三角函數(shù)總結(jié)大全(整理好的),推薦文檔

1、三角函數(shù)（一）任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式1. 任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位置oa ，繞著它的端點(diǎn)o 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置ob ，就形成角a。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線oa 叫做角的始邊， ob 叫終邊， 射線的端點(diǎn)o 叫做叫a的頂點(diǎn)。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。2. 象限角、終邊相同的角、區(qū)間角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。

2、要特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限,稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個(gè)角 具有同終邊的所有角，它們彼此相差 2k(kz)，即 |=2k+，kz，根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。a5aa5a區(qū)間角是介于兩個(gè)角之間的所有角，如 | = ，。66663. 弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做 1 弧度角，記作 1 rad ，或 1 弧度，或 1(單位可以省略不寫)。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-，-2 等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是 0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決

3、定。l角a的弧度數(shù)的絕對值是： a=，其中，l 是圓心角所對的弧長， r 是半徑。r角度制與弧度制的換算主要抓住180 = arad ?；《扰c角度互換公式：1rad 180 57.30=5718；a1 a 0.01745（rad）?；￠L公式： l =|a| r （a是圓心角的弧度數(shù)）；扇形面積公式：180s = 1 l r = 1 |a| r 2 。22| x |2 + | y|2x2 + y24 三角函數(shù)的定義:以角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為 x 軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角a的終邊上任取一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn) p(x, y) ，點(diǎn) p 到原點(diǎn)的距離記為 r(r = 0) ，那么8sina= y

4、；rcosa= x ；rtana=； （ cota=；yxxyseca= r ；xcsca= ry頭 頭）頭 頭頭頭頭/wxc/ 頭頭頭頭利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)a是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn) p(x, y) ,那么:asina+cosa+tana+cota+(1) y 叫做a的正弦,記做sina,即sina= y ；（2） x 叫做a的余弦,記做cosa,即cosa= x ； （3） y 叫做a的正切,記做tana,即tana=y (x 0) 。xx5 三角函數(shù)的符號：頭 頭頭 頭頭頭頭頭http:/www.x

5、/wxc/頭頭頭頭頭wx頭ck頭由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，我們y可以得知：正弦值對于第一、二象限為正（ry 0, r 0 ），對于第三、四象限為負(fù)（ y 0 ）；余弦值 x 對于第一、四象限為正（ x 0, r 0 ），對于第二、三象限為負(fù)（rx 0 ）；正切值 y 對于第一、三象限為正（ x, y 同號），對于第二、四象x限為負(fù)（ x, y 異號）說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。6三角函數(shù)線三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式

6、等問題時(shí)，十分方便。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度 1 為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓（注意：這個(gè)單位長度不一定就是 1 厘米或 1 米）。當(dāng)角a為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn) p(x, y) ，過點(diǎn) p 作 pm x 軸交 x 軸于點(diǎn) m ，根據(jù)三角函數(shù)的定義： | mp |=| y |=| sina| ； | om |=| x |=| cosa|。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以o 為始點(diǎn)、 m 為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段om 與 x 軸同向時(shí)， om 的方向?yàn)檎?，且有正?x ；當(dāng)線段om 與 x 軸反向時(shí)， om 的方向?yàn)樨?fù)向，

7、 且有負(fù)值 x ；其中 x 為 p 點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有om = x = cosa同理,當(dāng)角a的終邊不在 x 軸上時(shí),以 m 為始點(diǎn)、 p 為終點(diǎn)，規(guī)定：當(dāng)線段 mp 與 y 軸同向時(shí)， mp 的方向?yàn)檎?，且有正?y ；當(dāng)線段 mp 與 y 軸反向時(shí)， mp 的方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值 y ；其中 y 為 p 點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這樣,無論那種情況都有 mp = y = sina。像 mp、om 這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖,過點(diǎn) a(1, 0) 作單位圓的切線,這條切線必然平行于 y 軸,設(shè)它與a的終邊交于點(diǎn)t ,請根據(jù)正切函數(shù)的定y義與相似三角形的知識,借助有向線段

8、oa、at ,我們有tana= at = x我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段 mp、mat ,分別叫做角a的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6. 同角三角函數(shù)關(guān)系式sin2+cos2=1（平方關(guān)系）；sina =tan（商數(shù)關(guān)系）；tancot=1（倒數(shù)關(guān)系）.cosa使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個(gè)常用關(guān)系式：sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之間可以互相表示)同理可以由 sincos 或 sincos 推出其余兩式。7. 誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。誘導(dǎo)公式一： sin

9、(a+ 2ka)= sina，cos(a+ 2ka)= cosa，其中 k z頭 頭頭 頭頭頭頭頭ya角的終ptom ax頭頭誘導(dǎo)公式二： sin(180o +a) = -sina；cos(180o +a) = - cosa誘導(dǎo)公式三： sin(-a) = -sina；cos(-a) = cosa/wxc/ wxckt頭頭頭1頭26.com誘導(dǎo)公式四： sin(180o -a) = sina； cos(180o -a) = -cosahttp/w頭ww.x頭/wxc/誘導(dǎo)公式五： sin(360o -a) = -

10、sina； cos(360o -a) = cosaaa-aa+a2a-a2ka+a(k z )a-a2sinsinasinasinasinasinacosacoscosacosacosacosacosasina（1） 要化的角的形式為 k 180o a（ k 為常整數(shù)）；（2） 記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；（3） sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kz)；aaaaa（4） sin x + 4 = cos 4 - x = cos x - 4 ； cos x + 4 = sin 4 - x 。（二）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像

11、y=sinx-5pyp3p 7p2- 2 1 o22-4p-7p -3p-2p 2-3p -p 2pp-122p 5p 3p4px2-4py=cosx-3p-7p 2-5p 2-2p-3p 2y- p 1p-p2o p-123p23p2p5p2 7p 24pxyy=tanxyy=cotx- 3p-p - p22o pp 3px22-p- p2o pp3p222px2. 三角函數(shù)的定義域、值域及周期如下表：函數(shù)定義域值域周期y = sin xr-1,12ay = cos xr-1,12ay = tan xx | x ka+ a k z,2ra3. 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y = sin x 的遞增區(qū)

12、間是2ka- a 2ka+ a (k z ) ，遞減區(qū)間是2ka+ a 2ka+ 3a (k z ) ；2 ，2 2 ，2 y = cos x 的遞增區(qū)間是2ka-a，2ka(k z ) ，遞減區(qū)間是2ka，2ka+a(k z ) ;y = tan x 的遞增區(qū)間是 ka- a ka+ a (k z ) ，22 4. 對稱軸與對稱中心：y = sin x 的對稱軸為x = ka+a ，2 對稱中心為(ka,0)k z ； y = cos x 的對稱軸為 x = ka，對稱中心為(ka+2 a , 0) ；對于 y = asin(ax +a) 和 y = a cos(ax +a) 來說，對稱中心

13、與零點(diǎn)相聯(lián)系，對稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。5函數(shù) y = asin(ax +a) + b（其中a 0，a 0）2aa最大值是 a + b ，最小值是 b - a ，周期是t =，頻率是 fa= a ，相位是ax+a，初相是a；其圖象的對2a稱軸是直線ax +a= ka+(k z ) ，凡是該圖象與直線 y = b 的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心。26. 由 ysinx 的圖象變換出 ysin(xa)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。頭 利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無頭 論哪種變形，請切記每一個(gè)變換總頭 頭頭頭頭頭http:/www.xj

14、/wxc/頭 頭頭頭是對字母 x 而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)1先將 ysinx 的圖象向左(a0)或向右(a0平移a個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，a便得 ysin(xa)的圖象。途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。1|a|先將 ysinx 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(0)，再沿x 軸向左(a0)或向右(a0平移個(gè)單位，aa便得 ysin(xa)的圖象。三角函數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù) y = asin(ax +a) + k 的圖象與函數(shù) y = si

15、n x 的圖象之間可以通過變化 a，a ak 來相互轉(zhuǎn)化 a， a影響圖象的形狀， k 影響圖象與 x 軸交點(diǎn)的位置由 a 引起的變換稱振幅變換，由a引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由a引起的變換稱相位變換，由 k 引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移變換方法如下：先平移后伸縮y = sin x的圖象向左( a0) 或向右( a0)平移a單位長度得y = sin(x +a)y = sin(x +a)的圖象 橫坐標(biāo)伸長( 0a1)到原來的縱1 (坐標(biāo)不變 )a得y = sin(ax+a)y = sin(ax +a)縱坐標(biāo)伸長(

16、 a1) 或縮短( 0a0下)(k 1短)(0 a1)=asin x的圖為原來的倍( 橫坐標(biāo)不變)得y象y = asin x 的圖象 橫坐標(biāo)伸長或(0縮a短y = asin(ax)y = asin(ax)的圖象到原來的縱1 (坐標(biāo)不變)aa向左或(a向0右)(a0下)(k c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3） 邊與角關(guān)系：正弦定理asin a=bsin b=csin c= 2r （r 為外接圓半徑）；。余弦定理 c2 = a2+b22bccosc，b2 = a2+c22accosb，a2 = b2+c22bccosa；它們的變形形式有：a = 2r sina，sin

17、a =a ， cos a = b 2 + c 2 - a 25. 三角形中的三角變換sin bb2bc三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1） 角的變換因?yàn)樵赼bc 中，a+b+c=，所以 sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=cosc；tan(a+b)=tanc。sin a + b = cos c , cos a + b = sin c ；2222（2） 三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。r 為三角形內(nèi)切圓半徑，p 為周長之半?！啊薄啊盿t the end, xiao bian gives you a passage.

18、minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest rele