初等數(shù)學(xué)研究-文檔資料

1、初等數(shù)學(xué)（方法）研究,石家莊學(xué)院數(shù)信系 孫慶利 TELEmail：,2,課程簡(jiǎn)介,初等數(shù)學(xué)（方法）研究主要包括初等代數(shù)和初等幾何兩部分內(nèi)容，它是一門(mén)古老而又充滿生命力的學(xué)科，是師范院校數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的必修課程。本課程比較系統(tǒng)地闡述了初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，其中包括集合與邏輯、數(shù)與式的理論及方法、函數(shù)、方程與不等式的理論及方法、幾何變換、幾何推理論證的理論與方法、排列組合與概率統(tǒng)計(jì)初步以及中學(xué)數(shù)學(xué)解題策略等內(nèi)容。為密切聯(lián)系中學(xué)教學(xué)實(shí)際，本課程配置了與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題相吻合的例題與習(xí)題，并在內(nèi)容、形式上略作提高。例題分析，著重揭示初等代數(shù)與初等幾何問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)

2、學(xué)思想及通性通法，以提高用數(shù)學(xué)的思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,3,參考書(shū)目,1 趙振威,章士藻，初等代數(shù)研究，華東師大出版社, 2008年印。 2 趙振威,章士藻，初等幾何研究，華東師大出版社，2008年印。 3余元希編著，初等代數(shù)研究，高等教育出版社, 2010年印。 4李長(zhǎng)明,周煥山，初等數(shù)學(xué)研究，高等教育出版社，2007年印,4,數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，它是以解決客觀世界的事物的內(nèi)在邏輯聯(lián)系的“問(wèn)題”為主要目的在這個(gè)意義上來(lái)講，探索解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題規(guī)律及解題方法就是十分重要的通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)的內(nèi)在基本結(jié)構(gòu)的分析和研究，從而順利地解決問(wèn)題，對(duì)提高我們的數(shù)學(xué)思維方式及解決問(wèn)題的

3、能力都有十分重要的意義 數(shù)學(xué)的內(nèi)容就是由一種形態(tài)與另一種形態(tài)的對(duì)比和關(guān)系的轉(zhuǎn)化（化歸）要解決好一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，首要的是要對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)成的結(jié)構(gòu)要先有充分的認(rèn)識(shí)，再熟知一些推演關(guān)系的基本手段及方法其次，要善于把問(wèn)題的假設(shè)和結(jié)論溝通起來(lái)，借助已有的（盡可能多的）數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論，從而順利地解決問(wèn)題,5,解決問(wèn)題有“通法”和“技巧”，但我們一定要知道“巧”不是解題的大道，只是一條捷徑，而捷徑不是處處都有的只有練好解題的基本功，則解題的捷徑也就不難找到要掌握解題的通法，必須要知道一些數(shù)學(xué)形態(tài)的“通性”，即它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及這些結(jié)構(gòu)的邏輯聯(lián)系、演化規(guī)律每一種典型的基本結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)形態(tài)中的作用以及處理它的一些

4、常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識(shí)解題能力的大小，就是你擁有的這種數(shù)學(xué)知識(shí)的體現(xiàn)它就像要給人治病，必須先了解人體的各部分組成的器官和構(gòu)成器官的細(xì)胞和它們的生命作用只有這樣練好了基本功，就會(huì)得到解題的通法，找到處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的“大道” 總之，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入的分析，對(duì)各種基本結(jié)構(gòu)彼此關(guān)聯(lián)的本質(zhì)進(jìn)行探索，掌握好處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般的數(shù)學(xué)思維方式和方法，才能達(dá)到掌握解決問(wèn)題的本領(lǐng)把初等數(shù)學(xué)作為一個(gè)系統(tǒng)，用“結(jié)構(gòu)”的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分析研究,6,第一講 元的認(rèn)識(shí)-主元及常用的元 第二講 數(shù)系的擴(kuò)充與數(shù)學(xué)歸納法 第三講 關(guān)于解析式理論的一些問(wèn)題及方法 第四講 關(guān)于函數(shù)的思想與方法 第五講 關(guān)于方程與不等式

5、第六講 關(guān)于幾何證明與推理 第七講 關(guān)于幾何量計(jì)算的有關(guān)問(wèn)題,7,第一講 元的認(rèn)識(shí) 內(nèi)容簡(jiǎn)介： 代數(shù)一個(gè)主要內(nèi)容是對(duì)數(shù)符、字符和運(yùn)算符組合成的代數(shù)式進(jìn)行研究，通過(guò)運(yùn)算、恒等變形、轉(zhuǎn)換形式及數(shù)理的邏輯推演，從而達(dá)到對(duì)客觀世界的自然形態(tài)的認(rèn)識(shí)和變化規(guī)律的認(rèn)知，使人類(lèi)改造世界的目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)；初等數(shù)學(xué)中，代數(shù)的基本內(nèi)容主要是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、式子的恒等變形的技巧訓(xùn)練、方程的求解、函數(shù)觀點(diǎn)的確定、不等量的比較等；它對(duì)學(xué)者有一個(gè)最基本的要求就是要建立對(duì)“基元”的認(rèn)識(shí)下面舉例說(shuō)明,8,9,10,11,12,13,14,15,元的認(rèn)識(shí)-換元法思想,1、 解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果直接解決原問(wèn)題有困難，或原問(wèn)題不易下手，或由

6、原問(wèn)題的條件難以直接得出結(jié)論時(shí)，往往需要引入一個(gè)或若干個(gè)“新元”代換問(wèn)題中原來(lái)的“元”，使以“新元”為基礎(chǔ)的問(wèn)題求解比較容易，解決以后將結(jié)果恢復(fù)為原來(lái)的元，即可得原問(wèn)題的結(jié)果。這種解決問(wèn)題的方法稱(chēng)為換元法。又稱(chēng)變量代換法或輔助元素法,2、換元的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過(guò)變量代換，使原問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，使問(wèn)題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的,換元法是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的基本方法之一,3、利用換元法的關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇“新元”，引進(jìn)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路，能使問(wèn)題簡(jiǎn)化。或把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，把復(fù)

7、雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題,18,例9 分解因式,解: 設(shè),原式,19,解一：令,原式,20,解二：令,原式,思考,21,例11 ：求證任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積再加上1 是一個(gè)完全平方數(shù),分析證明：設(shè)任意四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)最小的為x,由題意：x(x+1)(x+2)(x+3)+1,22,主元及常用的元 在一個(gè)數(shù)學(xué)形態(tài)中，可作元的基本結(jié)構(gòu)可能不止一個(gè)，有些元是明確的，有的元是模糊的；有的元處于主導(dǎo)地位，有的元處于從屬地位；有些元互相關(guān)聯(lián)，有些元之間關(guān)系不太明朗；所以在應(yīng)用方面技巧性強(qiáng)，比較靈活處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要留心觀察，認(rèn)真比較，仔細(xì)分析，反復(fù)思考，在一個(gè)問(wèn)題的眾多元中，選擇主元十分重要，根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)關(guān)系等特征，解決問(wèn)題采用的變形手段也是有一定的規(guī)律可遵循的,例12 分解因式,解一：注意到,觀察原式可設(shè)原式,為待定系數(shù),故，原式,展開(kāi)上式，原式,由多項(xiàng)式恒等定理知,解二,解: 原方程可化為,則方程化為,解方程,得,經(jīng)檢驗(yàn),知它們都是原方程的解,解：令,比值換元,代入原式化簡(jiǎn)得,解得