力學(xué)問題中的輕桿和輕繩

1、力學(xué)問題中的輕桿和輕繩 力學(xué)問題中常涉及到“輕桿”、“輕繩”模型，特別是在中學(xué)物理競賽題中，則更是屢見不鮮輕桿、輕繩是由各種實際情況中的桿和繩抽象出來的理想物理模型，作為這一模型，一般情況下，“輕”往往是相對于其它物體來說）指其質(zhì)量可以忽略，所受重力可以忽略，而桿和繩則往往是其形體在同一直線上且其長度是不發(fā)生變化的由此導(dǎo)致這一模型在運動學(xué)和靜力學(xué)中都有其特有的規(guī)律本文擬對此規(guī)律及其應(yīng)用、特別是在解中學(xué)物理競賽題中的應(yīng)用作一些簡單的探討 一、桿、繩上任意兩點的速度沿其自身方向上的投影值相等 這是桿、繩在運動中的一個重要特征，其原因是由于桿、繩的長度不變，即由所考察的兩點間的距離不變而得如圖1所示

2、，以v、v分別表示桿或繩）上A、B兩點的速度，v、vBlAlBA分別表示v和v沿桿或繩）方向的投影，則v表示A點相對于B點相互遠(yuǎn)離的速度，而vBlABAl則表示B點相對于A點相互靠近的速度，顯然，若此兩者相等，則A、B間的距離不變，即表示此桿或繩）的長度不變WkKFSIDUKUb5E2RGbCAP 1如圖2所示，長為l，不可伸長的棒A、B的兩端A和B分別沿直角頂點為C）的兩邊滑動，B端以速度v做勻速運動，以表示CBA，求：WkKFSIDUKUp1EanqFDPw 1）棒A端的運動速度； 2）棒的中點D運動的加速度 解 1）棒A端沿AC方向運動，其速度vA滿足 vcos90）vcos， A所以

3、vvcot A ， ）1/2l）D2）由于點為棒AB的中點，故有 1/2AB可見D點的運動軌跡為一段圓弧圓心為C，半徑為1/2）l），則D點的運動速度v沿此圓弧的切線方向，如圖3所示W(wǎng)kKFSIDUKUDXDiTa9E3d D1 / 6 以表示v與AB間的夾角，則有 vcosvcos， DD由于 2）/2，即 2/2， 則 vvcos/sin2v/2sin， v沿CB方向的分量為 vvcos）=vDsinDDDDxv/2WkKFSIDUKURTCrpUDGiT 由于v為恒量v/2），說明D點沿CB方向的運動為勻速運動，其加速度為零，則xDD點的加速度A必沿AC方向而A沿DC方向的投影即為D點做

4、圓周運動的向心加速DD223sin/2vl）v/l/2），所以 Acos度，故有 A/2）WkKFSIDUKU5PCzVD7HxA DDD引申：桿、繩上任意兩點的速度沿其自身方向上的投影值之差為其長度的變化率 當(dāng)桿或繩的長度可以變化時如一條橡皮筋被拉長或者是縮短時），則此桿或繩的兩端的速度沿其自身方向的投影值將不相等，這兩個投影值之差為其長度的變化率，結(jié)合圖1可見，這一變化率應(yīng)為v-v）WkKFSIDUKUjLBHrnAILg AlBl 2兩只小環(huán)O和O分別套在靜止不動的豎直桿AB和AB上，一根不可伸長的繩子一端系在A點上，并穿過環(huán)O，另一端系在環(huán)O上，如圖4所示若環(huán)O以恒定速度v向下運動，求

5、當(dāng)AOO時，環(huán)O的速度v?WkKFSIDUKUxHAQX74J0X 解 以O(shè)O間的繩為研究對象，其兩端的速度分別為v和v，這兩個速度分別沿BA方向和AB方向，其沿OO方向的投影值之差為vvcosvcos）vcosvcos，由于lv和v沿OO方向的投影都是導(dǎo)致O與O兩點互相靠近，故上述的vcosvcos）表2 / 6 示的是繩OO長度縮短的變化率，另一方面，由于環(huán)O向下運動的速度為v，則單位時間內(nèi)由環(huán)O中抽走的OO繩段的長度數(shù)值應(yīng)與v相等，即OO間繩的長度的變化率應(yīng)為v，故有 vcosvcosv， v1cos）/cos）vWkKFSIDUKULDAYtRyKfE 二、當(dāng)外力只作用于輕桿或輕繩）的

6、兩端時，則作用于一端的外力的合力必與作用于另一端的外力的合力大小相等、方向相反，且此兩合外力的作用線為由此桿或繩）所確定的直線WkKFSIDUKUZzz6ZB2Ltk 3如圖5所示，一根均勻細(xì)桿AB，上端A處用絞鏈與天花板相連，下端由絞鏈與另一均勻細(xì)桿BC相連，兩桿長度相等，且被限制在圖示的豎直平面內(nèi)運動，不計絞鏈處的摩擦，當(dāng)在C端施加一個適當(dāng)?shù)耐饬時，BC桿的質(zhì)量可以忽略不BCBCABAB計，則作用于BC桿C端的外力F必沿由C指向B的方向即CB方向）.m時，則AB桿的質(zhì)量可以忽略不計，故AB桿作用于BC桿的力F必沿AABBCBA方向F不能沿AB方向，否則BC桿將繞C點沿順時針方向轉(zhuǎn)動），而

7、BC桿的重力AG作用于BC之中點，G與F的作用線交于AB的中點D，如圖6所示，此時桿BC受ABCBC三力作用G、F和作用于C端的外力F）而平衡，由桿BC的平衡條件知，此三力必交ABC匯于一點，故知F應(yīng)沿CD方向WkKFSIDUKUEmxvxOtOco 3 / 6 以上討論的是兩種臨界情況，由于實際情況應(yīng)為0m/m，故滿足題述要求的BCAB作用于C端處的外力應(yīng)介于上述兩種臨界情況之間，即作用于C端的外力的方向應(yīng)在圖6中的DCB范圍之內(nèi)，且這一區(qū)間為一開區(qū)間WkKFSIDUKUSixE2yXPq5 4如圖7所示的屋架由多根無重桿連接而成，其中支點8可無摩擦地水平滑動，點9、2、5、7、8位于同一水

8、平線上，各點間沿水平方向和豎直方向的距離標(biāo)示如圖，點3和點1各承受有壓力P/2和P，求連接點3和點4的桿的內(nèi)力WkKFSIDUKU6ewMyirQFL 解 由于點8可水平無摩擦地滑動，則外界對點8的作用力N必沿豎直向上的方向，由于整個8屋架可繞點9轉(zhuǎn)動，則平衡條件為 PlP/2）2lN4l，所以 N88P/2WkKFSIDUKUkavU42VRUs 設(shè)想隔離出由點5、6、7、8組成的部分，由于桿15、47、36互相平行，故此三桿作用于這一部分的合力F必與此三桿方向平行，即沿與水平成角45方向，再以T表示桿2514325對這部分的作用力即為桿25的內(nèi)力，它必沿水平方向）則這部分相當(dāng)于受三力F、T

9、、N）作用而平衡，此三力的合力應(yīng)為零，由于N的方向豎直向上，F(xiàn)只能1432514388沿與圖中桿47平行的方向，則T只可能沿圖中水平向左的方向如水平向右，則此三力25不能平衡），如圖8所示，由此易得 TNP/2，WkKFSIDUKUy6v3ALoS89 825 即桿25中的內(nèi)力為張力，其大小為P/2 同上解法，設(shè)想將點9隔離出來，便可得到桿29中的內(nèi)力T為張力，其大小為P 29取點2為研究對象，由其水平方向上的受力平衡以T表示桿24的內(nèi)力）有 24TTTcos45， 242925 /2）P ）TT所以 T/cos45252924由于T沿桿25方向的投影由2指向5，可見桿24對點2的作用力為拉力

10、，即桿2424 的內(nèi)力為張力，其大小為P/2WkKFSIDUKUM2ub6vSTnP 4 / 6 取點4為研究對象，由其在垂直于桿74方向上的合力為零以T表示桿34的內(nèi)力）34的條件有 TTcos45，所以 TT/cos45PWkKFSIDUKU0YujCfmUCw 24342434桿34對點4的作用力為拉力，即得桿34的內(nèi)力為張力，其大小為P 引申：由輕桿或輕繩）相連的兩物體在同一過程中分別受到同一桿或繩）對它們的沖量必沿桿或繩）本身的方向，且此兩沖量的大小相等，方向相反WkKFSIDUKUeUts8ZQVRd 由于在任何時刻輕桿或輕繩）兩端的物體作用于此桿或繩）的力應(yīng)大小相等方向相t=-F

11、t，進(jìn)而有FF和F分別表示此兩力，則對于任一小段時間t均有反，以2121Ft=-Ft，這就是上面的結(jié)論WkKFSIDUKUsQsAEJkW5T 215質(zhì)量分別為m、m和m的三質(zhì)點A、B和C，位于光滑水平桌面上，用已拉直的、不可伸321長的柔軟輕繩AB和BC連結(jié)，ABC-，為一銳角，如圖9所示今有一沖量為I的沖擊力沿BC方向作用于質(zhì)點C，求質(zhì)點A開始運動時的速度WkKFSIDUKUGMsIasNXkA 解 設(shè)在外力沖量I作用的瞬間內(nèi)，AB和BC兩條細(xì)繩內(nèi)出現(xiàn)的張力對其兩端的質(zhì)點作用的沖量大小分別為I和I，又以v表示質(zhì)點A起動時的速度，顯然v的方向應(yīng)沿由A指向B的方21向，對于質(zhì)點A則有 Imv， WkKFSIDUKUTIrRGchYzg 11則質(zhì)點B運動的速度沿AB方向的分量也為v，對于質(zhì)點B則有 IcosImv 212又設(shè)質(zhì)點B運動的速度沿BC方