刻劃了密度函數(shù)的特征，這就是說，如果某個實值函數(shù) 具有這兩個性質(zhì)，那

6、么它必定是某個連續(xù)性隨機變量的密度。,定理3.4 (連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)) 設(shè)X是任一連續(xù)型隨機變量， 與 分別是它的分布函數(shù)與密度函數(shù)。 (1) 是連續(xù)函數(shù)，且當 在 處連續(xù)時， ； (2) 對任意一個常數(shù) ； (3) 對任意兩個常數(shù) 有,根據(jù)微分中值定理和定理3.4，密度函數(shù)的取值與概率存在如下關(guān)系： 即 取值于 鄰近的概率與 的大小成正比。此處需強調(diào)，密度函數(shù)取值本身不是概率，由 可以看出，密度函數(shù)與概率之間的關(guān)系猶如物理學(xué)中線密度與質(zhì)量之間的關(guān)系,由定理3.4的（2）可知 更一般地，對于實數(shù)軸上任意一個集合S, 這里S可以是若干個區(qū)間的和、交、并。這個公式表明，知道了一個隨機變量的密度

7、函數(shù)，便能算出任意一個概率 。正因為如此，密度函數(shù)也稱為連續(xù)型隨機變量的分布。,例4 假設(shè)隨機變量 的密度函數(shù)為 求 （1）常數(shù)C的值； （2）概率 ； （3）分布函數(shù) 。,解（1）由 得 所以 （2）概率,（3）當 時， 當 時， 當 時， 所以，分布函數(shù)為,例5 已知 的密度函數(shù)為 求常數(shù)C的值。 解 由 得 所以，,3.3 常用連續(xù)型隨機變量,下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機變量。 一、 均勻分布 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為 通常稱這個隨機變量X服從區(qū)間(a, b)上的(連續(xù)型)均勻分布，記作 。,一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來描述。均勻分布的分布函數(shù)為： 在隨機模擬技術(shù)中，服從均

8、勻分布R(0, 1)的隨機變量是最基本的一類隨機變量。,二、指數(shù)分布 一般地，如果隨機變量X的密度函數(shù)為 那么稱這個隨機變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記作 ，其中 。,指數(shù)分布的分布函數(shù)為 指數(shù)分布在可靠性理論及排隊論中有廣泛的應(yīng)用，因為許多優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的壽命常常服從指數(shù)分布；某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時間間隔服從指數(shù)分布。,指數(shù)分布有一個性質(zhì)，稱此性質(zhì)為無后效性：設(shè)隨機變量 ，則對于任意的 ，有 因此， 假如把X解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽命長于 年，則再活 年的概率與年齡 無關(guān)，所以有人風趣地稱指數(shù)分布是“永遠年青”的分布。,例1 根據(jù)歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強地震之間相隔的年數(shù)X是

9、一個隨機變量，它服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，現(xiàn)該地剛發(fā)生了一次強地震。試求 (1) 今后3年內(nèi)再次發(fā)生強地震的概率； (2) 今后3年至5年再次發(fā)生強地震的概率。,解 (1)所求概率為 (2)所求概率為,例2 假設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間 （單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等待服務(wù)的時間超過10分鐘他就離開， （1）求這位顧客某天去銀行未等到服務(wù)而離開的概率； （2）假如他一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)而離開的概率。,解 （1）所求概率為 (2)用Y表示他離開的次數(shù)，則 ，所求概率為,三、正態(tài)分布(高斯（Gauss）分布) 如果隨機變量X的密度函數(shù)為 那么稱這個隨機變量X服

10、從參數(shù)為 的正態(tài)分布（或高斯分布），記作 ，其中 服從正態(tài)分布的隨機變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機變量。,由高等數(shù)學(xué)的知識不難得到 具有下列性質(zhì)： (1) 關(guān)于 對稱； (2) 在 處有最大值 ； (3) 當 時， 。 正態(tài)分布在理論上與實際應(yīng)用中都是一個極其重要的分布，高斯在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差的分布。經(jīng)驗表明，當一個變量受到大量微小的、獨立的隨機因素影響時，這個變量一般服從或近似服從正態(tài)分布。,正態(tài)分布 的密度函數(shù)的圖像見下圖： 上圖還給出了參數(shù) 的一個幾何解釋：當 較大時，函數(shù)曲線平坦；當 較小時，曲線陡峭。,四、標準正態(tài)分布 參數(shù) 且 的正態(tài)分布N(0, 1)稱為標準正態(tài)分布,它的密度函

11、數(shù)為 它的分布函數(shù)記作 ，即,由于N(0,1)的密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此，由 推得： 當 時， 的值可以查附表四得到。 由概率計算過程可得如下公式：當 時, 其中 。,當 時，由于X的分布函數(shù) （令 ） 因此 通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式。,例2 設(shè) 。查附表四可以得到 例3 設(shè) ，查附表四可以得到,例4 從南郊某地到北區(qū)火車站有兩條路可選，一條路線穿過市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需時間 （單位：分鐘），另一條路線沿環(huán)線走，路程長，但意外堵塞較少，所需時間 （單位：分鐘）。 （1）假定有70分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？ （2）假定有65分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？,解 （1） 由于 所以，應(yīng)選第二條路線。 （2）由于 所以，應(yīng)選第一條路線。,例4 某人上班所需的時間 (單位：分) ，已知上班時間為早晨8時，他每天7時出門。試求， (1)某天遲到的