進(jìn)制的應(yīng)用.教師版

1、5-8-2.進(jìn)制的應(yīng)用則Util匸教學(xué)目標(biāo)1. 了解進(jìn)制；2. 會對進(jìn)制進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換;3. 能夠運(yùn)用進(jìn)制進(jìn)行解題、數(shù)的進(jìn)制1十進(jìn)制.我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是逢十進(jìn)一 ”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。2二進(jìn)制.在計算機(jī)中，所采用的計數(shù)法是二進(jìn)制，即逢二進(jìn)一 ”。因此，二進(jìn)制中只用兩個數(shù)字0和1。二進(jìn)制的計數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：543210(100110)2=1 X2 +0 X2 +0 X2 +1 X2 +1 2+0 X2。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：

2、滿二進(jìn)一 ”、借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得注意：對于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。3. k進(jìn)制：一般地，對于k進(jìn)位制，每個數(shù)是由0, 1, 2,，(k _1)共k個數(shù)碼組成，且 逢k進(jìn)一”.k( k1) 進(jìn)位制計數(shù)單位是k0 ,k1, k2 ,.如二進(jìn)位制的計數(shù)單位是20, 21,22,，八進(jìn)位制的計數(shù)單位是 881824. k進(jìn)位制數(shù)可以寫成不同計數(shù)單位的數(shù)之和的形式(anan(ia1a0)k=an k an 1 k 111 a1 k a0十進(jìn)制表示形式：N =an10n an410n Ja0100;二進(jìn)制表示形式：N =an2n an 42n ao20 ;為

3、了區(qū)別各進(jìn)位制中的數(shù)，在給出數(shù)的右下方寫上k ,表示是k進(jìn)位制的數(shù)女口： (352)8 , (1010)2 , (3145)2,分別表示八進(jìn)位制，二進(jìn)位制，十二進(jìn)位制中的數(shù).5. k進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣先乘除，后加減；同級運(yùn)算，先左后右；有括號時先計算括號內(nèi)的。、進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：一般地，十進(jìn)制整數(shù)化為 k進(jìn)制數(shù)的方法是：除以 k取余數(shù)，一直除到被除數(shù)小于 k為止，余數(shù)由下到上 按從左到右順序排列即為 k進(jìn)制數(shù)反過來，k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的一般方法是：首先將 k進(jìn)制數(shù)按k 的次幕形式展開，然后按十進(jìn)制數(shù)相加即可得結(jié)果.如右圖所示：十進(jìn)制六進(jìn)制魚1雌 例題精講模塊一、進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【例

4、1】 有個吝嗇的老財主，總是不想付錢給長工。這一次，拖了一個月的工錢，還是不想付?？墒遣桓队终f不過去，便故作大方地拿出一條金鏈，共有7環(huán)。對長工說：我不是要拖欠工資，只是想連這一個月加上再做半年的工資，都以這根金鏈來付?！彼虺泽@的長工，心中很是得意，本人說話，從不食言，可以請大老爺作證?！贝罄蠣斂墒钦f一不二的人，誰請他作證，他當(dāng)作一種榮耀，總是分文不取，并會以命相拼也要兌現(xiàn)的。這越發(fā)讓長工不敢相信，要知道，這在以往，這樣的金鏈中的 一環(huán)三個月的工錢也不止。老財主越發(fā)得意，終于拿出殺手锏：不過，我請大老爺作證的時候，提到一項(xiàng)附加條件，就是這樣的金鏈實(shí)在不能都把它斷開，請你只能打開一環(huán)，以后按

5、月來取才行！”當(dāng)長工明白了老財主的要求后，不僅不為難，反倒爽快地答應(yīng)了，而且，從第一個月到第七個月， 順利地拿到了這條金鏈，你知道怎么斷開這條金鏈嗎？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】斷開第三環(huán)，從而得到1, 2，4環(huán)的三段，第一個月拿走一環(huán)，第二個月以一換二，第三個月取一環(huán)，第四個月以三換四，第五個月再取一環(huán)，第六個月以一換二，第七個月再取一環(huán)?！敬鸢浮?，2，4【鞏固】現(xiàn)有1克，2克，4克，8克，16克的砝碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物體？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】因?yàn)轫来a的克數(shù)恰好是 1，2, 4，8,16,而二進(jìn)位制數(shù)從

6、右往左數(shù)各位數(shù)字分別表示：1, 2, 22=4,23=8 , 24=16，在砝碼盤上放1克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第一位(從右數(shù))是1,放2克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第二位是 1, ，放16克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第五位是1,不放砝碼就認(rèn)為相應(yīng)位數(shù)是零，這樣所表示的數(shù)中最小的是1，最大的是(11111)2=24+23+ 22 + 21 + 20=(31)10，這就是說1至31的每個整數(shù)(克)均能稱出。所以共可以稱出31種不同重量的物體。【答案】31【例2】 茶葉店老板要求員工提高服務(wù)質(zhì)量，開展零等待”活動，當(dāng)顧客要買茶葉的時候，看誰最快滿足顧客的需要則為優(yōu)秀。結(jié)果有一個員工總是第一名，而且顧客到他那兒不

7、需要等待。原來他把 茶葉先稱出若干包來，放在柜臺上，顧客告訴他重量，他就拿出相應(yīng)重量的茶葉。別的伙計看在眼 里，立即學(xué)習(xí)，可是柜臺上卻放不下許多包。奇怪的是，最佳員工的柜臺上的茶葉包裹卻不是很多。 于是有員工去取經(jīng)，發(fā)現(xiàn)最佳員工準(zhǔn)備的茶葉數(shù)量是：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256。你能解釋一下其中的道理么 ？這些重量可以應(yīng)付的顧客需要的最高重量是多少？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】由于 1 =(1)2,2 =(10)2 ,4 =(100)2 8= (1000)2 ,16= (10000，32= (10000)1 卜觀察一下你會

8、發(fā)現(xiàn)最佳員 工：所取的數(shù)字與二進(jìn)制中的(1)2,(10)2,(100)2,(1000)2,(10000)2,(100000)111對應(yīng)，而我們所要的3,5, 6, 7, 9,等等數(shù)字都可以用這些二進(jìn)制相加得來，老師可以在黑板上給學(xué)生列豎式演示此道理，說明取 1，2，4，8，16，32, 64, 128，256 的道理?！眷柟獭咳绻豢紤]100克以內(nèi)的重量，至少需要多少包？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星 【題型】解答【解析】至少需要1，2，4，8，16，32，64（7包）【答案】至少需要 1，2，4，8，16，32，64（7包）【鞏固】如果只許在天平的一邊放砝碼，要稱量100g以內(nèi)的各種

9、整數(shù)克數(shù)，至少需要多少個砝碼?【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】至少需要：1，2，4，8，16，32，64這七種重量的砝碼即可?！敬鸢浮恐辽傩枰?，2，4，8，16，32，64這七種重量的砝碼即可【鞏固】古代英國的一位商人有一個 15磅的砝碼，由于跌落在地碎成4塊，后來，稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這 4塊來稱從1至15磅之間的任意整數(shù)磅的重物（砝碼只能放在天平的一邊）。那么這4塊砝碼碎片各重 ，【考點(diǎn)】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第15題【解析】因?yàn)槎M(jìn)制數(shù)可以表達(dá)所有的自然數(shù)，而且表達(dá)形式是唯一的，例如：9=1+8，3仁1+2

10、+4+8+16所以只要準(zhǔn)備質(zhì)量為 1,2,4,8的二進(jìn)制數(shù)砝碼即可?！敬鸢浮?,2,4,8【例3】 有10箱鋼珠，每個鋼珠重 10克，每箱600個.如果這10箱鋼珠中有1箱次品，次品鋼珠每個重 9 克，那么，要找出這箱次品最少要稱幾次？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】解決這個問題有一個巧妙的方法將10箱鋼珠分別編為110號，然后從1號箱中取1個鋼珠，從2號箱中取 2個鋼珠，這樣共取了 123 45 678 910=55 （個）鋼珠，重量是：55 10=550 （克），如果輕了 n（1韋 1C克，那么第幾號箱就是次品在這個方法中，第 10號箱也可 不取，這樣共

11、取出 45個鋼珠，如果重450克，那么10號箱是次品；否則，輕幾克幾號箱就是次品.總結(jié)：不同的進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，即：每個十進(jìn)制數(shù)都能表示成一個相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)， 反之，也是?！纠?】 小馬虎將一些零件裝箱，每個零件10g，裝了 10箱，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，混進(jìn)了幾箱次品進(jìn)去，每個次品零件9克，但從外觀上看不出來，聰明的你能只稱量一次就能把所有的次品零件都找出來么？【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】4星 【題型】解答【解析】略【答案】解決這個問題有一個巧妙的方法將10箱鋼珠分別編為110號，然后從1號箱中取1個鋼珠，從2號箱中取2個鋼珠，從3號箱中取4個鋼珠，從4號箱中取8個鋼珠從10號箱中取51

12、2個鋼珠， 共取出1+2+4+8+- +512=1023 個鋼珠，將這些鋼珠放到天平上稱，本來應(yīng)重10230克，如果輕了n（1 wnw 10克，就看n是由1，2，4，8，16，512中的那些數(shù)字組成，則數(shù)字對應(yīng)的那些號箱就是次品在這個方法中，第 10號箱也可不取，這樣共取出511個鋼珠，如果重 500克，那么1，2，4號箱是次品?！纠?】 計算機(jī)存儲容量的基本單位是字節(jié)，用B表示，一般用KB、MB、GB作為存儲容量的單位，它們之間的關(guān)系是1KB= 210 B, 1MB = 210 KB, 1GB= 210 MB。小明新買了一個 MP3播放器，存儲容量為 256MB，它相當(dāng)于 B。【考點(diǎn)】進(jìn)制在

13、生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】256MB =256X 210 = 218 KB= 228 B【答案】228 B【例6】 向電腦輸入漢字，每個頁面最多可輸入1677個五號字?，F(xiàn)在頁面中有 1個五號字，將它復(fù)制后粘貼到該頁面，就得到 2個字；再將這2個字復(fù)制后粘貼到該頁面，就得到4個字。每次復(fù)制和粘貼為1次操作，要使整個頁面都排滿五號字，至少需要操作 次。【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，復(fù)賽，第7題，4分【解析】2的10次方為1024, 2的11次方為2048,所以需要操作11次?！敬鸢浮?1次【例7】 成語

14、 愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困難。假設(shè)愚公家門口的大山有80萬噸重，愚公有兩個兒子，他的兩個兒子又分別有兩個兒子，依此類推。愚公和它的子孫每人一生能搬運(yùn)100噸石頭。如果愚公是第1代，那么到了第 代，這座大山可以搬完。（已知10個2連乘之積等于1024）【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】設(shè)到了第n代，這座大山可以搬完20+21+22+2n-1 800000 - 1002n-1 8000 2n 800112132 =4096, 2 =8192答：到了第13代，這座大山可以搬完。【答案】13代【例8】12345678901234567890

15、12345678901234567890,共10000個數(shù)字。第一輪去掉在奇數(shù)位置（從左數(shù)起）上的數(shù)字，剩下5000個數(shù)字；第二輪再去掉這 5000個數(shù)字中奇數(shù)位置上的數(shù)字，剩下2500個；第三輪，；直到只剩下一個數(shù)字。最后剩下的數(shù)字是，這時已經(jīng)操作了 輪?！究键c(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽， 12題【解析】 最后剩下的數(shù)是接近 10000的2n。已知213=8192, 8192亠10 =819. 2，第二個數(shù)正好就是 2。另外， 根據(jù)操作規(guī)律，每 2n個數(shù)，操作n次剩下最后一個數(shù)，所以，操作13次?！敬鸢浮?，操作13次【例9】10個砝碼，每個砝

16、碼重量都是整數(shù)克，無論怎樣放都不能使天平平衡，這堆砝碼總重量最少為【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第7題【解析】由于無論怎樣放都不能使天平平衡，首先可以知道這10個砝碼的重量各不相同。最輕的那個砝碼至少為1克，次輕的至少為 2克，由于1+2=3，接下來的至少為 4克，由此想到我們熟悉的2的次幕，當(dāng)10個砝碼的重量分別為 1克，2克，4克，8克，16克，512克時滿足題意，所 以這堆砝碼的總重量至少為 1 +2 +4 +8 +川+512 =1023克?！敬鸢浮?023克【例10】將6個燈泡排成一行，用 O和表示燈亮和燈不亮，下圖是這一行燈的五種情

17、況，分別表示五個 數(shù)字：1, 2, 3, 4, 5。那么OOO表示的數(shù)是 。O12345【考點(diǎn)】進(jìn)制在生活中的運(yùn)用【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第16題，5分【解析】從圖中數(shù)字1、2、4的表示可知：自右向左第一個燈亮表示1,第二個燈亮表示2，第三個燈亮表示4，第四個燈亮表示 8，第五個燈亮表示 16，第六個燈亮表示 32。因此問題當(dāng)中的表示 16+8+2=26。【答案】26模塊二、巧求余數(shù)問題【例11】已知正整數(shù)N的八進(jìn)制表示為 N =(12345654321)8，那么在十進(jìn)制下，N除以7的余數(shù)與N除以9的余數(shù)之和是多少？【考點(diǎn)】巧求余數(shù)問題【難度】3星【題型】解答

18、【關(guān)鍵詞】2009年，清華附中，入學(xué)測試題【解析】與十進(jìn)制相類似，有：(12345654321)8 =(111111)82 .根據(jù)8進(jìn)制的棄7法，(111111)8被7除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和，為6,而62 =36除以7的余數(shù)為1,所以(111111)8的平方被7除余1,即(12345654321)8除以7的余數(shù)為1;另外，9 =(11)，顯然(111111)8能被(11)8整除，所以其平方也能被(11)8整除，即(12345654321)8除以9的余數(shù)為0.因此兩個余數(shù)之和為10 =1 .【答案】1【鞏固】在8進(jìn)制中，一個多位數(shù)的數(shù)字和為十進(jìn)制中的68,求除以7的余數(shù)為多少？【考點(diǎn)】巧求余

19、數(shù)問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】人大附中，分班考試【解析】類似于十進(jìn)制中的 棄九法”8進(jìn)制中也有 棄7法”也就是說8進(jìn)制中一個數(shù)除以7的余數(shù)等于這個數(shù)的各位數(shù)字之和除以7的余數(shù).本題中，這個數(shù)的各位數(shù)字之和在十進(jìn)制中為 68，而68除以7的余數(shù)為5,所以這個數(shù)除以 7的余 數(shù)也為5.【答案】5【例12】試求22006 -1 2除以992的余數(shù)是多少?【考點(diǎn)】巧求余數(shù)問題【難度】4星【題型】解答【解析】我們通過左式的短除法，或者直接運(yùn)用通過2次幕來表達(dá)為2進(jìn)制：(992 10 =(1111100000 2 , (22006 q =|申山1 J 我們知道在 2 進(jìn)制中 口!pogOM 一定

20、能被10 (2006個1 2( 5個 1 5個或以上 0 y2f 、 f)(1111100000)2 整除，所以1 =U4一W0QM+111111 丨,因?yàn)?111一13屮：能被2006 個 1 丿2(2000 個 1 6 個 0丿2(2000 個 1 6 個 0 (1111100000)2整除，所以余數(shù)為1 1 1 1 1 1 2 =25 24 23 22 21 20=63，所以原式的余數(shù)為 63?！敬鸢浮?3【例13】計算(22003 -1)除以7的余數(shù).【考點(diǎn)】巧求余數(shù)問題【難度】4星【題型】解答【解析】由于23 =8除以7余1,而20033 =667山2，所以22003 -1除以7的余

21、數(shù)為22 -1 =3 .專業(yè)文檔本題也可以轉(zhuǎn)化為2 進(jìn)制進(jìn)行計算：22003 _1 =（111 屮1）2 , 7 =（111）2 ,2003 個 1所以（22003 _1）7 =（111 卿）2 （111）2 -2003個 1而 2003-：-3 =667 2，所以(1113)2 亠(111)2余(11)2=3 .2003個 1所以(22003 -1)除以7的余數(shù)為3.【答案】3 【例14】計算(32003 _1)除以26的余數(shù).【考點(diǎn)】巧求余數(shù)問題【難度】4星【題型】解答【解析】題中有3的次幕，令人聯(lián)想到將題中的數(shù)轉(zhuǎn)化成3進(jìn)制下的數(shù)再進(jìn)行計算.32003 -1 =(1000.l 0)3 -(

22、1)3 =(222 2)3，而 26 =(222,2003個02003個2所以，(32003 1) 26 =(2222)3(222) 3 .2003個 2由于(222)3 整除(222)3 , 20033=667川2，所以(2222)(222)3 余(22)8 .2003個 2所以(32003 -1)除以26的余數(shù)為8.【答案】8模塊三、進(jìn)制與位值的綜合運(yùn)用【例15】在美洲的一個小鎮(zhèn)中，對于200以下的數(shù)字讀法都是采取20進(jìn)制的。如果十進(jìn)制中的147在20進(jìn)制中的讀音是Seythha seythugenS,而十進(jìn)制中的 49在20進(jìn)制中的讀音是 naw ha dew ugens,那么20進(jìn)制中

23、讀音是 dew ha naw ugens的數(shù)指的是十進(jìn)制中的數(shù)【考點(diǎn)】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，1試，第12題【解析】(147)10=(77)20,(49)10=(29)20，所以ha代表十位，ugens代表個位，dew代表9,naw代表2。(92)0= (182)1。，所以答案是 182.【答案】182【例16】一個自然數(shù)，在3進(jìn)制中的數(shù)字和是 2007，它在9進(jìn)制中的數(shù)字和最小是，最大是【考點(diǎn)】進(jìn)制與位值的綜合運(yùn)用【難度】5星【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第9題【解析】最大為2007 X 3=6021，最小為2007.【答案】最小2007 ,最大602

24、1【例17】在6進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？【考點(diǎn)】進(jìn)制與位值的綜合運(yùn)用【難度】5星【題型】解答【解析】 abc =a62 b61c6=36a 6b c ； cba =c92b91a 9=81c 9b a ；所以 36a 6b c =81c 9b a ;于是 35a =80c 3b ;因?yàn)?5a是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù)所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3, 5)=1 .所以，b=0 或 5. 當(dāng) b=0，貝U 35a=80c；則 7a=16c; (7, 16)=1，并且 a、c0,所以 a=16, c=7。但是在 6,9 進(jìn)制，不可以有一個數(shù)字為1

25、6 . 當(dāng) b=5，貝U 35a=3X5+80c；則 7a=3+16c； mod 7 后，3+2c三0 所以 c=2 或者 2+7k(k 為整數(shù)).因 為有6進(jìn)制，所以不可能有 9或者9以上的數(shù)，于是c=2; 35a=15+80X 2, a=5。所以(abc)6 =(552)6 =5 X52+5 X3+2=212。這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為 212?！敬鸢浮?12【例18】在7進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？【考點(diǎn)】進(jìn)制與位值的綜合運(yùn)用【難度】5星【題型】解答【解析】首先還原為十進(jìn)制：2 2(abc)7 = a 7 b 7 c= 49a 7b c ； (cba)9 =c 9 b 9 a = 81c 9b a .于是 49a 7b c =81c 9b a ;得到 48a =80c 2b，即 24a =40c b .因?yàn)?4a是8的倍數(shù)，40c也是8的倍數(shù)，所以b也應(yīng)該是8的倍數(shù)，于是