(最新整理)清華大學2017年領(lǐng)軍計劃試題

1、(完整)清華大學2017年領(lǐng)軍計劃試題(完整)清華大學2017年領(lǐng)軍計劃試題 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對文中內(nèi)容進行仔細校對，但是難免會有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)清華大學2017年領(lǐng)軍計劃試題）的內(nèi)容能夠給您的工作和學習帶來便利。同時也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進步的源泉，前進的動力。本文可編輯可修改，如果覺得對您有幫助請收藏以便隨時查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進步，以下為(完整)清華大學2017年領(lǐng)軍計劃試題的全部內(nèi)容。清華大學2017年自主招生與領(lǐng)軍計劃數(shù)學試題（1）設(shè)函數(shù)，若對

2、，則實數(shù)的取值范圍是 解答：問題等價于在上恒成立;記,兩函數(shù)均過，且，可知.答案a.（2）設(shè)為兩個隨機事件，且，則 解答:（a),所以a錯;（b），所以b對；(c),所以c錯；（d），所以d錯；答案b.(3)從中選出三個不同數(shù)字組成四位數(shù)(其中的一個數(shù)字用兩次），如，這樣的四位數(shù)共有 解答：十個數(shù)中先選出3個數(shù)，再從中選出一個作為用兩次的，再選出兩個位置放這個數(shù)，剩下兩個數(shù)再排列一下，共有個。下面考慮被排在了首位的情況：10在后三位還出現(xiàn)了一次:則在剩下9個數(shù)中再選兩個,于是有個。2只出現(xiàn)在首位：則在剩下9個數(shù)中再選兩個，其中一個重復兩次，于是有個。于是符合題目要求的四位數(shù)共有個. 答案d.（

3、4）已知集合，設(shè)映射滿足：對任意的是奇函數(shù)，這樣的映射的個數(shù) 解答：設(shè)則，均為奇數(shù)，所以只需令為奇數(shù)，所以共有種選擇。 答案c.(5）若關(guān)于的方程只有一個實數(shù)解，則實數(shù)的值 解答：顯然與均關(guān)于對稱,若有之外的解，則均成對出現(xiàn),所以要只有一個解，則只能在處,此時當時，時，確實只有一個解。答案a.（6）設(shè)為非零向量，且，則與夾角的最大值為（b） 解答:因為，取,則平移向量的起點到點，則向量的終點在以為圓心，以為半徑的圓上，則與夾角為，根據(jù)幾何意義可知，當與圓相切時,夾角最大，此時,，則，則.所以。 答案b。（7）已知三棱錐的底面為邊長為3的正三角形，且則的體積為（c） 解答:因為,過點向面作垂線，

4、因為斜邊長相等，則射影相等，可知到頂點距離相等，因此為的外心，因為為直角三角形，所以為的中點。平面，則，所以。 答案c.（8）設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)則實數(shù)的取值范圍是(a） 解答：即則，題目等價于對任意的實數(shù) 恒成立，當時,不等式顯然成立，當時，題目等價于對任意的實數(shù)恒成立,因為,而且0能取到，所以的最大值為0，因此. 答案a.（9）設(shè)正實數(shù)滿足，則的最小值為 d 解答：設(shè),則，由均值不等式可得，,又因為，所以，則，又因為，所以， 答案d。（10)給定圓及圓內(nèi)一點，設(shè)是圓的兩個動點，滿足，則的中點的軌跡為 (a） 一個圓 一個橢圓 一段雙曲線 一段拋物線解答:如圖，建立平面直角坐標系，不妨假設(shè)

5、圓的方程為,則,所以,因為，所以,設(shè)，則化簡得：，即，所以軌跡為一個圓. 答案a。（11）方程的非負整數(shù)解的個數(shù)是 解答：令,先研究的解的個數(shù),然后對于的每一個可能的取值，分別研究的解的個數(shù).將未知問題(三元）轉(zhuǎn)化為已知問題(二元）去解決。具體來說：的非負整數(shù)解有組,其中，組數(shù)所以,總組數(shù)。 答案。（12）設(shè)整數(shù)滿足且對任意整數(shù),是24的倍數(shù)，滿足條件的有序數(shù)組的個數(shù)為 解答：令，易得，所以可能的取值有種；下面分析即可;令，易得；令，易得；因此，設(shè)，其中，更進一步討論，有:，即，因為奇數(shù)的平方模余，偶數(shù)的平方模余,所以只需，即可滿足題意;當時,;當時，;當時,; 當時,;因此總共有種情況. 答

6、案.（13)設(shè)是三角形的三個內(nèi)角，則的最大值 解答：積化和差:取等條件顯然能取到,從而選。 答案.(14）設(shè)則 解答: ； ；所以 ，答案。（15）設(shè)是的排列，且滿足,則這種排列的個數(shù)是 解答：首先若(）滿足題意,則（）也滿足題意,所以答案一定是偶數(shù)；由題意，,所以（或?qū)Q），此時有：，所以為奇數(shù)，下面分類討論：若，有，矛盾;若,則,從而;若，則，此時對應兩種情況；若，則，此時無解；其它情況無解；綜上，滿足題意的排列有種. 答案.（16）設(shè)，對于有序數(shù)組,記為中所包含的不同整數(shù)的個數(shù)，例如，當取遍所有的個有序數(shù)組時，的平均值為 解答：首先的取值有4種情況。當時，說明的取值各不相同,因為,所以共

7、有種不同情況；當時,說明取3個不同的數(shù)值，先把對分成三組，任取兩個字母為一組,剩余兩個字母各自一組,共有種，然后再從任取三個數(shù)字有種，所以共有種不同情況；當時，說明取2個不同的數(shù)值，第一種情況:有3個字母取值相同，根據(jù)上述分析有種不同情況；第二種情況：分別有2個字母取值相同，根據(jù)上述分析有種不同情況；當時，說明僅取1個數(shù)值,所以有種不同情況；所以的平均值為.答案c.（17）設(shè)，則的體積為 解答：由題知在空間直角坐標系中,幾何體在第一象限,且與軸的交點分別為,因為，所以幾何體的體積為.答案d.（18)已知在區(qū)間內(nèi)有兩個零點，則的取值范圍為 解答：二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點充要條件是在直角坐標系中

8、，畫出上述區(qū)域所求，對于拋物線，與縱軸的交點在點之間， 因為邊界不能取到,所以解得。 答案b。（19）在中,為上的點，且,設(shè)則 解答:為中點，為中點，為中點,如圖所示,故,d正確。 答案d。（20)一根直細桿放在數(shù)軸上占用的范圍是區(qū)間,若該細桿的質(zhì)量線密度為,則其質(zhì)量為 解答: ，記則質(zhì)量等于 答案b。（21）設(shè)函數(shù)，則有兩個極大值點 有兩個極小值點 的極大值點 的極小值點解答：直接求導數(shù)，得到 由導數(shù)可知函數(shù)由3個極值點,并且 綜上可知是函數(shù)的極大值點，,是函數(shù)的極小值點；答案bc。（22)一道四選項的選擇題，趙、錢、孫、李各選了一個選項，且選的恰好各不相同.趙說:我選的是；錢說:我選的是之

9、一；孫說：我選的是；李說：我選的是.已知四人中只有一人說了假話，則說假話的人可能是趙 錢 孫 李解答：假設(shè)趙說了假話，則錢孫李說的真話，錢孫李分別選了b，c，d,因為選的恰不相同，推出趙選a,即趙沒說假話，矛盾。假設(shè)錢說了假話，則錢選的是a,而趙選a說的是真話，也矛盾；假設(shè)孫說了假話，則趙錢李說的是真話,一種可能是孫選的是b，錢選的是c，沒有矛盾。同理，假設(shè)李說了假話，則趙錢孫說了真話，一種可能性是李選了b，錢選了d，也沒有矛盾。綜上,答案是cd.(23）某人投100次籃球，設(shè)投完前次籃球時的命中率為.已知則存在，使得 解答：ad。(24)設(shè)為兩個單位向量，是實數(shù)，若,則的最大值為1 的最大值

10、為 的最大值為 的最大值為 解答：； ，從而最大值是，取到極大值時;從而的最大值為，取到極大值時; 答案：bd(25）設(shè)復數(shù)滿足:，則的的最小值為 的最小值為 的最大值為 的最大值為 解答：由題可設(shè)， , 把兩邊平方得把式代入上式，有所以 因為，所以,所以且由的任意性可知，均能取到. 答案bd.（26）已知橢圓,直線與橢圓交于兩點,為橢圓上的動點，設(shè)直線分別與直線相交于兩點，則橢圓上滿足的點恰有2個橢圓上滿足的點恰有4個軸上滿足 的點恰好有2個軸上滿足 的點恰好有4個解答：橢圓，求得，設(shè)直線，因為所以(點處切線斜率），易得，聯(lián)立與橢圓方程，化簡得： 由韋達定理，得，再求得故利用兩點式,可得直線

11、方程：與直線聯(lián)立，求得因此需滿足，顯然橢圓上有4個點滿足此要求。欲滿足，即滿足，即,也即，軸上滿足此要求的點恰好有2個綜上，選bc. 答案bc。（27）已知為橢圓的左焦點,設(shè)是橢圓的右準線上一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，則 的面積為定值 的周長為定值解答:，離心率,右準線，橢圓的右焦點為,由圓錐曲線的切線性質(zhì)（切線方程）,若是橢圓上的點,是橢圓右準線上點,且是橢圓切線，則有成立,同理,即共線，為焦點弦，焦點弦最短為通徑，故，b正確，a錯誤，對來說，三角形的周長為，為定值，d正確；顯然不是定值,故三角形面積不是定值,c錯誤. 答案bd.（28)設(shè)滿足,則點只有有限個 有無限個 位于同一條

12、直線上 位于同一條拋物線上 解答：將進行代數(shù)變形,有令函數(shù)，易證是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增。因為由是奇函數(shù)，由單調(diào)遞增，得。 答案c。（29)設(shè)函數(shù)是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的值不唯一 的值唯一 的值不唯一 的值唯一 解答：根據(jù)題意（），又在區(qū)間上單調(diào)，有，因此或，當時，；當時, 答案ac.（30）已知為隨機變量，則 解答：（a）,正確；(b)，正確；（c)，相等，正確；（d）反例：時，答案abc.(31）已知實數(shù)滿足：當時，恒有，則 解答： 令，有，線性規(guī)劃如圖所示：c選項反例： 答案abd.(32）設(shè)均為正數(shù)，且，則中小于1的數(shù)最多只有一個 小于2的數(shù)最多只

13、有兩個 解答：（a）若,則，矛盾，故選項正確；（b)若,則,不矛盾，例如取，（），故選項錯誤；（c)若（),則，求和后與條件矛盾，故選項正確；（d)反例，?。ǎ?答案ac。(33)數(shù)列中，a一定是等比數(shù)列b當，時c當各項為正數(shù)時，d當存在正整數(shù)使得時，解答： 數(shù)列可以為零數(shù)列，a選項不正確;于是所以,遞推有將代入得可寫為于是同理時，上述各式也成立將，代入，得，所以代入中得，故b選項正確當各項為正數(shù)時，假設(shè)不全相等，（i）若最小,則現(xiàn)取當時，故總有充分大的,當時,這與題設(shè)矛盾（ii）若不是最小數(shù),則從而現(xiàn)取當時，故總有充分大的，當時，這與題設(shè)矛盾所以當各項為正數(shù)時,，故c選項正確當存在正整數(shù)使得時，易得，故d選項正確.答案bcd。(34）設(shè)若則 解答:假設(shè),則，從而，矛盾，因此假設(shè),則，