實(shí)驗(yàn)一 微分學(xué)基礎(chǔ)

1、.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)3班 學(xué)號(hào)：2 姓名：康萍 時(shí)間：2016.03.22實(shí)驗(yàn)一 微分學(xué)基礎(chǔ)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簩W(xué)習(xí)使用Mathematica的一些基本功能來驗(yàn)證或觀察得出微積分學(xué)的幾個(gè)基本理論。1、 函數(shù)應(yīng)用及圖像2、 數(shù)e3、 積分與自然對數(shù)4、 調(diào)和數(shù)列5、 雙曲函數(shù)2、 實(shí)驗(yàn)環(huán)境 基于Windows環(huán)境下的Mathematica7.0軟件。3、 實(shí)驗(yàn)的基本理論與方法 使用Mathematica4.0軟件可繪制函數(shù)圖像。4、 實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容和步驟及得到的結(jié)果和分析實(shí)驗(yàn)1 函數(shù)及其圖像1.1 Taylor級(jí)數(shù)1.1.1（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在同一坐標(biāo)系中畫出同一個(gè)

2、區(qū)間上的函數(shù)圖像的圖像，觀察哪一條與正弦函數(shù)的圖像最接近。（2）實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： PlotSinx,0.8x,x,1.2x,x,-Pi,Pi（3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果： （4）結(jié)果分析：在具有不同斜率k的過原點(diǎn)的直線中，時(shí)的直線與正弦曲線在原點(diǎn)附近最接近；且從原點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)與沿正弦曲線前進(jìn)的方向是一致的，在原點(diǎn)附近很小的一段旅程內(nèi)兩條線路幾乎看不出任何差別，但繼續(xù)下去，兩條線路就分道揚(yáng)鑣了：直線沿原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，而正弦曲線則開始轉(zhuǎn)彎，兩條線路越離越遠(yuǎn)。1.1.2（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在同一坐標(biāo)系中做出區(qū)間上正弦函數(shù)圖像及多項(xiàng)式的圖像，觀察這些多項(xiàng)式函數(shù)的圖像逼近正弦

3、曲線的情況。（2）實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： PlotSinx,x-x3/6,x-x3/6+x5/120,x-x3/3!+x5/5!-x7/7!,x,-Pi,Pi curve1=PlotSinx,x,-Pi,Pi,PlotStyleRGBColor1,0,0; curve2=Plotx-x3/6+x5/120,x,-Pi,Pi,PlotStyleRGBColor1,0,1; curve3=Plotx-x3/3!+x5/5!-x7/7!,x,-Pi,Pi; Showcurve1,curve2,curve3（3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果： （4）結(jié)果分析：通過圖像可以看出，次數(shù)越來越高

4、的多項(xiàng)式函數(shù)的圖像越來越好的逼近正弦函數(shù)的圖像，這些多項(xiàng)式是的泰勒級(jí)數(shù) 的前若干項(xiàng)組成的。1.2 函數(shù)的升降、零點(diǎn)和極值1.2.1（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的圖像，觀察（）當(dāng)時(shí)y的圖像的升降情況及當(dāng)時(shí)，y是否有極大值或極小值；（）觀察得出方程的根的近似值a,比如a=2.5,最后求出在x=2.5附近的根的更精確的近似值。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： Plotx-x3/6,1-x2/2,x,-4,4； FindRootx-x3/6,x,2.5（3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果： x2.44949（4） 結(jié)果分析：當(dāng)時(shí)，y的圖像在區(qū)間上升，在區(qū)間上下降；當(dāng)，在區(qū)間上

5、上升，在區(qū)間上下降。觀察得出的根近似的有。通過編程得出，在x=2.5附近的根的更精確的近似值為2.44949.1.2.2（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：設(shè)對n=3，4，5，6，7依次求出在x=3附近的零點(diǎn)，觀察：隨著n的增加，所求出的零點(diǎn)有何變化趨勢？有何道理？（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： fx_,n_:=Sum(-1)k*x(2*k+1)/(2*k+1)!),k,0,n;DoPrintFindRootfx,n,x,3.0,n,3,7（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： x3.07864 x3.14869 x3.14115 x3.14161 x3.14159（4） 結(jié)果分析：隨著n的增加，所求

6、出的零點(diǎn)越來月穩(wěn)定于3.141附近，因?yàn)殡S著n的增加的圖像越來越接近于的圖像，因此由求得的根也就越來越接近與的根。1.3正弦函數(shù)的疊加1.3.1（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：分別畫出區(qū)間上的函數(shù) 其中2m-1可以試驗(yàn)從小到大不同的值。比如2m-1=9,19,519等。分別觀察所得的函數(shù)圖像隨著這個(gè)n值的增加的變化情況和變化趨勢。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： fx_,n_:=SumSink*x/k,k,1,n,2；fx_,n_:=表示定義一個(gè)以x,n為自變量的函數(shù)。 Plotfx,9,x,-2Pi,Pi fx_,n_:=SumSink*x/k,k,1,n,2; Plotfx,

7、519,x,-2Pi,Pi（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： （4）結(jié)果分析：由于每一項(xiàng)都是以為周期，經(jīng)過求和之后的函數(shù)當(dāng)然還是以為周期。觀察圖像可知，當(dāng)n值很大時(shí)，圖像越來越接近于“方形”的波。一般的，由于函數(shù)都以為周期，他們的實(shí)系數(shù)線性組合（也就是實(shí)數(shù)倍之和） 仍以為周期。改變各個(gè)系數(shù)就得到各種不同形狀的圖像，只要不要太連續(xù)，就能得到所有的以為周期的函數(shù)的圖像。1.3.2(1)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：分別取n=30,300,3000,在同一坐標(biāo)系中畫出區(qū)間上函數(shù)的圖像。觀察當(dāng)n增加時(shí)向逼近的現(xiàn)象。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi,PlotS

8、tyle-RGBColor1,0,0;px_,n_:=x*Product1-x2/(k*Pi)2),k,1,n;fgproduct=Plotpx,30,x,-4Pi,4Pi;Showfgsin,fgproduct可得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0;px_,n_:=x*Product1-x2/(k*Pi)2),k,1,n;fgproduct=Plotpx,300,x,-4Pi,4Pi;Showfgsin,fgproduct可得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi,PlotStyle-RGBC

9、olor1,0,0;px_,n_:=x*Product1-x2/(k*Pi)2),k,1,n;fgproduct=Plotpx,3000,x,-4Pi,4Pi;Showfgsin,fgproduct可得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：n=30n=300n=3000（4）結(jié)果分析：由圖像可知：當(dāng)增加時(shí)，向逐漸逼近，當(dāng)足夠大時(shí)，的圖像與完全重合.1.4 無極限的函數(shù)列1.4.1（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在區(qū)間-1,1上做出函數(shù)的圖像，觀察圖像當(dāng)時(shí)的變化情況。在的附近仍然看不清楚，可以再放大，將區(qū)間改為-0.01,0.01甚至-0.001，0.001。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下

10、： PlotSin1/x,x,-1,1 PlotSin1/x,x,-0.01,0.01（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： （4） 結(jié)果分析：看得出當(dāng)時(shí)曲線在和之間振蕩，越接近于0就振蕩的越快，越“瘋狂”。在的附近仍然看不清楚，可以再放大，將區(qū)間改為-0.01,0.01甚至-0.001，0.001，可以看出區(qū)間越小，曲線震蕩的越“瘋狂”，圖像更加一塌糊涂。1.4.2（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：從以上曲線中取一部分點(diǎn)，比如令，則當(dāng)k增加時(shí)x向0趨近，相應(yīng)的y值分別是，。這樣就在曲線上取出了3000個(gè)點(diǎn)。將這3000個(gè)點(diǎn)畫在同一個(gè)坐標(biāo)系中，看它們組成的圖形是什么樣子？能否辨別出哪些點(diǎn)組成一條曲線？（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathe

11、matica7.0輸入語句如下： T=Table1/k,Sink,k,1,3000; P=ListPlotT d=44; T1=Table1/k,Sink,k,3,3000,d; T2=Table1/k,Sink,k,6,3000,d; P1=ListPlotT1,PlotJoinedTrue,PlotStyleRGBColor1,0,0; P2=ListPlotT2,PlotJoinedTrue,PlotStyleRGBColor1,0,0; ShowP,P1,P2（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 圖一 圖二（4） 結(jié)果分析：圖一不但不是一塌糊涂、雜亂無章，反而很有規(guī)律，呈現(xiàn)出一些美麗的圖案組成的網(wǎng)。通過

12、利用祖沖之說的近似值（約率），從而44約等于的7倍，接近，從某一個(gè)開始的一連串點(diǎn)組成圖一的曲線中的一條。實(shí)驗(yàn)2 數(shù)e2.1.1（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)數(shù)列的變化趨勢。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： DoPrint(1.0+1/10n)(10n),(1.0+1/10n)(10n+1),n,1,7（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 2.59374,2.85312 2.70481,2.73186 2.71692,2.71964 2.71815,2.71842 2.71827,2.7183 2.71828,2.71828 2.71828,2.71828(4)結(jié)果分析：當(dāng)n趨

13、于無窮大時(shí)數(shù)列都趨近于2.71828，最后穩(wěn)定于2.71828.2.1.2（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在同一坐標(biāo)系中畫出下面三個(gè)函數(shù)的圖像，觀察當(dāng)增大時(shí)圖像的走向。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： Plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),E,x,1,4 Plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),E,x,2,4 Plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),E,x,3,5（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： （4） 結(jié)果分析：通過觀察可以看到，當(dāng)n增大時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)遞減。隨著n的無窮增大，無限接近，趨于共同的極

14、限e=2.70828.以這個(gè)為底的自然對數(shù)。2.1.3（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：計(jì)算的近似值，精確到小數(shù)點(diǎn)后30位。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： DoPrintN1+Sum1/(k!),k,1,n,30,n,5,30（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 2.71666666666666666666666666667 2.755555555555555556 2.796825396825396825 2.726984126984126984 2.719223985890652557 2.738447971781305115 2.7492865 2.716856394634172412 2.

15、7759011 2.722974791228759483 2.799446428546957647 2.7345033 2.7779585 2.7748171 2.7272834 2.7449067 2.7743173 2.7711087 2.7579257 2.7740431 2.7746878 2.7747126 2.7747135 2.7747135 2.7747135 2.7747135（4） 結(jié)果分析：上面的對數(shù)表反映了自然對數(shù)的產(chǎn)生過程。在科學(xué)中廣泛應(yīng)用以e為底的的自然對數(shù)的更直接的理由是：它使涉及到對數(shù)的微積分和積分公式變得更為簡單。2.2.1(1)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：通過運(yùn)行Mathem

16、atica語句，計(jì)算當(dāng)，時(shí)，的值。觀察當(dāng)x趨于0時(shí)，是否趨于某一極限值（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： DoPrintLog10,1.0+10.0(-n)/(10(-n),n,1,7（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 0.413927 0.432137 0.434077 0.434273 0.434292 0.434294 0.434294（4） 結(jié)果分析：當(dāng)x趨于0時(shí)，越來越趨近于0.43429附近，最后穩(wěn)定于0.434294.2.2.2(1)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：通過運(yùn)行Mathematica語句，計(jì)算當(dāng)，時(shí)，的值。觀察當(dāng)x趨于0時(shí)，是否趨于某一極限值（2）實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathemati

17、ca7.0輸入語句如下： DoPrintLog1.0+10.0(-n)/(10n),n,1,7（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 0.00953102 0.0000995033 9.99510-7 9.999510-9 9.9999510-11 9.9999910-13 1.10-14結(jié)果分析：當(dāng)x趨于0時(shí)，趨于極限值 1.10-14實(shí)驗(yàn)3 積分與自然對數(shù)（1） 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：畫出函數(shù)在區(qū)間0.1，10上的圖像，觀察圖像的形狀，看他像是什么函數(shù)的圖像，求出函數(shù)的參數(shù)。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： Sx_:=NIntegrate1/t,t,1,x; PlotSx,x,0.1,10在

18、求這個(gè)對數(shù)的底時(shí)，它應(yīng)滿足條件S（b）=1,從圖像上可以看出b比3稍小一些，從而以3作為初始值，利用牛頓切線法，用遞推關(guān)系式 求出近似值。輸入語句如下： ga_:=a-(Sa-1)a NestListg,3,4（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 3,2.70416,2.71825,2.71828,2.71828（4） 結(jié)果分析：觀察可以看出，圖中所畫圖像很像是對數(shù)函數(shù)的圖像。計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)b恰是自然對數(shù)的底e。實(shí)驗(yàn)四 調(diào)和數(shù)列（1） 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：將坐標(biāo)的點(diǎn)依次連接成光滑曲線，觀察曲線的形狀，它與什么函數(shù)的圖像形狀類似？并進(jìn)行驗(yàn)證。（2） 實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下： Hn_:=NSum1/k,k,1,n; t=Tablen,Hn,n,1,100; pic1=ListPlott為了驗(yàn)證，輸入語句如下： pic2=PlotLogx,x,1,100,PlotStyleRGBColor0,0,1; Showpic1,pic2為了更準(zhǔn)確的刻畫，輸入語句如下： c=H100-Log100; pic3=PlotLogx+c,x,1,100,PlotStyleRGBColor1,0,0; Showpic1,pic2,pic3（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： （4） 結(jié)果分析：從結(jié)果看，若將這些點(diǎn)集依次連接成光滑曲線，好像是對數(shù)函數(shù)的圖像。觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)集連成的曲線與的曲線并不重合，但趨向于“平行”：