輔導：利用旋轉的基本性質進行幾何證明

1、輔導：利用旋轉的基本性質進行幾何證明正方形滾動一周，就是滾動四個90 角。如圖：滾動第一個 90 時， a 點所經(jīng)過的路線長是以點c 為圓心、 ac長為半徑的 - 圓周長，此時a 點滾動到了a1 點 (d 點滾動到了d1點 ); 滾動第二個 90 時，其路線長是以點 d1 為圓心、 a1d1長為半徑的 - 圓周長，此時 a1 點滾動到了 a2 點的位置 ; 滾動第三個 90 時，由于以點 a2 為圓心，此時 a2 點的位置未變 (b2 點滾動到了 b3 點); 滾動第四個 90 時其長是以點 b3 為圓心、b3c3長為半徑的 - 圓周長，此時 a3 點滾動到了 a4 點的位置。a 點滾動一周經(jīng)

2、過的路線長為：-8-+-8+0+-8=(4-+8)，當正方形滾動兩周時，正方形頂點a 所經(jīng)過的路線的長等于(8-+16) 。 思維延伸 2 ：如圖 2，將邊長為 1 的正方形 oapb沿 x 軸正方向連續(xù)翻轉 2019 次，點 p 依次落在 p1、p2、p3、p4p2019的位置，則 p2019 的橫坐標為 _。 解析 正方形沿 x 軸正方向連續(xù)翻轉 4 次正好翻轉了一周翻轉 2019 次就是翻轉了 502 周。從 p 點經(jīng)過的路線可以看出，在每個周期內， p 點相應的沿著 x 軸的正方向移動了 4個單位長度正方形 oapb沿 x 軸正方向連續(xù)翻轉2019 次后 p點向前移動了4502=201

3、9 個單位長度p 點的橫坐標為-1+2019=2019 。例 6. 如圖 6 所示，已知在 abc 中，acb=90，ac=bc，p 是 abc第 1頁內一點，且pa=3， pb=1， pc=2，求 bpc的度數(shù)。 解析 可先將 apc繞點 c 按逆時針方向旋轉90 到 bec的位置，由旋轉的性質知，此時cpe 是等腰直角三角形，cpe=45，在 bpe中，由勾股定理逆定理可證出bpe=90，由此可求出bpc的度數(shù)。 全解 將 apc繞點 c按逆時針方向旋轉90 到 cbe的位置，連結 pe apc bec ec=pc=2， eb=pa=3， cpe是等腰直角三角形pc=2， cpe=45pe

4、=2，-在 bpe中(2 -)2+12=32 ，即 pe2+pb2=be2bpe 為 rt，bpe=90bpc=cpe+bpe=45+90=135 思維延伸1 如圖已知，在等邊三角形abc內有一點m，且ma=3， mb=4， mc=5，求等邊三角形abc的面積。 解析 求等邊三角形的面積，關鍵是求出等邊三角形的邊長。將 amb繞點 b 按逆時針方向旋轉 60 到 cm1b的位置，連結 mm1，過 b 點做 bdcm1交 cm1的延長線于點 d, 可得 bmm1 是等邊三角形 mm1=bm1=bm=4，cm1=am=3，bm1m=60，在 mm1c中，可證m1m2+m1c2=mc2mm1c=90

5、，故 bm1c=150bm1d=30。在 rtbm1d中，可求出 bd=2，m1d=2-。在 rtbdc中， bc2=22+(2-+3)2=25+12-sabc=-bc2=-(25+12-)=9+-(單位面積 ) 點評 本題的前半部分與例6 類似，先求出 bm1c=150，再在rtbm1d中，分別求出bd、m1d的長，最后在rtbdc中求第 2頁出 bc2的長，從而求出 abc 的面積。小結：通過以上例題可以看出：1. 利用旋轉的基本性質進行幾何證明的關鍵在于如何正確的使用其基本性質。如：例 1、例 2、例 3、例 6 都運用了旋轉前、后的圖形全等的性質 ; 例 4 運用了對應點到旋轉中心的距離相等以及對應點與旋轉中心