固體物理學第二講【高等教學】

1、第1章 晶體結構,1-1 晶體的特性 1-2 晶格及其實例 1-3 晶格的周期性 1-4 晶向和晶面 1-5 晶體對稱性與布拉菲格子 1-6 倒格子,晶體：原子排列長程有序（水晶，巖鹽，金剛石,晶體（規(guī)則點陣,1,高級教育,1-1 晶體的特性,物理：* 固定熔點（在熔化過程中，晶態(tài)固體的長程有序解體 時對應一定的熔點）* 原子排列長程有序（微米量級的范圍是有序排列的 ）* 解理性 （ Si的解理面為（111） 幾何外形：* 凸多面體，晶棱平行，晶面夾角守恒,2,高級教育,晶體的晶面組合成晶帶 晶面的交線是晶棱 相互平行 方向OO稱為該晶帶的帶軸 重要的帶軸通常稱為晶軸,示例：不同生長條件下Na

2、Cl晶體的外形,1-1 晶體的特性,3,高級教育,1-1 晶體的特性,金剛石：復式面心立方結構，最堅硬固體，絕緣體 石墨：層狀結構，質軟，潤滑性好，導體 石墨烯：單層碳原子，優(yōu)異電輸運性能,晶體結構決定物理性能,金剛石,石墨,石墨烯,4,高級教育,1-2 晶格,怎樣描述不同的晶體結構？每一個原子的坐標都寫出來？原子數目1023cm-3量級，不可行！尋找規(guī)律！ 規(guī)律：金，銀，銅雖然化學成分不同，如果不查究其化學成分，即不管原子是金或銀還是銅，不管原子之間間距的大小，那他們是完全相同的，就是他們的結構完全相同！ 數學方法抽象描寫：不區(qū)分物理，化學成分，每個原子都是不區(qū)分的，只有原子（數學上僅僅是一

3、個幾何點）的相對幾何排列有意義,金剛石（立方,石墨（六方,石墨烯（六方,5,高級教育,理想晶體：實際晶體的數學抽象以完全相同的基本結構單元（基元）規(guī)則地，重復的以完全相同的方式無限地排列而成 格點（結點）：基元位置，代表基元的幾何點 晶格（點陣）：格點（結點）的總和 原子種類和間距不同，但有相同的排列規(guī)則，則這些原子構成的晶體具有相同的晶格 簡立方(cubic)，面心立方(bcc), 體心立方(fcc),六方(hcp,1-2 晶格,點陣,基元,晶體,晶體結構 = 點陣（數學幾何點） + 基元（物理,6,高級教育,晶格的共同特點是周期性，用原胞和基矢描述。 原胞 (Primitive cell)

4、：晶格的最小周期性單元。又稱初基晶胞。 基矢：原胞的邊矢量 晶胞 (Unit cell)：晶體學中，為了反映晶格的對稱性，選取較 大的周期性單元，又稱單胞。單胞不一定是原胞,原胞選取不唯一， 但有習慣的選取方式。 三維晶格原胞通常是平行六面體,原胞和晶胞,1-3 晶格的周期性,7,高級教育,簡立方晶格：原胞和單胞相同,如何判斷所選取的原胞是正確的，即最小周期單元？ 計算原胞體積所對應的原子數。原胞中只包含一個原子,1-3 晶格的周期性-簡單立方晶格,基矢,原胞體積,8,高級教育,原胞基矢,原胞的體積,單胞基矢,單胞的體積,單胞內原子數：4 原胞內原子數：1,1-3 晶格的周期性-面心立方晶格,

5、單胞內原子坐標： （0,0,0）(1/2,0,1/2)（1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2,9,高級教育,單胞內原子數：2 原胞內原子數：1,原胞基矢,原胞體積,1-3 晶格的周期性-體心立方晶格,單胞基矢,單胞的體積,單胞內原子坐標： （0,0,0）(1/2,1/2,1/2,10,高級教育,以某個格點為中心，作其與鄰近格點的中垂面，這些中垂面所包含最小體積的區(qū)域為維格納-賽茲原胞 對稱性原胞，不依賴于基矢的選擇，與相應的布拉菲格子有完全相同的對稱性,特點： 1.僅包含一個格點，體積與慣用原胞相等 2.保留了晶格所有的對稱性 3.平常很少用，在能帶理論中對應布里淵區(qū),1-3x Wigne

6、r-Seitz原胞,11,高級教育,六角密排晶格的原胞和單胞一樣,一個原胞中包含A層 和B層原子各一個 * 共兩個原子,1-3 晶格的周期性-密排六方晶格,基矢,12,高級教育,簡單晶格：原胞中僅包含1個原子，所有原子的幾何位置和化學性質完全等價 復式晶格：包含兩種或以上的等價原子 * 兩種不同原子或離子構成：NaCl, CsCl * 同種原子但幾何位置不等價：金剛石結構、六 方密排結構,復式晶格的原胞就是相應的簡單晶格的原胞， 在原胞中包含每種等價原子各一個,1-3晶格的周期性-簡單晶格與復式晶格,13,高級教育,簡立方晶格在實際晶體中并不罕見（CsCl, NH4Cl,CuZn等）但一般常見

7、的元素不結晶為簡立方結構,1-3 實例-簡單立方晶格,14,高級教育,為了保證同一層中原子球間的距離等于A-A層之間的距離， 正方排列的原子球并不是緊密靠在一起； *由幾何關系證明，間隙=0.31r0，r0為原子球的半徑。 *具有體心立方晶格結構的金屬：Li、Na 、Cr、 W、 Fe等,1-3 實例-體心立方晶格,15,高級教育,ABCABC 密堆積方式排布,面心立方晶格的堆積比=? 配位數=,具有面心立方晶格結構的金屬：Au, Ag, Cu等,1-2 實例-面心立方晶格,堆積比率：被原子（球）所占據的可用體積的最大比率。 配位數：最近鄰原子數。指原子間距最小并相等的原子個數,16,高級教育

8、,ABAB密排堆垛,六方晶格的堆積比=?配位數=,1-3 實例-密排六方晶格,具有密排六方晶格結構的金屬：Zn，Mg等,17,高級教育,兩套面心立方套構而成 第二套4個原子位于體對角線1/4處 第二套C原子與4個第一套C原子形成正四面體 Si, Ge為金剛石結構,1-3 實例-金剛石晶格,單胞中的原子坐標,18,高級教育,Na和Cl分別構成面心立方格子，彼此在空間有一個位移,1-3 實例-NaCl晶格,19,高級教育,Cs和Cl分別構成簡立方格子，彼此在空間有一個位移 注意：CsCl不是體心立方，而是簡立方結構,1-3 實例-CsCl晶格,20,高級教育,類似金剛石結構，Zn和S分別組成面心立

9、方格子 化合物半導體如GaAs, InP等為閃鋅礦結構,1-3 實例-閃鋅礦ZnS結構,21,高級教育,類似密排六方結構，Zn和S分別組成六方格子 化合物半導體如ZnTe, AgI等為纖鋅礦結構,1-3 實例-纖鋅礦ZnS結構,22,高級教育,鈣鈦礦型的化學式可寫為ABO3 * A代表二價或一價的金屬 * B代表四價或五價的金屬 * BO3稱為氧八面體基團, 是鈣鈦礦型晶體結構的特點 * 重要介電晶體：鈦酸鋇（BaTiO3）、鋯酸鉛（PbZrO3）、 鈮酸鋰（LiNbO3）、鉭酸鋰（LiTaO3,1-3 實例-鈣鈦礦結構,23,高級教育,晶體 = 布拉菲格子 (lattice) + 基元 （b

10、asis） 簡單晶格，任意格點均可表示為 布拉菲格子是數學抽象，是點在空間的周期性排列， 又稱點陣,1-4 布拉菲格子 (Bravais lattice,24,高級教育,復式晶格：任一原子A的位矢,為原胞中各種等價原子之間的相對位移,金剛石晶格中,對角線位移,碳1位置,碳2位置,1-4 布拉菲格子 (Bravais lattice,25,高級教育,任意格點均可表示為 布拉菲格子是數學抽象，是點在空間的周期性排列， 又稱點陣,1-4 布拉菲格子 (Bravais lattice,晶體結構 = 點陣（數學幾何點） + 基元（物理,26,高級教育,簡單晶格 基元是一個原子,復式晶格 基元是一個以上原

11、子,1-4 布拉菲格子 (Bravais lattice,晶體結構 = 點陣（數學幾何點） + 基元（物理,27,高級教育,晶體基本特點：各向異性,晶列 通過任意兩個格點連一直線，則這一直線包含無限個相同格點，這樣的直線稱為晶列，也是晶體外表上所見的晶棱。其上的格點分布具有一定的周期-任意兩相鄰格點的間距,晶列的特點 （1）一族平行晶列把所有格點包括無遺 （2）在一平面中，同族的相鄰晶列之間 距離相等 （3）通過一格點可以有無限多個晶列，每 一晶列都有一族平行的晶列與之對應 （4）有無限多族平行晶列,1-5 晶向和晶面,28,高級教育,如何區(qū)分不同的晶列簇？晶向！兩個格點的 連線即一晶列，因此

12、從任一格點沿晶列方向到 最近鄰格點的平移矢量即晶向 取某一原子為原點O，原胞的三個基矢 沿晶向到最近的一個格點的位矢, 晶向指數表示為,1-5 晶向和晶面, 指數是整數，互質, 晶胞和原胞類似,29,高級教育,晶向指數,晶向指數,1-5 晶向和晶面,30,高級教育,簡單立方晶格的主要晶向, 立方邊OA的晶向,立方邊共有6個不同的晶向, 面對角線OB的晶向, 體對角線OC晶向,1-5 晶向和晶面,面對角線共有12個不同的晶向,體對角線共有？個不同的晶向,31,高級教育,1-5 晶向和晶面,與晶列類似，晶格中的所有格點也可看成都在一族 族相互平行的、間距相等的平面上 晶體的晶面 在布拉菲格子中作一

13、簇平行的平面，這些相互平行、 等間距的平面可以將所有的格點包括無遺。這些相互 平行的平面稱為晶體的晶面,32,高級教育,如何區(qū)分不同的晶面？晶面的方向：密勒指數 以晶胞基矢定義的互質整數，用以表示晶面的方 向，又稱為晶面指數,1-5 晶向和晶面-密勒指數,確定某平面在直角坐標系 3個軸上的截點，并以晶格常數為單位測得相應的截距。 取截距的倒數，然后約簡為 3 個沒有公約數的整數，即將其化簡成最簡單的整數比。 將此結果以 “（hkl）”表示，即為此平面的密勒指數,1/3:1/4:1/2=(436,33,高級教育,如果某族晶面與某一基矢沒有相交 截距是無窮大，例如 密勒指數為： 如果晶面與某一晶軸

14、的負方向相交，則相應指數上 加負號，如 晶面間距：相鄰兩層平行晶面之間的距離 面密度：晶面上質點的密度 密勒指數小的晶面，格點密度大？什么樣的面容易解理？ 晶體中重要的面指數都是簡單的，如,1-5 晶向和晶面-密勒指數,34,高級教育,1-5 立方晶格的主要晶面,(110)表示一組平行晶面#110表示一組空間等同晶面，包括12個晶面如 #100面包括6個等同晶面#111包括？個等同晶面,35,高級教育,六方結構中，為了能充分體現六方晶系的六重對稱性， 常常用4個坐標指數表示晶面，被稱為密勒布拉菲指數（hkil） 其中h+k=-i, 此時選取4個晶軸a1,a2,a3,c,1-5 晶向和晶面-密勒

15、指數,36,高級教育,1-7 晶體對稱性,為何要引入晶胞？前面講的原胞只涉及平移對稱性 晶體宏觀對稱性：對晶體做某種幾何操作后，晶體可以完全復原 的特性。其中的幾何操作為對稱操作 在晶體對稱操作過程中，若至少有一點保持不變，這種對稱操 作稱為點對稱操作，晶體的這種對稱性為宏觀對稱性 宏觀對稱反映在宏觀物理性質上，如外形,37,高級教育,四種基本的操作轉動、反演、反映、象轉軸,1. 轉動對稱操作 設晶體外形為一立方體，沿圖中所示轉軸轉動900，外形與原來重合。這樣的轉動稱為轉動對稱操作。該軸稱為轉動軸,1-7 晶體的點對稱操作,轉動軸,38,高級教育,由于受晶格周期性的限制，轉動對稱操作所轉動的

16、角度并不是任意的。而是遵循一定的規(guī)律,AB是晶列上最近鄰兩格點的距離,1-7 轉動,39,高級教育,1-7 轉動,40,高級教育,2.中心反演 如圖所示，有對稱心i，晶體中任一點A過中心 i 連線Ai并延長到A，使Ai= Ai, A與A是等同點，i點稱為對稱心。 表示方式 (1)熊夫利符號表示Ci; (2)國際符號表示i。 例：立方體的中心就是對稱中心,1-7 中心反演,41,高級教育,3. 反映 （鏡象、對稱面）如圖所示，A和A 表示方式 (1)熊夫利符號表示; (2)國際符號表示m,1-7 反映,42,高級教育,1.旋轉-反演軸(象轉軸) (1)定義先繞u軸轉動2/n，再經過中心反演，晶體

17、自動重合，則稱u軸為n度旋轉反演軸，又稱為n度象轉軸。只有1，2，3，4，6。 (2)符號表示,n度象轉軸簡析 n度象轉軸實際上并不都是獨立的，只有 是獨立的,1-7 象轉軸,43,高級教育,1) 象轉軸實際上就是對稱心i,A點繞旋轉軸(z軸)旋轉3600，在經過中心反演到A點，晶體完全重合。實際上即為中心反演,1-7 象轉軸,44,高級教育,2) 象轉軸實際上就是對鏡象m,和O-xy對稱面的操作相當,1-7 象轉軸,45,高級教育,3) 象轉軸實際上就是3度轉軸對稱心(i,晶體的點為1,2,3,4,5,6.它們符合3度轉軸加對稱中心,即可以先3度轉軸操作得到1,3,5點，然后對稱心操作得到2

18、,4,6,46,高級教育,4) 象轉軸實際上就是3度轉軸對稱面(m,晶體的點為1,2,3,4,5,6.它們符合3度轉軸加對稱面，即可先3度轉軸得到1,3，5點，然后對稱面操作得到2,4,6點,47,高級教育,5) 象轉軸,甲烷分子,晶體的點為1,2,3,4.它們不符合4度轉軸加對稱中心或對稱面操作，是獨立的對稱操作,48,高級教育,結論： 晶體的宏觀對稱性中有以下八種基本的對稱操作：1，2，3，4，6，i, m, 。 這些基本的操作組合起來，就可以得到32種宏觀操作類型（32點群）。 平移對稱性（周期性）+ 轉動對稱性（點群）= 空間群 (230種,1-7 晶體對稱性,49,高級教育,布拉菲格

19、子的對稱群所包含的對稱操作,1. 點對稱操作（宏觀對稱性）：轉動、 反演、平面反映等 2. 點陣平移操作 上述兩種形式的連續(xù)操作 點群：點對稱操作集合 空間群：點對稱+平移對稱操作集合,布拉菲格子和晶體結構的點群和空間群,50,高級教育,群代表一組“元素”的集合，G E, A ,B, C, D 這些“元素”被賦予一定的“乘法法則”，滿足下列性質,1)集合G中任意兩個元素的“乘積”仍為集合內的元素 若 A, B G, 則AB=C G. 叫作群的封閉性,2)存在單位元素E, 使得所有元素滿足：AE = A,3) 對于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E,4)元素間的“乘法運算”滿足結

20、合律：A(BC)=(AB)C,1-7 群的概念,51,高級教育,單位元素 不動操作,任意元素的逆元素 繞轉軸角度，其逆操作為繞轉軸角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演,連續(xù)進行A和B操作 相當于C操作,A 操作 繞OA軸轉動/2 S點轉到T點,B 操作 繞OC軸轉動/2 T點轉到S點,S,1-7 群的概念,52,高級教育,上述操作中S和O沒動，而T點轉動到T點 相當于一個操作C：繞OS軸轉動2/3,表示為,群的封閉性,可以證明,滿足結合律,1-7 群的概念,S,53,高級教育,1-7 晶體對稱性,54,高級教育,三 斜,單 斜,1-7 晶體對稱性,55,高級教育,正交,1-7 晶體對稱性,56

21、,高級教育,三角（三方,四 方,1-7 晶體對稱性,57,高級教育,立 方,六角,1-7 晶體對稱性,58,高級教育,為什么要研究倒空間（reciprocal space),一個物理問題，既可以在正(實，坐標)空間描寫，也可以在倒(動量)空間描寫: 坐標表象r，動量表象k 為什么選擇不同的表象？ * 適當地選取一個表象，可使問題簡化容易處理 * 比如電子在均勻空間運動，雖然坐標一直變化，但k守衡， 這時在坐標表象當然不如在動量表象簡單 正（坐標）空間的格矢（R）描寫周期性，同樣在倒（動量） 空間，倒格矢K也是描寫周期性。這兩個空間是等價的，只是 存在一個變換（傅里葉變換,1-8 倒格子,59,

22、高級教育,晶格的傅里葉變換（Fourier transformation,勢能和電荷密度等函數滿足疊加原理的物理量,如果晶體具有平移周期性,對周期函數作傅里葉展開,1-8 倒格子,從以上公式中可推導得到,因為,故,得到,n為整數,只要晶體有平移周期性，那么在傅里葉空間中就一定存在Kh矢量滿足這個關系,60,高級教育,晶點的傅里葉變換（Fourier transformation,數學上用 函數來描寫格點,因為,當矢量Kh與Rl乘積是2的整數倍時，在坐標空間Rl處的 函數的傅里葉變換為在動量空間以Kh為中心的函數！ 坐標空間里，(r-Rl)函數表示在Rl的格點，當滿足上述 條件時，其傅里葉變換也

23、是(k-Kh)函數，表示的是倒空 間里的一個點,1-8 倒格子,通過傅里葉變換可得到,61,高級教育,定義：對于布拉菲格子中所有的格矢Rl，有一系列動量空間矢量Kh ，滿足,的全部端點的集合，構成該布拉菲格子的倒格子，這些點稱為倒格點， Kh為倒格矢,布拉菲格子也稱為正格子，它們滿足傅里葉變換關系， 因此，倒空間也稱為傅里葉空間,1-8 倒格子,bj就是倒格子基矢， Kh具有平移對稱性,對于正格子,有,如果選擇一組b，使,倒格子矢量Kh,62,高級教育,表示什么含義？是正交關系！即b1與a2和a3正交,看a2和a3確定的平面，即a2a3矢量垂直于該平面,1-8 倒格子,則有b1與 平行,可設,

24、利用正交關系有,a3,a2,然后可得,63,高級教育,以它們?yōu)榛笜嫵梢粋€倒格子，倒格子每個格點的位置,倒格子基矢,倒格子原胞體積是正格子原胞體積的倒數,1-8 倒格子,64,高級教育,二維倒格子,1-8 倒格子,a,b,二維倒格子,二維正格子,65,高級教育,正格子中一簇晶面 和 正交,可以證明得到,與晶面ABC正交,1-8 倒格子矢量與晶面對應關系,注意不是密勒指數(hkl)，而是面指數(h1h2h3)。意即該晶面族最靠近原點晶面的截距分別為a1/h1, a2/h2, a3/h3,66,高級教育,倒格子與晶格的幾何關系,原點O引晶面族ABC的法線ON 截取一段OP= 使d=2（d是晶面間距

25、） 每一個晶面族都有一個點P 以OP為該方向的周期進行平移 得到一個新的點陣，即為倒格子,晶格的一族晶面化為倒格子中的一個點， 在處理晶格問題上很有意義,67,高級教育,設晶面 面間距為d,得到,1-8 倒格矢長度與面間距對應關系,則OA在其面法線方向Kh的投影即為d,注意：面間距是與晶面指數（對于原胞坐標）相關，而不是密勒指數（對于晶胞坐標）！倒格矢代表晶面的法線方向,68,高級教育,晶體結構,1,1,2.與晶體中的原子位置相對應,2.與晶體中的晶面族相對應,3.是與真實空間相聯系的傅里葉空間（K空間）中點的周期性排列,3.是真實空間中點的周期性排列,5. 量綱為長度,5. 量綱為長度-1,

26、1-8 正倒格子對應關系,4. W-S原胞,4. 布里淵區(qū),69,高級教育,簡立方晶格的倒格子仍然是簡立方格子,1-8 簡單立方晶格,i,j,k,正格子,倒格子,70,高級教育,體心立方晶格的倒格子是面心立方格子,1-8 體心立方晶格,i,j,k,正格子,倒格子,71,高級教育,面心立方晶格的倒格子是體心立方格子,1-8 面心立方晶格,i,j,k,正格子,倒格子,72,高級教育,布里淵區(qū)：倒空間的W-S原胞,1-9 布里淵區(qū),在倒空間中以某個格點為中心，作其與鄰近格點的中垂面，這些中垂面所包含最小體積的區(qū)域為布里淵區(qū),簡單立方晶格k空間的二維示意圖,73,高級教育,第一布里淵區(qū)又稱簡約布里淵區(qū)

27、。 其界面方程為,簡約布里淵區(qū)的意義： 1. 由于晶格的平移對稱性， 和 （相差一個倒格矢） 所對應的兩個狀態(tài)在物理上是等價的 2. 簡約布里淵區(qū)內的全部波矢 代表了晶體中所有的電子態(tài)， 區(qū)外的波矢都可通過平移倒格矢在該區(qū)內找到等價狀態(tài)點 3. 這樣定義的布里淵區(qū)，它的邊界面滿足Bragg反射條件 4. 討論固體性質時，可以只考慮第一布里淵區(qū),為什么引入布里淵區(qū),1-9 布里淵區(qū),74,高級教育,簡立方倒格子還是簡立方,第一布里淵區(qū)為原點和6個近鄰格點的垂直平分面圍成的立方體,1-9 簡立方布里淵區(qū),75,高級教育,體心立方倒格子為面心立方,第一布里淵區(qū) 原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍

28、成的正十二面體,1-9 體立方布里淵區(qū),76,高級教育,面心立方倒格子為體心立方,1-9 面立方布里淵區(qū),第一布里淵區(qū)為原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的6個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的14面體,77,高級教育,1901諾貝爾物理學獎,W.C.倫琴 (德國) 發(fā)現倫琴射線(X射線,從X射線衍射引出倒格矢概念,M.V.勞厄 發(fā)現X射線通過晶體時的衍射，決定了X射線波長，證明了晶體的原子點陣結構,1914諾貝爾物理學獎,W.H.布拉格 W.L.布拉格 用X射線分析晶體結構,1915諾貝爾物理學獎,78,高級教育,入射線與反射線之間的光程差： =S

29、A+A T=2d sin,把晶體對X射線的衍射看成是晶面對X射線的反射,1-9 布拉格定律,布拉格假設入射波從原子平面作鏡面反射，但每個平面只反射很小 部分（另外部分穿透），當反射波發(fā)生相長干涉時，就出現衍射極大 只有入射的10-310-5部分被每個面反射，大部分穿透，要有足夠多的 原子面參與反射,滿足衍射方程： 2dh1h2h3 sin =n,可見光可以發(fā)生布拉格衍射嗎？為什么？ 如入射束全部反射了， 還有沒有衍射圖像,79,高級教育,CO= -Rl S0 OD= Rl S 衍射加強： Rl （ SS0 ）=n 由：ko=(2/ ) S0 k=(2/ ) S k即X射線的波矢 得：Rl （ kk0 ）= 2 n 因為： Rl Kh=2 n,物理意義：當入射波矢和衍射波矢相差一個或幾個Kh（倒格矢） 時，滿足衍射加強條件，