高等數(shù)學(xué)：2.4 矩陣的秩

1、第二章 矩 陣,2.4 矩陣的秩,2015. 10. 27,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,k階子式,1. 矩陣A的子式,一. 秩的概念,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,2. 矩陣A的秩,記為r(A)或秩(A,r(A) = r,A中有一個r階子式不為零,A的所有l(wèi)（lr）階子式都等于零,零矩陣的秩規(guī)定為0,1. Amn的k階子式共有 個,2. 若Amn的所有r+1階子式都等于零， 它的r+2階子式呢,問題,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,2. 矩陣A的秩,記為r(A)或秩(A,r(A) = r,A中有一個r階子式不為零,A的所有l(wèi)（lr）階子式都等于零,零矩陣的秩規(guī)定為0,例1. 若An是可逆

2、陣, r(A) = _,滿秩矩陣,注：設(shè) A 是 s n 階矩陣， 若 r(A) = s, 稱A是行滿秩矩陣； 若 r(A) = n, 稱A是列滿秩矩陣,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,2. 矩陣A的秩,記為r(A)或秩(A,r(A) = r,A中有一個r階子式不為零,A的所有l(wèi)（lr）階子式都等于零,零矩陣的秩規(guī)定為0,例2. 設(shè)Amn 是一個矩陣，且r(A)=r，則 r(AT)=,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,2. 矩陣A的秩,記為r(A)或秩(A,r(A) = r,A中有一個r階子式不為零,A的所有l(wèi)（lr）階子式都等于零,零矩陣的秩規(guī)定為0,按照定義求矩陣的秩是一件很麻煩的事,3,第

3、二章 矩陣,2.4 矩陣的秩,任何一個矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行變換 化為階梯形矩陣,階梯形矩陣的秩等于其非零行的數(shù)目,問題：初等行變換是否改變矩陣的秩,問題：初等行變換是否改變矩陣的秩,1)對換兩行 ri rj,2) 倍乘 rik,3) 倍加 ri+krj,設(shè)A是一個矩陣，A經(jīng)過一次初等行變換化為B,r(A) r(B,r(A) r(B,r(A) r(B,命題：初等行變換不減小矩陣的秩,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,由于矩陣A B，則 B A,定理：初等行變換不改變矩陣的秩,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,定義. 初等列變換,1) 對換變換: ci cj,2)

4、 倍乘變換: ci k, 其中k 0,3) 倍加變換: ci+kcj,初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換,定理：初等變換不改變矩陣的秩,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,等價,記為 A B,命題. 設(shè)A, B都是sn矩陣, 則,A B r(A) = r(B,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,等價,記為 A B,反身性 A A,對稱性 A B B A,傳遞性 (A B, B C) A C,矩陣的等價關(guān)系滿足,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,行階梯形,行最簡形,等價）標(biāo)準(zhǔn)形,問題：經(jīng)過初等變換，矩陣能化成何種 簡單的形式,例,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,等價）標(biāo)準(zhǔn)形,Amn,問題：經(jīng)過初等變換，矩陣能化成何種 簡單的形式,一般地,2.4 矩陣的秩,第二章 矩陣,定理,設(shè)A, B都是sn矩陣,則,A B r(A) = r(B,A,B,A B,A B r(A) = r(B,證明: (,注：矩陣的秩是同型矩陣等價的完全不變量,矩陣在等價意義下的分類,設(shè)Amn是一個矩陣，且r(A) = r，則,Am