工程力學(xué)-應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)分析

1、8 應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，2、平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析，3、主平面是切應(yīng)力為零的平面，主應(yīng)力是作用于主平面上的正應(yīng)力。（1）過一點總存在三對相互垂直的主平面，對應(yīng)三個主應(yīng)力,主應(yīng)力排列規(guī)定按代數(shù)值由大到小為:最大切應(yīng)力為 （2）任斜截面上的應(yīng)力（3) 主應(yīng)力的大小主平面的方位4、主應(yīng)變 5、廣義胡克定律 ， 6、應(yīng)力圓與單元體之間的對應(yīng)關(guān)系可總結(jié)為“點面對應(yīng)、轉(zhuǎn)向相同、夾角兩倍?！?解題范例8.1 試畫出下圖8.1(a)所示簡支梁A點處的原始單元體。圖8.1解（1）原始單元體要求其六個截面上的應(yīng)力應(yīng)已知或可利用公式直接計算，因此應(yīng)選取如下三對平面：A點左右側(cè)的橫截面，此對截

2、面上的應(yīng)力可直接計算得到；與梁xy平面平行的一對平面，其中靠前的平面是自由表面，所以該對平面應(yīng)力均為零。再取A點偏上和偏下的一對與xz平行的平面。截取出的單元體如圖8.1(d)所示。(2)分析單元體各面上的應(yīng)力:A點偏右橫截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力如圖8.1(b)、(c)所示，將A點的坐標(biāo)x、y代入正應(yīng)力和切應(yīng)力公式得A點單元體左右側(cè)面的應(yīng)力為： 由切應(yīng)力互等定律知,單元體的上下面有切應(yīng)力t ；前后邊面為自由表面，應(yīng)力為零。在單元體各面上畫上應(yīng)力，得到A點單元體如圖8.1(d)。8.2 圖8.2(a)所示的單元體,試求（1）圖示斜截面上的應(yīng)力;（2）主方向和主應(yīng)力，畫出主單元體;（3）主切應(yīng)力作用平

3、面的位置及該平面上的正應(yīng)力，并畫出該單元體。解（1）求斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力圖8.2由公式 （2）求主方向及主應(yīng)力 最大主應(yīng)力在第一象限中，對應(yīng)的角度為，主應(yīng)力的大小為由可解出因有一個為零的主應(yīng)力，因此畫出主單元體如圖8.2(b)。（3）主切應(yīng)力作用面的法線方向 主切應(yīng)力為此兩截面上的正應(yīng)力為 主切應(yīng)力單元體如圖8.2（c）所示。由，可以驗證上述結(jié)果的正確性。8.3 試用圖形解析法，重解例8.2。解 （1）畫應(yīng)力圓建立比例尺，畫坐標(biāo)軸。對圖8.2(a)所示單元體，在平面上畫出代表的點A(-50,-60)和代表的點B(100,60)。連接A、B，與水平軸交于C點，以C點為圓心，（或）為半徑，作

4、應(yīng)力圓如圖8.3所示.圖8.3 (2) 斜截面上的應(yīng)力在應(yīng)力圓上自A點順時針轉(zhuǎn)過，到達(dá)G點。G點在坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)即為該斜截面上的應(yīng)力，從應(yīng)力圓上可直接用比例尺測量或計算得到G點的水平和垂直坐標(biāo)值： MPa=34.95MPa(3)主方向、主應(yīng)力及主單元體圖8.3所示應(yīng)力圓圖上H點橫坐標(biāo)為第一主應(yīng)力，即K點的橫坐標(biāo)為第三主應(yīng)力，即由應(yīng)力圓圖上可以看出，由B點順時針轉(zhuǎn)過為第一主方向，在單元體上則為由y軸順時針轉(zhuǎn)，且應(yīng)力圓圖上由A順時針轉(zhuǎn)到K點()，則在單元體上由x軸順時針轉(zhuǎn)過為第三主方向,畫出主單元體仍如圖8.2(b)所示。（4）主切應(yīng)力作用面的位置及其上的應(yīng)力圖8.3所示應(yīng)力圓上N、P點分別表示主

5、切應(yīng)力作用面的相對方位及其上的應(yīng)力。在應(yīng)力圓上由B到N，逆時針轉(zhuǎn)過，單元體上作用面的外法線方向為由y軸逆時針轉(zhuǎn)過，且作用面上的正應(yīng)力均為25MPa,主切應(yīng)力作用面的單元體仍如圖8.2(c)所示。8.4 如圖8.4所示兩端封閉的薄壁筒同時承受內(nèi)壓強(qiáng)p和外力矩m的作用。在圓筒表面a點用應(yīng)變儀測出與x軸分別成正負(fù)45方向兩個微小線段ab和ac的的應(yīng)變e45629.4106，e4566.9106，試求壓強(qiáng)P和外力矩m。已知薄壁筒的平均直徑d200mm，厚度t10mm， E200GPa，泊松比m0.25。圖8.4解 （1）a點為平面應(yīng)力狀態(tài),在a點取出如圖8.4(c)所示的原始單元體，其上應(yīng)力：（2）求

6、圖8.4(c)斜單元體efgh各面上的正應(yīng)力：（3）利用胡克定律，列出應(yīng)變e45、e45表達(dá)式 將給定數(shù)據(jù)代入上式得內(nèi)壓強(qiáng)和外力矩p10MPa， m35kNm8.5矩形截面簡支梁如圖8.5所示，已知梁的橫截面面積為A，截面慣性矩為I，材料的彈性模量為E，泊松比為,梁外表面中性層上A點45方向的線應(yīng)變?yōu)?50。請選擇荷載F. 圖 8.5 (A) （B） (C) （D）答案:(A) 習(xí)題解析8.1 單元體最大正應(yīng)力面上的切應(yīng)力恒等于零嗎? 解 正確。因為在主平面上的正應(yīng)力1是單元體內(nèi)各截面上正應(yīng)力的極值（可以為最大值），而主平面上切應(yīng)力為零。8.2 單元體最大切應(yīng)力面上的正應(yīng)力恒等于零,對嗎?解

7、不正確。三向應(yīng)力狀態(tài)下單元體有3個主應(yīng)力，而最大切應(yīng)力由決定，即：8.3 若一單元體中兩個面上切應(yīng)力數(shù)值相等 , 符號相反 , 則該兩平面必定相互垂直 , 這種說法對嗎?解 正確。由切應(yīng)力雙生互等定理知,若切應(yīng)力數(shù)值上，符號相反時，該兩平面必定相互垂直。 圖 8.68.4 直徑 d=20mm 、L=2m 的 圓截面桿,受力如圖 8.7 。試?yán)L桿件中 A 點和 B 點的單元體受力圖,算出單元體上的應(yīng)力的數(shù)值,并確定這些點是否為危險點。 （c）圖 8.7(a)（b）（d） 解 以下圖8.8為圖8.7各單元體受力圖： 圖 8.8應(yīng)力計算:圖（a）的A點 : 圖（b）的A點: 圖（c）的A點: B點:

8、 , 圖（d）中A點(壓應(yīng)力): B點: (b）中的A為危險點，（c）中的A、B為危險點，（d）中的A ，B點均為危險點,相比之下A 點的應(yīng)力較大。8.5 已知應(yīng)力狀態(tài)如圖 8.9 所示(應(yīng)力單位:MPa)。試用圖解法求:(1)(a)、(b)中指定斜截面上的應(yīng)力;并用解析法校核之;(2) (c)、(d) 、(e)上主應(yīng)力的大小與方向,在單元體上畫出主平面的位置 ,求最大切應(yīng)力。(a)300 斜截面單元本;(b)450 斜截面單元體;(c) 純切應(yīng)力單元體;(d) 壓拉切單元體(e) 拉壓切單元體。圖 8.9 解(a) 按比例畫出應(yīng)力圓如下圖,可得=300的斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為E點的坐標(biāo)為

9、解析法校核：(b) 用比例畫出應(yīng)力圓,E點的坐標(biāo)為 ysCEXOY解析法校核：(c）應(yīng)力圓如下圖,與軸的交點即為主應(yīng)力的對應(yīng)點，從應(yīng)力圓上可按比例直接量得兩個主應(yīng)力之值分別為：主平面的方位可由應(yīng)力圓上量得,因最大主應(yīng)力作用面與x平面之夾角為(從D1到A1是順時針轉(zhuǎn)的):(d）應(yīng)力圓與軸的交點即為主應(yīng)力得應(yīng)點，從應(yīng)力圖上可按比例直接量得兩個主應(yīng)力之值分別為： 最大主應(yīng)力作用面與x平面之夾角為(可由應(yīng)力圓上得):(e）應(yīng)力圓與軸的交點即為主應(yīng)力的對應(yīng)點，從應(yīng)力圓上可按比例直接量得兩個主應(yīng)力之值分別為 主平面的方位，可由應(yīng)力圓上量得：（對應(yīng)于主應(yīng)力1所在主平面）8.6 圖 8.10 示單元體 ( 單

10、位為 MPa), 問分別屬于什么應(yīng)力狀態(tài)。圖 8.10 解 (1)(a)屬于單向拉應(yīng)力狀態(tài);(2)(b)屬于雙向拉應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài));(3)(c) 屬于雙向拉剪應(yīng)力狀態(tài);(4)(d) 屬于純剪應(yīng)力狀態(tài);(5)(e) 屬于雙向拉應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài)).8.7 用直角應(yīng)變花測得構(gòu)件表面上一點處三個方向的線應(yīng)變分別為00=70010-6,450=35010-6,900=-50010-6,試作應(yīng)變圓,求該點處的主應(yīng)變數(shù)值和方向。解 選比例尺如圖8.11（b）所示，繪出縱坐標(biāo)軸，并根據(jù)已知的值分別作出平行于該軸的直線，過Lb線上任一點B，作與Lb 線成順時針方向45角的BA線，交La 線于A點,

11、作與Lb線成逆時針轉(zhuǎn)向45角的BC線交Lc線于C點。作BA與BC兩線的垂直的平分線，相交于o1點，過o點作橫坐標(biāo)軸即軸，并以為半徑作圓，按上述比例尺量取些二者的交點D1，D2橫坐標(biāo)，即得： 再從應(yīng)變圓上量得：/2CD2 圖 8.118.8用直角應(yīng)變花測得構(gòu)件表面上某點處0=+40010-6, 450=+26010-6, 900=-8010-6, 試求該點處三個應(yīng)變的數(shù)值和方向。解 因 利用公式得 8.9 用直角應(yīng)變花測得受力構(gòu)件表面上某點處的應(yīng)變值為0=-26710-6 ,450=-57010-6 及900 =7910-6 ,構(gòu)件材料為 Q235 鋼,E=2.1105MPa, =0.3 。試?yán)?/p>

12、用應(yīng)變圓求主應(yīng)變,再求出該點處主應(yīng)力的數(shù)值和方向。 圖 8.12解 選比例尺和縱坐標(biāo)軸如圖8.12所示,已知 先做La 、Lb、Lc，過上的任一點作與Lb線成順時針轉(zhuǎn)向45度角的BA線,交La線于A點;作與Lb線成逆時針轉(zhuǎn)向45度角的BC線交Lc線于C點,作BA與BC線 交線于C點.作BA與BC兩線的垂直等分線,相交于O1點作橫坐標(biāo)軸即軸.并以為半徑作圓,按上述比例尺即此二者的交點的橫坐標(biāo),即得 根據(jù)虎克定律得: =-66MPa=-10MPa根據(jù)主應(yīng)變求主應(yīng)力: 可解得: 根據(jù): 可解得: 從X軸到主應(yīng)力所在平面外法線,其角是沿順時針轉(zhuǎn)向量取的。8.10 圖 8.13 示矩形截面簡支梁在集中載

13、荷P作用下。(1)在 A、B、C、D、E 五點取單元體,定性分析這五點的應(yīng)力情況,并指出單元體屬于哪種應(yīng)力狀態(tài)。(2)若測得圖示梁上 D 點在 x及 y 方向上的正應(yīng)變?yōu)閤=4.010-4 及y=1.2 10-4, 已知 E=200GN/m2, =0.3, 試求D 點 x及 y 方向上的正應(yīng)力。圖 8.13 解 （1）A 、 B 、 C 、 D 、 E五點的應(yīng)力狀態(tài)如圖8.14所示，其中、均為壓應(yīng)力，、E均為拉應(yīng)力。A 、 B 、 D 、 E為平面應(yīng)力狀態(tài)，C為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。DEEBDC A AA BBCDE 圖 8.14(2) 根據(jù)廣義虎克定律得=24.6MPa =78.5MPa 8.11圖 8.15 示一鋼質(zhì)圓桿,直徑 D=20mm, 已知 A 點與水平線成 60度 方向上 的正應(yīng)變600=4.110-4,試求載荷 P。已知 E=210GN/m2, =0.28。 圖 8.15 解 過A點取單元體,根據(jù)題意有 8.12 如圖8.16所示,外力矩 Mn=2.5103Nm,