(完整版)中考專題復(fù)習全等三角形(含答案)(最新整理)

1、中考專題復(fù)習全等三角形知識點總結(jié)一、全等圖形、全等三角形：1. 全等圖形：能夠完全的兩個圖形就是全等圖形。2. 全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的、分別相等。3. 全等三角形： 三角形是特殊的多邊形，因此，全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。同樣，如果兩個三角形的邊、角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。說明：全等三角形對應(yīng)邊上的高，中線相等，對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。這里要注意：（1）周長相等的兩個三角形，不一定全等；（2）面積相等的兩個三角形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1. 一般三角形全等的判定（1） 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（“邊邊邊”或“” ）。（2）

2、 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“邊角邊”或“”)。（3） 兩個角和它們的夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“角邊角”或“”)。（ 4） 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(“ 角角邊” 或“”)。2. 直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(“ 斜邊、直角邊” 或“”)注意：兩邊一對角(ssa)和三角(aaa)對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。3. 性質(zhì)1、全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。2、全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。3、全等三角形的對應(yīng)角平分線相等。4、全等三角形的對應(yīng)中線相等。5、全

3、等三角形面積相等。6、全等三角形周長相等。(以上可以簡稱:全等三角形的對應(yīng)元素相等)三、角平分線的性質(zhì)及判定：性質(zhì)定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等。判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上。四、證明兩三角形全等或利用它證明線段或角相等的基本方法步驟：1. 確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；2. 回顧三角形判定公理，搞清還需要什么；3.正確地書寫證明格式（順序和對應(yīng)- 12 -關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問題）。全等三角形綜合復(fù)習切記：“有三個角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三角形不一定

4、全等。例 1. 如圖， a, f , e, b 四點共線， ac ce ， bd df ， ae = bf ， ac = bd 。求證：dacf dbde 。例 2. 如圖，在dabc 中， be 是abc 的平分線， ad be ，垂足為 d 。求證：2 = 1 + c 。例 3. 如圖，在dabc 中， ab = bc ， abc = 90o 。 f 為 ab 延長線上一點，點 e 在 bc 上， be = bf ，連接 ae, ef 和cf 。求證： ae = cf 。例 4. 如圖， ab / cd ， ad / bc ，求證： ab = cd 。例 5. 如圖， ap, cp 分別是

5、dabc 外角mac 和nca 的平分線，它們交于點 p 。求證： bp 為mbn 的平分線。例 6. 如圖， d 是dabc 的邊 bc 上的點，且cd = ab ， adb = bad ， ae 是dabd的中線。求證： ac = 2 ae 。例 7. 如圖， 在 dabc 中， ab ac ， 1 = 2 ， p 為 ad 上任意一點。求證： ab - ac pb - pc 。同步練習一、選擇題：1. 能使兩個直角三角形全等的條件是()a. 兩直角邊對應(yīng)相等b. 一銳角對應(yīng)相等c. 兩銳角對應(yīng)相等d. 斜邊相等2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一dabc 的是()a. ab = 3 ， bc

6、= 4 ， ca = 8c. c = 60o ， b = 45o ， ab = 4b. ab = 4 ， bc = 3， a = 30od. c = 90o ， ab = 63. 如圖，已知1 = 2 ， ac = ad ，增加下列條件： ab = ae ； bc = ed ；c = d ； b = e 。其中能使dabc daed 的條件有()a. 4 個b. 3 個c. 2 個d. 1 個4. 如圖， 1 = 2 ， c = d ， ac, bd 交于 e 點，下列不正確的是()a. dae = cbec. ddea 不全等于dcbeb. ce = ded. deab 是等腰三角形5. 如

7、圖，已知 ab = cd ， bc = ad ， b = 23o ，則d 等于()a. 67ob. 46oc. 23od. 無法確定二、填空題：6. 如圖， 在 dabc 中， c = 90o ， abc 的平分線 bd 交ac 于點 d ， 且cd : ad = 2 : 3 ， ac = 10cm ，則點 d 到 ab 的距離等于cm ；7. 如圖， 已知 ab = dc ， ad = bc ， e, f 是 bd 上的兩點， 且 be = df ， 若aeb = 100o ， adb = 30o ，則bcf = ；8. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊， bc, bd 為折痕，則cbd 的

8、大小為 ；9. 如圖，在等腰 rtdabc 中， c = 90o ， ac = bc ， ad 平分bac 交 bc 于 d ， de ab 于 e ，若 ab = 10 ，則dbde 的周長等于；10. 如圖，點 d, e, f , b 在同一條直線上， ab / cd ， ae / cf ，且 ae = cf ，若bd = 10 ， bf = 2 ，則 ef =；三、解答題：11. 如圖， dabc 為等邊三角形，點 m , n 分別在 bc, ac 上，且 bm = cn ， am與 bn 交于q 點。求aqn 的度數(shù)。12. 如圖， acb = 90o ， ac = bc ， d 為

9、ab 上一點， ae cd ， bf cd ，交 cd 延長線于 f 點。求證： bf = ce 。答案例 1. 思路分析：從結(jié)論dacf dbde 入手，全等條件只有 ac = bd ；由 ae = bf 兩邊同時減去 ef 得到 af = be ，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是cf = de ，也可以是a = b 。由條件 ac ce ， bd df 可得ace = bdf = 90o ，再加上 ae = bf ， ac = bd，可以證明dace dbdf ，從而得到a = b 。解答過程：q ac ce ， bd df ace = bdf = 90o在 rtdace 與

10、 rtdbdf 中 ae = bfq ac = bd rtdace rtdbdf (hl) a = bq ae = bf ae - ef = bf - ef ，即 af = be在dacf 與dbde 中 af = beq a = b ac = bd dacf dbde (sas)解題后的思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€題目，得出解題思

11、路。例 2. 思路分析：直接證明2 = 1 + c 比較困難，我們可以間接證明，即找到a，證明2 = a且a= 1 + c 。也可以看成將2 “轉(zhuǎn)移”到a。那么a在哪里呢？角的對稱性提示我們將 ad 延長交 bc 于 f ，則構(gòu)造了 fbd，可以通過證明三角形全等來證明2=dfb，可以由三角形外角定理得dfb= 1+c。解答過程：延長 ad 交 bc 于 f在dabd 與dfbd 中abd = fbdq bd = bdadb = fdb = 90o又q dfb = 1 + c dabd dfbd (asa 2 = 1 + c 。 2 = dfb解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用

12、翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例 3. 思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個三角形。以線段 ae 為邊的dabe 繞點 b 順時針旋轉(zhuǎn)90o 到dcbf 的位置，而線段 cf 正好是dcbf 的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過程：q abc = 90o ， f 為 ab 延長線上一點 abc = cbf = 90o在dabe 與dcbf 中 ab = bcq abc = cbfbe = bf dabe dcbf (sas) ae = cf 。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應(yīng)邊和對應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是

13、重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例 4. 思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題。解答過程：連接 acq ab / cd ， ad / bc 1 = 2 ， 3 = 4在dabc 與dcda 中1 = 2q ac = ca4 = 3 dabc dcda (asa) ab = cd 。解題后的思考：連接四邊形的對角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。例 5. 思路分析：要證明“ bp 為mbn 的平分線”，可以利用點 p 到 bm , bn 的

14、距離相等來證明，故應(yīng)過點 p 向 bm , bn 作垂線；另一方面，為了利用已知條件“ ap, cp分別是mac 和nca 的平分線”，也需要作出點 p 到兩外角兩邊的距離。解答過程：過 p 作 pd bm 于 d ， pe ac 于 e ， pf bn 于 fq ap 平分mac ， pd bm 于 d ， pe ac 于 e pd = peq cp 平分nca ， pe ac 于 e ， pf bn 于 f pe = pfq pd = pe ， pe = pf pd = pfq pd = pf ，且 pd bm 于 d ， pf bn 于 f bp 為mbn 的平分線。解題后的思考：題目已

15、知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時， 常過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。例 6. 思路分析：要證明“ ac = 2 ae ”，不妨構(gòu)造出一條等于2 ae 的線段，然后證其等于 ac 。因此，延長 ae 至 f ，使 ef = ae 。解答過程：延長 ae 至點 f ，使 ef = ae ，連接 df在dabe 與dfde 中 ae = feq aeb = fedbe = de dabe dfde (sas) b = edfq adf = adb + edf ， adc = bad + b又q adb = bad adf = adcq ab

16、 = df ， ab = cd df = dc在dadf 與dadc 中 ad = adq adf = adcdf = dc dadf dadc (sas) af = ac又q af = 2 ae ac = 2 ae 。解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例 7. 思路分析：欲證 ab - ac pb - pc ，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來證明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段ab - ac 。而構(gòu)造 ab - ac 可以采用“截長”和“補短”兩種方法。解答過程：法一：在 ab 上截取

17、an = ac ，連接 pn在dapn 與dapc 中 an = acq 1 = 2 ap = ap dapn dapc (sas) pn = pcq在dbpn 中， pb - pn bn pb - pc pbpc。法二：延長 ac 至m ，使 am = ab ，連接 pm在dabp 與damp 中 ab = amq 1 = 2 ap = ap dabp damp (sas) pb = pmq在dpcm 中， cm pm - pc ab - ac pb - pc 。解題后的思考：當已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再

18、設(shè)法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學習的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習的答案一、選擇題：1. a2. c3. b4. c5. c二、填空題：6. 47.70o8. 90o9. 1010. 6三、解答題：11. 解：q dabc 為等邊三角形 ab = bc ， abc = c = 60o在dabm 與dbcn 中 ab = bcq abc = cbm = cn dabm dbcn (sas) nbc = bam aqn = abq + bam = abq + nbc = 60o 。12. 證明：q ae cd ， bf cd f = aec = 90o ace + cae = 90oq acb = 90o ace + bcf = 90o cae = bcf在dace 與dcbf 中f = aecq cae = bcf ac = bc dace dcbf (aas) bf = ce ?！啊薄啊盿t the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who