2018版高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2簡單的三角恒等變換學(xué)案新人教A版必修4

1、3.2簡單的三角恒等變換1. 能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡單的應(yīng)用 .( 重點)2. 了解三角恒等變換的特點、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對三角函數(shù)式化簡、求值以及三角恒等式的證明和一些簡單的應(yīng)用 .(難點、易錯點) 基礎(chǔ) 初探 教材整理 半角公式閱讀教材 P139P140 例 2 以上內(nèi)容，完成下列問題.sin21cos 2，cos21cos ，2tan21cos 1cos ，tan2sin2 cos 2sincos 2cos2 2 2cos2 2sin 1cos ，tan2sin2cos2sincos 2 2s

2、in 2sin 2221cos sin .判斷 ( 正確的打“”，錯誤的打“”)(1)cos21cos 2.( )(2) 存在 R，使得 cos21 cos .( )2(3)對于任意 R，sin21sin 都不成立 .( )2(4) 若 是第一象限角，則tan21cos 1cos .( )【解析】 (1) . 只有當(dāng)22k222k( kZ) ，即 4k 4k( k Z)時， cos21cos 2.(2) . 當(dāng) cos 31時，上式成立，但一般情況下不成立 .(3) . 當(dāng) 2k(kZ)時，上式成立，但一般情況下不成立 .(4) . 若 是第一象限角，則2是第一、三象限角，此時tan21 co

3、s 1 cos 成立 .【答案】 (1) (2) (3) (4) 小組合作型 化簡求值問題(1) 已知 cos 35，且 180 270，求 tan；2sin cos sin2 cos2(2) 化簡： (180 360). 22cos 【精彩點撥】 (1) cos 35tan21cos 1cos tan的值；2cos 35tan21cos sin 或tan2sin 1cos tan2的值.對于 (1) 的思考要注意符號的選擇.(2) 化 為，消去數(shù)值1，再升冪判斷22的范圍，然后化簡得結(jié)論.【自主解答】 (1) 法一： 180 270， 90135，即22是第二象限角，2tan20，tan21

4、cos 1cos 1 1 3535 2.法二：180 270 ，即 是第三象限角，sin 1cos92 1 2545，tan2 1cos sin 1 45352.(2) 原式2cos222sin2cos22 2cossin222cos22cos2cos2sin2 cos22sin2cos2cos2 coscos2.180 360 ，90 2180 ， cos0，2原式cos2 coscos 2cos .1. 解決給值求值問題的方法及思路(1) 給值求值問題， 其關(guān)鍵是找出已知式與欲求式之間的角、 運算及函數(shù)的差異， 經(jīng)過適當(dāng)變換已知式或變換欲求式解題 .(2) 給值求值的重要思想是建立已知式與

5、欲求式之間的聯(lián)系，應(yīng)注意“配角”方法的應(yīng)用.2. 三角函數(shù)化簡的思路及原則：3(1) 在應(yīng)用和差化積公式時， 必須是一次同名三角函數(shù)方可施行， 若是異名， 必須用誘導(dǎo)公式化為同名；若是高次函數(shù)，必須用降冪公式降為一次 .(2) 根據(jù)實際問題選用公式時，應(yīng)從以下幾個方面加以考慮：運用公式之后能否出現(xiàn)特殊角；運用公式之后能否進(jìn)行提取公因式，能否約分，能否合并或消項；運用公式之后能否使三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)更加簡單，各種關(guān)系更加明顯，從而為下一步選用公式進(jìn)行變換創(chuàng)造條件 .(3) 對于三角函數(shù)的和差化積， 有時因為使用公式不同， 或選擇題的思路不同， 化積結(jié)果可能不一致 . 再練一題 1.(1) 已知 si

6、n 5，cos 5255，則 tan2等于( )A.2 5 B.2 5C. 52 D. ( 52)3(2) 已知 0，cos 5 550，所以 的終邊落在第一象限，2的終邊落在第一、三象限，所以 tan0，故 tan221cos 1cos 2 51 5 5 2.2 515【答案】 C(2) 原式sin2 cos22cos 2 sin2224sin2 cos22cos 2 sin222.32，3 2 2 4，cos0，原式sin2 2 sincos2cos222sin2 sin222cos2cos2sin2cos22sincos222 2cos2.三角恒等式的證明2(1) 求證： 12cos c

7、os 2 2；(2) 求證：2sin xcos xxcos x xcos x1cos x.sin x2【精彩點撥】 (1) 可由左向右證：先把左邊 cos 降冪化為同角后整理可證 .(2) 可先從左邊表達(dá)式分母中升冪縮角入手，再通過改變函數(shù)結(jié)構(gòu)向右邊轉(zhuǎn)化 .【自主解答】 (1) 左邊 12cos2cos 2 121cos 2 cos 2 2右2邊.所以原等式成立 .(2) 左邊2sin2sin xcos xx x cos 2sin2 22x22sinxcos2x22sin2x24sin2sin xcos x2x22xcos sin22x2sin x 2x2sin 25cossinx2x22x2

8、cos2x cos22sin1cos x右邊 .x sin x2所以原等式成立 .三角恒等式證明的五種常用方法：(1) 執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡 .(2) 左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子 .(3) 拼湊法： 針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異， 有針對性地變形， 以消除它們之間的差異， 簡言之，即化異求同 .(4) 比較法：設(shè)法證明“左邊右邊 0”或“左邊右邊1”.(5) 分析法： 從被證明的等式出發(fā)， 逐步探求使等式成立的條件， 一直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立 . 再練一題 2. 求證： 2 2sin cos1tantan22.【證明】 法一：左邊cos co

9、s sin cos cos sin 2 2sin cossin2 2 2cos cos sin2 2sin cos2cossin12 2sin2 2cos1tantan22右邊，原等式成立 . cossin法二：右邊 12sin2cos22sin2 2 2 cos cos sin 2 2sin cos2cos cos sin cos cos sin 2 2sin cos 2 2sin cos左邊，原等式成立 .6三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用如圖3-2-1 所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應(yīng)怎樣截取，才能使 OAB的周長最大？圖3-2-1【精彩點撥】設(shè) AOB 建立周長l 求l 的最大值

10、【自主解答】設(shè) AOB ， OAB的周長為l ，則ABRsin ，OBRcos ，l OA ABOBRRsin Rcos R(sin cos ) R 2Rsin 4R.0，2 4 4 30) 的最小正周期為.(1) 求 的值；(2)討論f ( x) 在區(qū)間0，2上的單調(diào)性 .【精彩點撥】 利用三角公式化簡函數(shù)式， 寫為f ( x) Asin( x ) b 的形式， 再討論函數(shù)的性質(zhì).8【自主解答】 (1) f ( x) 4cos x sin x42 2 2sin x cos x2 2cos x 2(sin 2 xcos 2 x) 22sin 2x4 2.因為f ( x)的最小正周期為，且 0，

11、從而有22 ，故 1.(2) 由(1) 知， f ( x) 2sin 2x4 2.若 0 x ，則2 4 2 x454.當(dāng)4 2 x42，即 0 x時， f ( x)單調(diào)遞增；8當(dāng)22x454，即80，cos21cos 2 306.【答案】 C2. 已知 cos 35， 32，2 ，則sin等于 ( )2A.55B. 5545C.D.2 55【解析】 由題知234， ， sin20，sin21cos 25.5【答案】 A3. 已知 sin cos 54，則sin 2 的值等于 ( )A.716B. 71610C.916D.916【解析】 由 sin cos 54，(sin cos )212sin cos 1sin 2 2516，所以 sin 2 9.16【答案】 C4. 函數(shù) y3sin 2 xcos22x 的最小正周期為 _.【解析】 y3sin 2 xcos22x3 1 1sin 2 x cos 2 x sin 2x2 2 2612，函數(shù)2的最小正