兩圓方程相減的幾何意義(最新整理)

1、方程 x 2 + y 2 + d x + e y + f = 0 與x 2 + y2 + d x + e y + f = 0111222相減后所得的直線方程的幾何意義在平常的學(xué)習(xí)中知道，如果把兩相交圓 o1 x2 + y2 + d x + e y + f = 0 和 o2 ：1112x 2 + y2 + dx + e 2y + f2= 0 的 方 程 相 減 所 得 到 的 直 線l：(d1 - d2 )x + (e1 - e 2 )y + f1 - f2 = 0 表示兩圓公共弦所在直線方程。但很多同學(xué)在用這個結(jié)論時沒注意到前提條件必須是兩圓相交。如果兩圓不相交，兩圓相減照樣可以得到直線l，但

2、l 的幾何意義就改變了。因而有必要就兩圓的5 種位置關(guān)系進(jìn)行討論直線l 的幾何意義。我就兩圓的 5 種位置關(guān)系進(jìn)行研究。一兩圓相交設(shè) p (x , y )、 p2 (x 2 , y2 )是兩圓的交點， 則有 x 2 + y2 + d x+ e y+ f = 0 和111111 11 11x 2 + y2 + d x+ e y + f = 0 成 立 ， 即p (x , y )、p (x , y) 滿 足 方 程221 21 21111222(x 2 + y2 + dx + e y + f ) - (x 2 + y2 + d x + e y + f ) = 0222111即(d1 - d2 )x

3、 + (e1 - e 2 )y + f1 - f2 = 0 。所以直線 l 表示兩圓相交弦所在直線。二兩圓相切（內(nèi)切或外切）當(dāng)把兩相交的圓逐漸往兩側(cè)移動時，兩交點逐漸靠近，最終重合為一點，此時兩圓外切， 同時與兩圓相交的直線 l 也就與兩圓只有一個公共點，直線 l 成為兩外切圓的過同一切點的公切線。因此，直線 l： (d1 - d2 )x + (e1 - e 2 )y + f1 - f2 = 0 表示兩外切圓的過同一切點的公切線。當(dāng)把兩相交的圓逐漸往中間移動時，兩交點逐漸靠近，最終重合為一點，此時兩圓內(nèi)切，同時，與兩圓相交的直線 l 也就與兩圓只有一個公共點，直線 l 成為兩內(nèi)切圓的過同一切點

4、的公切線。因此，直線 l： (d1 - d2 )x + (e1 - e 2 )y + f1 - f2= 0 表示兩內(nèi)1切圓的公切線。例如，圓o ： (x - a)2 + y 2= a 2 與圓o： (x - b)2 + y 2= b 2 相切2于原點，那么兩圓相減得： x = 0 ，該直線與兩圓相切于原點。下面就兩圓外切情況加以證明。d 2 + e 2 - 4fd 2 + e 2 - 4f設(shè)圓o ，圓o的半徑分別為 r , r，則 r 2 = 111 ， r 2 = 222 。121 21424由 兩 圓 外 切 得 ：=r +r， 化 簡 得 ： dd 2 1 - 2 + 1 - 2 ee2

5、 22 22 124r r= -d d-e e+ 2(f+ f )即：d1d2 + e1e 2= f + f- 2r r 又1 2121 21222121 2d2 + e 2 - 4fd2 + e 2 - 4fd2e 2r 2 = 111 ，r 2 = 222 ， 即 ：- 1 - 1 = -2r 2 - 2f ，14242211d2 + e 2 =+() ()2 22 222r 22f2。利用直線 ax+by+c=0 分線段a x1, y1b x 2, y2的比為l= - ax1 + by1 + c ，那么直線l 分o o 的比為ax 2 + by2 + c12(d - d )- d1 +

6、(e- e )- e1 + f - f12 2 12 2 12l= -(d - d )- d2 + (e - e )- e2 + f - f12d 2e 212 d de e2 2 12- 1 - 1 + 1 2 + 1 2 + f - f- 2r 2 - 2f+ f + f- 2r r+ f - f= -222212= -11121 212 d 2e 2d de e2r 2 + 2f - f - f+ 2r r + f - f 2 + 2 - 1 2 - 1 2 + f - f22121 212222212= r1 。又kr2o1o2 k l= -1 ，所以o1o2l（當(dāng)直線o1o2 與直線

7、 l 的斜率不存在時也成立）；且 o1o2 = r1 + r2 ，所以點o1 到直線 l 的距離為 r1 ，點o2 到直線 l 的距離為 r2 。所以直線 l與兩圓相切。 三兩圓相離x 2 + y2 + dx + ey + f這里首先得了解式子的含義。因為圓的方程有兩種表示，即0x 2 + y2 + dx + ey + f = (x - x )2 + (y - y)2 - r 2 = 0 。當(dāng)點 p（x，y）在圓外時，式x 2 + y 2 + dx + ey + f子對直線方程(x 2 + y2 + d=表示點 p 到圓的切線長。因而，(x - x ) + (y - y ) - r22200x

8、 + e y + f ) - (x 2 + y2 + d x + e y + f ) = 0 可以變形為：222111x 2 + y2 + d x + e y + f222x 2 + y2 + d x + e y + f111=，即點 p 到兩圓的切線長相等。因此，直線 l 的幾何意義是：到兩相離圓的切線長相等的點的集合。更進(jìn)一步，如果兩圓的半徑相等，直線 l 就是兩圓的對稱軸。四兩圓內(nèi)含同“三”易知，直線 l 上的點到兩圓的切線長相等。（注：以上兩圓非同心圓） 五范例例：已知圓o1 與圓o2 ： x + y = 1 外切于點 o，且兩圓的過點 o 的公切線為 y = x + b ，22已知圓

9、o1 的圓心落在直線上 x - y = 4 ，求圓o1 的方程。解 ： 易 得b = -2。 設(shè) 圓o1 ：x 2 + y2 - 1 + l(x - y -2 )= 0 ， 即 ：x 2 + y2 + lx - ly -2l- 1 = 0 ，圓心坐標(biāo)- l l 落在直線 x - y = 4 ，解得l= -4 。 22,21所以圓o 的方程為x 2 + y2 - 4x + 4y + 4- 1 = 0 。最后，利用幾何畫版動畫演示圓o1 ，圓o2 ，直線 l 的位置關(guān)系。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said,

10、 people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet