e度_初賽算法

1、NOIP 初賽復(fù)習(xí)基本算法一、數(shù)論算法 1求兩數(shù)的最大公約數(shù) function gcd(a,b:integer):integer; beginif b=0 then gcd:=aelse gcd:=gcd (b,a mod b); end ;2求兩數(shù)的最小公倍數(shù) function lcm(a,b:integer):integer; beginif a0 do inc(lcm,a); end;補(bǔ)充：最小公倍數(shù) =a*b div 最大公約數(shù)3素數(shù)的求法A. 小范圍內(nèi)判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)： function prime (n: integer): Boolean;var I: integer;beg

2、infor I:=2 to trunc(sqrt(n) do if n mod I=0 then begin prime:=false; exit; end;prime:=true;end;50000 以內(nèi)的素數(shù)表）B. 判斷Iongint范圍內(nèi)的數(shù)是否為素數(shù)(包含求 procedure getprime;vari, j:Iongint; p:array1.50000 of booIean;begin fiIIchar(p,sizeof(p),true);p1:=faIse; i:=2;whiIe i50000 do beginif pi then beginj:=i*2;whiIe j=x

3、then breakelse if x mod pri=0 then exit; prime:=true;end;primeanother method:( 開素數(shù)表 )(maxn=1000000) fillchar(a,sizeof(a),true);for i:=2 to trunc(sqrt(maxn) do for j:=i to maxn div i do ai*j:=false;program life;beginrepeatsurpass myself;until 0=1;end.二、圖論算法1最小生成樹A.Prim 算法：procedure prim(v0:integer);v

4、ar lowcost,closest:array1.maxn of integer;i,j,k,min:integer;beginfor i:=1 to n do begin lowcosti:=costv0,i; closesti:=v0;end;for i:=1 to n-1 do begin 尋找離生成樹最近的未加入頂點 k min:=maxlongint;for j:=1 to n doif (lowcostjmin) and (lowcostj0) then begin min:=lowcostj;k:=j;end; lowcostk:=0; 將頂點 k 加入生成樹 生成樹中增加一條

5、新的邊 k 到 closestk 修正各點的 lowcost 和 closest 值 for j:=1 to n doif costk,jlwocostj then begin lowcostj:=costk,j; closestj:=k;end;end; end;primB.Kruskal 算法： (貪心 ) 按權(quán)值遞增順序刪去圖中的邊，若不形成回路則將此邊加入最小生成樹。 function find(v:integer):integer; 返回頂點 v 所在的集合 var i:integer;begini:=1;while (i=n) and (not v in vseti) do inc

6、(i);if i0 do begini:=find(eq.v1);j:=find(eq.v2);if ij then begininc(tot,eq.len);vseti:=vseti+vsetj;vsetj:=;dec(p);end;inc(q);end;writeln(tot);end;2. 最短路徑A. 標(biāo)號法求解單源點最短路徑：vara:array1.maxn,1.maxn of integer;b:array1.maxn of integer; bi 指頂點 i 到源點的最短路徑 mark:array1.maxn of boolean;procedure bhf;varbest,be

7、st_j:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),false);mark1:=true; b1:=0;1 為源點 repeatbest:=0;for i:=1 to n dolf marki then 對每一個已計算出最短路徑的點 for j:=1 to n doif (not markj) and (ai,j0) thenif (best=0) or (bi+ai,j0 then begin bbest_j:=best ；markbest_j:=true;end;until best=0;end;bhfB. Floyed 算法求解所有頂點對之間的最短路

8、徑：procedure floyed;begin for I:=1 to n do for j:=1 to n do if aI,j0 then pI,j:=I else pI,j:=0; pI,j 表示 I 到 j 的最短路徑上 j 的前驅(qū)結(jié) 點for k:=1 to n do 枚舉中間結(jié)點 for i:=1 to n dofor j:=1 to n doif ai,k+aj,kai,j then begin ai,j:=ai,k+ak,j;pI,j:=pk,j;end;end;C. Dijkstra 算法：vara:array1.maxn,1.maxn of integer;b,pre:a

9、rray1.maxn of integer; prei 指最短路徑上 I 的前驅(qū)結(jié)點 mark:array1.maxn of boolean;procedure dijkstra(v0:integer);begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); for i:=1 to n do begin di:=av0,i;if di0 then prei:=v0 else prei:=0;end;markv0:=true;repeat 每循環(huán)一次加入一個離 1 集合最近的結(jié)點并調(diào)整其他結(jié)點的參數(shù) min:=maxint; u:=0; u 記錄離 1 集合最近的結(jié)點

10、for i:=1 to n doif (not marki) and (dimin) then beginu:=i; min:=di;end;if u0 then beginmarku:=true;for i:=1 to n doif (not marki) and (au,i+dudi) then begin di:=au,i+du;prei:=u;end;end;until u=0;end;3. 計算圖的傳遞閉包Procedure Longlink;VarT:array1.maxn,1.maxn of boolean;BeginFillchar(t,sizeof(t),false);For

11、 k:=1 to n doFor I:=1 to n doFor j:=1 to n do TI,j:=tI,j or (tI,k and tk,j); End;4無向圖的連通分量A. 深度優(yōu)先 procedure dfs ( now,color: integer);beginfor i:=1 to n doif anow,i and ci=0 then begin 對結(jié)點 I 染色 ci:=color;dfs(I,color);end;end;B 寬度優(yōu)先（種子染色法）5關(guān)鍵路徑幾個定義： 頂點 1 為源點， n 為匯點。a. 頂點事件最早發(fā)生時間Vej, Ve j = max Ve j +

12、 wI,j ,其中 Ve (1) = 0;b. 頂點事件最晚發(fā)生時間 Vlj, Vl j = min Vlj - wI,j , 其中 Vl(n) = Ve(n); c.邊活動最早開始時間Eel,若邊I由表示，則Eel = Vej;d. 邊活動最晚開始時間Ell,若邊 I 由 表示，則 Ell = Vlk - wj,k;若 Eej = Elj ，則活動 j 為關(guān)鍵活動，由關(guān)鍵活動組成的路徑為關(guān)鍵路徑。求解方法：a. 從源點起 topsort, 判斷是否有回路并計算 Ve;b. 從匯點起 topsort, 求 Vl;c. 算 Ee 和 El;6拓?fù)渑判蛘胰攵葹?0 的點，刪去與其相連的所有邊，不斷

13、重復(fù)這一過程。NO.例 尋找一數(shù)列，其中任意連續(xù) p 項之和為正，任意 q 項之和為負(fù)，若不存在則輸出7.回路問題Euler 回路 （DFS）定義：經(jīng)過圖的每條邊僅一次的回路。 （充要條件：圖連同且無奇點） Hamilton 回路定義：經(jīng)過圖的每個頂點僅一次的回路。一筆畫 充要條件：圖連通且奇點個數(shù)為 0 個或 2 個。9判斷圖中是否有負(fù)權(quán)回路Bellman-ford 算法xl,yl,tl分別表示第I條邊的起點，終點和權(quán)。共n個結(jié)點和m條邊。procedure bellman-fordbeginfor l:=0 to n-1 do dl:=+infinitive;d0:=0;for l:=1

14、to n-1 dofor j:=1 to m do 枚舉每一條邊 if dxj+tjdyj then dyj:=dxj+tj;for l:=1 to m doif dxj+tjdyj then return false else return true;end;10第 n 最短路徑問題 *第二最短路徑：每舉最短路徑上的每條邊，每次刪除一條，然后求新圖的最短路徑，取這 些路徑中最短的一條即為第二最短路徑。*同理，第 n 最短路徑可在求解第 n-1 最短路徑的基礎(chǔ)上求解。program life;beginrepeatsurpass myself;until 0=1;end.三、背包問題* 部分背

15、包問題可有貪心法求解：計算Pi/Wi數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：wi: 第 i 個背包的重量； pi: 第 i 個背包的價值；1 0-1 背包： 每個背包只能使用一次或有限次(可轉(zhuǎn)化為一次 )：A.求最多可放入的重量。NOlP2001 裝箱問題有一個箱子容量為v(正整數(shù)，o v 20000)，同時有n個物品(o n 30)，每個物品有個體積 (正整數(shù) )。要求從 n 個物品中，任取若千個裝入箱內(nèi)，使箱子的剩余空間為最小。 l 搜索方法procedure search(k,v:integer); 搜索第 k 個物品，剩余空間為 vvar i,j:integer;beginif v=best then exit;

16、sn 為前 n 個物品的重量和 if kwk then search(k+1,v-wk);search(k+1,v);end;end;l DPFI,j 為前 i 個物品中選擇若干個放入使其體積正好為 j 的標(biāo)志，為布爾型。 實現(xiàn) :將最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為判定性問題f I, j = f i-1, j-wi (wI=j0 thenif j+now=n then inc(cj+now,aj);a:=c;end;2可重復(fù)背包A 求最多可放入的重量。FI,j 為前 i 個物品中選擇若干個放入使其體積正好為 j 的標(biāo)志，為布爾型。 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為fI,j = f 1-1, j-wI*k (k=1. j div

17、 wl)B.求可以放入的最大價值。USACO 1.2 Score lnflation 進(jìn)行一次競賽，總時間 T 固定，有若干種可選擇的題目，每種題目可選入的數(shù)量不限，每 種題目有一個ti (解答此題所需的時間)和一個 si (解答此題所得的分?jǐn)?shù))，現(xiàn)要選擇若干 題目，使解這些題的總時間在 T 以內(nèi)的前提下，所得的總分最大，求最大的得分。* 易想到：fi,j = max f i- k*wj, j-1 + k*pj (0=k=0 ThenBegint:=problemj.point+fi-problemj.time;If tfi Then fi:=t;End; Writeln(fM); End.C

18、. 求恰好裝滿的情況數(shù)。Ahoi2001 Problem2求自然數(shù)n本質(zhì)不同的質(zhì)數(shù)和的表達(dá)式的數(shù)目。 思路一，生成每個質(zhì)數(shù)的系數(shù)的排列，在一一測試，這是通法。 procedure try(dep:integer);var i,j:integer;begincal; 此過程計算當(dāng)前系數(shù)的計算結(jié)果， now 為結(jié)果 if nown then exit; 剪枝 if dep=l+1 then begin 生成所有系數(shù) cal;if now=n then inc(tot);exit;end;for i:=0 to n div prdep do beginxsdep:=i;try(dep+1);xsde

19、p:=0;end;end;思路二，遞歸搜索效率較高 procedure try(dep,rest:integer);var i,j,x:integer;beginif (rest0 thenfor k:=1 to n div now doif j+now*k=n then inc(cj+now*k,aj);a:=c;end;mainbegin read(now); 讀入第一個物品的重量 i:=0;ai 為背包容量為 i 時的放法總數(shù) while i=n do beginai:=1; inc(i,now); end; 定義第一個物品重的整數(shù)倍的重量a值為1，作為初值for i:=2 to v d

20、obeginread(now);update; 動態(tài)更新 end;writeln(an);program life;beginrepeatsurpass myself;until 0=1;end.四、排序算法1.快速排序： procedure qsort(l,r:integer);var i,j,mid:integer;begini:=l;j:=r; mid:=a(l+r) div 2; 將當(dāng)前序列在中間位置的數(shù)定義為中間數(shù) repeatwhile aimid do dec(j); 在右半部分尋找比中間數(shù)小的數(shù)if ij;if lj then qsort(l,j); 若未到兩個數(shù)的邊界，則遞歸

21、搜索左右區(qū)間 if ir then qsort(i,r);end;sortB.插入排序：思路：當(dāng)前a1.ai-1已排好序了，現(xiàn)要插入ai使a1.ai有序。procedure insert_sort;var i,j:integer;beginfor i:=2 to n do begina0:=ai;j:=i-1;while a0aj then swap(ai,aj);end;D. 冒泡排序procedure bubble_sort;var i,j,k:integer;beginfor i:=1 to n-1 dofor j:=n downto i+1 doif ajaj-1 then swap(

22、 aj,aj-1); 每次比較相鄰元素的關(guān)系 end;E堆排序：procedure sift(i,m:integer); 調(diào)整以 i 為根的子樹成為堆 ,m 為結(jié)點總數(shù) var k:integer;beginaO:=ai; k:=2*i;在完全二叉樹中結(jié)點i的左孩子為2*i,右孩子為2*i+1while k=m do beginif (km) and (akak+1) then inc(k);找出 ak與 ak+1中較大值if a0ak then begin ai:=ak;i:=k;k:=2*i; endelse k:=m+1;end;ai:=a0; 將根放在合適的位置 end;procedu

23、re heapsort;varj:integer;beginfor j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n);for j:=n downto 2 do beginswap(a1,aj);sift(1,j-1);end;end;F. 歸并排序a 為序列表， tmp 為輔助數(shù)組 procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer);將已排序好的子序列ap.q與aq+1.r合并為有序的tmpp.rvar I,j,t:integer; tmp:listtype;begint:=p;i:=p;j:=q+1;t 為 tmp 指針， I,j 分

24、別為左右子序列的指針 while (t=r) do beginif (ir) or (ai=aj) 滿足取左邊序列當(dāng)前元素的要求 then begintmpt:=ai; inc(i);endelse begintmpt:=aj;inc(j);end;inc(t);end;for i:=p to r do ai:=tmpi;end;mergeprocedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer); 合并排序 ap.r var q:integer;beginif pr then begin q:=(p+r-1) div 2; merge_sort (a

25、,p,q); merge_sort (a,q+1,r); merge (a,p,q,r);end;end;main begin merge_sort(a,1,n);end.G基數(shù)排序 思想：對每個元素按從低位到高位對每一位進(jìn)行一次排序program life;begin repeat surpass myself;until 0=1;end.這個還是要自己編一個program life;begin repeat surpass myself;until 0=1;gram life;beginrepeat surpass myself;until 0=1;end.五、高精度計算 高

26、精度數(shù)的定義： type hp=array1.maxlen of integer;1高精度加法 procedure plus ( a,b:hp; var c:hp); var i,len:integer;begin fillchar(c,sizeof(c),0);if a0b0 then len:=a0 else len:=b0; for i:=1 to len do begininc(ci,ai+bi);進(jìn)位 if ci10 then begin dec(ci,10); inc(ci+1); end; end;if clen+10 then inc(len); c0:=len;end;plu

27、s2高精度減法 procedure substract(a,b:hp;var c:hp);var i,len:integer;beginfillchar(c,sizeof(c),0);if a0b0 then len:=a0 else len:=b0; for i:=1 to len do begin inc(ci,ai-bi);if ci1) and (clen=0) do dec(len);c0:=len;end;3高精度乘以低精度 procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp);var i,len:integer;begin fillchar(c,

28、sizeof(c),0);len:=a0;for i:=1 to len do begininc(ci,ai*b); inc(ci+1,(ai*b) div 10); ci:=ci mod 10;end;inc(len);while (clen=10) do begin 處理最高位的進(jìn)位 clen+1:=clen div 10; clen:=clen mod 10;inc(len);end;lenwhile (len1) and (clen=0) do dec(len); 若不需進(jìn)位則調(diào)整 c0:=len;end;multiply4高精度乘以高精度 procedure high_multipl

29、y(a,b:hp; var c:hp var i,j,len:integer;beginfillchar(c,sizeof(c),0);for i:=1 to a0 do for j:=1 to b0 do begin inc(ci+j-1,ai*bj);inc(ci+j,ci+j-1 div 10); ci+j-1:=ci+j-1 mod 10;end;len:=a0+b0+1;while (len1) and (clen=0) do dec(len); c0:=len;end;5高精度除以低精度procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d

30、:longint); c:=a div b; d:= a mod b var i,len:integer;beginfillchar(c,sizeof(c),0); len:=a0; d:=0;for i:=len downto 1 do begin d:=d*10+ai; ci:=d div b; d:=d mod b;end;while (len1) and (clen=0) then dec(len); c0:=len;end;6高精度除以高精度procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp); vari,len:integer;beginfillcha

31、r(c,sizeof(c),0); fillchar(d,sizeof(d),0);len:=a0;d0:=1;for i:=len downto 1 do begin multiply(d,10,d); d1:=ai;while(compare(d,b)=0) do 即 d=b beginSubtract(d,b,d);inc(ci);end;end;while(len1)and(c.slen=0) do dec(len); c.len:=len;end;program life;beginrepeatsurpass myself;until 0=1;end.六、樹的遍歷1已知前序中序求后序

32、 procedure Solve(pre,mid:string);var i:integer;beginif (pre=) or (mid=) then exit; i:=pos(pre1,mid);solve(copy(pre,2,i-1),copy(mid,1,i-1); solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i); post:=post+pre1; 加上根，遞歸結(jié)束后 post 即為后序遍歷 end;2已知中序后序求前序procedure Solve(mid,post:string);var i:intege

33、r;beginif (mid=) or (post=) then exit;i:=pos(postlength(post),mid);pre:=pre+postlength(post); 加上根，遞歸結(jié)束后 pre 即為前序遍歷 solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1);solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i);end;3已知前序后序求中序的一種function ok(s1,s2:string):boolean;var i,l:integer; p:boolean;begino

34、k:=true;l:=length(s1);for i:=1 to l do beginp:=false;for j:=1 to l doif s1i=s2j then p:=true;if not p then begin ok:=false;exit;end;end;end;procedure solve(pre,post:string);var i:integer;beginif (pre=) or (post=) then exit;i:=0;repeatinc(i);until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i);solve(copy(pre,2,i),c

35、opy(post,1,i);midstr:=midstr+pre1; solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1);end;七 進(jìn)制轉(zhuǎn)換1 任意正整數(shù)進(jìn)制間的互化除 n 取余2 實數(shù)任意正整數(shù)進(jìn)制間的互化 乘 n 取整3 負(fù)數(shù)進(jìn)制：并將此十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為設(shè)計一個程序， 讀入一個十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)和一個負(fù)進(jìn)制數(shù)的基數(shù)， 此負(fù) 進(jìn)制下的數(shù)：-R -2 , -3, -4,.-20八 全排列與組合的生成1 排列的生成： ( 1.n) procedure solve(dep:integer);vari:integer;b

36、eginif dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end;for i:=1 to n doif not usedi then begin s:=s+chr(i+ord(0);usedi:=true; solve(dep+1);s:=copy(s,1,length(s)-1); usedi:=false;end;end;2 組合的生成 (1.n 中選取 k 個數(shù)的所有方案 ) procedure solve(dep,pre:integer);vari:integer;beginif dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end

37、;for i:=1 to n doif (not usedi) and (ipre) then begin s:=s+chr(i+ord(0);usedi:=true; solve(dep+1,i);s:=copy(s,1,length(s)-1); usedi:=false;end;end;program life;begin repeat surpass myself;until 0=1;end.九.查找算法1 折半查找function binsearch(k:keytype):integer; var low,hig,mid:integer;beginlow:=1;hig:=n;mid:

38、=(low+hig) div 2;while (amid.keyk) and (lowk then hig:=mid-1else low:=mid+1; mid:=(low+hig) div 2;end;if lowhig then mid:=0;binsearch:=mid;end;2 樹形查找 二叉排序樹：每個結(jié)點的值都大于其左子樹任一結(jié)點的值而小于其右子樹任一結(jié)點的值。 查找function treesrh(k:keytype):pointer;var q:pointer;beginq:=root;while (qn il) and (qkeyk) doif kqkey the n q:

39、=q .leftelse q:=qright;treesrh:=q;end;十、貪心*會議問題(1) n 個活動每個活動有一個開始時間和一個結(jié)束時間，任一時刻僅一項活動進(jìn)行，求滿 足活動數(shù)最多的情況。解：按每項活動的結(jié)束時間進(jìn)行排序，排在前面的優(yōu)先滿足。(2) 會議室空閑時間最少。(3) 每個客戶有一個愿付的租金，求最大利潤。(4 )共R間會議室，第i個客戶需使用i間會議室，費用相同，求最大利潤。十一、回溯法框架1. n 皇后問題procedure try(i:byte);var j:byte;beginif i=n+1 then begin print;exit;end;for j:=1 t

40、o n doif ai and bj+i and cj-i then beginxi:=j;aj:=false; bj+i:=false; cj-i:=false;try(i+1);aj:=true; bi+j:=true; cj-i:=true;end;end;2. Hanoi Tower h(n)=2*h(n-1)+1 h(1)=1 初始所有銅片都在 a 柱上procedure hanoi(n,a,b,c:byte); 將第 n 塊銅片從 a 柱通過 b 柱移到 c 柱上 beginif n=0 then exit;hanoi(n-1,a,c,b); 將上面的 n-1 塊從 a 柱通過 c 柱移到 b 柱上 write(n, moved from ,a, to ,c);hanoi(n-1,b,a,c); 將 b 上的 n-1 塊從 b 柱通過 a 柱移到 c 柱上 end;初始銅片分布在 3 個柱上，給定目標(biāo)柱 goalh1.3,0.n 存放三個柱的狀態(tài)， now 與 nowp 存最大的不到位的銅片的柱號和編號,hI,0 存第I 個柱上的個數(shù)。Procedure move(k,goal:integer); 將最大不到位的 k 移到目標(biāo)柱 goal 上 BeginIf k=0 then exit;For I:=1 to 3 do