柯西中值定理

1、2柯西中值定理和不等式極限一 柯西中值定理 定理(6.5) 設(shè) 、滿足(i) 在區(qū)間 上連續(xù)，(ii) 在 內(nèi)可導(dǎo)(iii) 不同時(shí)為零;(iv) 則至少存在一點(diǎn) 使得 柯西中值定理的幾何意義 曲線 由參數(shù)方程 給出，除端點(diǎn)外處處有不垂直于 軸的切線，則 上存在一點(diǎn) P處的切線平行于割線 .。 注意曲線 AB在點(diǎn) 處的切線的斜率為 ，而弦 的斜率為 . 受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下：由于， 類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù) 容易驗(yàn)證 滿足羅爾定理的條件且 根據(jù)羅爾定理，至少有一點(diǎn) 使得 ，即 由此得注2：在柯西中值定理中，取 ，則公式（3）可寫成 這正是拉格朗日中值公式，

2、而在拉格朗日中值定理中令 ，則 . 這恰恰是羅爾定理.注3:設(shè) 在區(qū)間 I上連續(xù)，則 在區(qū)間 I上為常數(shù) ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點(diǎn)：由拉格朗日中值定理知：滿足定理?xiàng)l件的曲線上任意兩點(diǎn)的弦，必與兩點(diǎn)間某點(diǎn)的切線平行?？梢杂眠@種幾何解釋進(jìn)行思考解題： 例1：設(shè) 在 （a ，b） 可導(dǎo)，且在 a，b 上嚴(yán)格遞增，若，則對一切有 。證明：記A（），對任意的x，記C（），作弦線AB，BC，應(yīng)用拉格朗日中值定理，使得分別等于AC，BC弦的斜率，但因嚴(yán)格遞增，所以，從而注意到，移項(xiàng)即得， 2、利用其有限增量公式要點(diǎn)：借助于不同的輔助函數(shù)，可由有限增量公式進(jìn)行思

3、考解題：例2：設(shè)上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，試證存在使得證：上式左端作輔助函數(shù)則上式=，=，其中 3、作為函數(shù)的變形要點(diǎn)：若在a，b上連續(xù)，（a，b）內(nèi)可微，則在a，b上 （介于與之間）此可視為函數(shù)的一種變形，它給出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系，我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)。例3 設(shè)在上可導(dǎo)，并設(shè)有實(shí)數(shù)A0，使得在上成立，試證證明 ：在0，上連續(xù)，故存在 使得 =M于是M=A。故 M=0，在0， 上恒為0。用數(shù)學(xué)歸納法，可證在一切（ i=1,2,）上恒有=0, 所以=0, 。利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性 1. 證明中值點(diǎn)的存在性: 例 1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 則 , 使

4、得.證 在Cauchy中值定理中取 .例2設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo), 且有.試證明: .2.證明恒等式: 例3證明: 對, 有 .例4設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)且又 則 .證明 . 例5設(shè)對, 有 , 其中是正常數(shù). 則函數(shù)是常值函數(shù). (證明 ).3.證明不等式: 例6證明不等式: 時(shí), .例7證明不等式: 對，有.4.證明方程根的存在性: 證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根.例8證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根.四 、小結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點(diǎn)是用輔助函數(shù)解決問題的方法。1 拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是羅爾定理，它的

5、推廣是接下來我們要學(xué)習(xí)的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是數(shù)學(xué)分析的重要定理之一。2 構(gòu)造輔助函數(shù)法是應(yīng)用微分中值定理的基本方法。實(shí)際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問題的一種重要手段，通過巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般問題化為特殊問題，將復(fù)雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。關(guān)于如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造和選用輔助函數(shù)問題，請同學(xué)們結(jié)合第三部分的題目仔細(xì)體會總結(jié)。二 不定式的極限 一. 型:定理 6.6 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足：(i) (ii) 在點(diǎn) 的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo)，且；(iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ）則 ( 證 ) 注意: 若

6、將定理中的x 換成 ，只要相應(yīng)地求證條件(ii)中的鄰域，也可以得到同樣的結(jié)論。例1 例2 .例3 . ( 作代換或利用等價(jià)無窮小代換直接計(jì)算. )例4 . ( Hospital法則失效的例 )二.型不定式 極限:定理 6.7 (Hospital法則 ) 若函數(shù) 和滿足：(i) (ii) 在點(diǎn)的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo)，且；(iii) 可為實(shí)數(shù)，也可為 ）則 例5.例6 .註: 關(guān)于當(dāng)時(shí)的階. x=5:0.1:50; y1=log(x);y2=x.(1/2); plot(x,y1,b,x,y2,m) 右圖看出 高于 clf, x=1:0.1:5; y1=exp(x); y2=x.2;plot(x,y1,b,x,y2,m) 右圖看出 高于 注意1 不存在，并不能說明 不存在（為什么？）注意2 不能對任何比式極限都按洛必達(dá)法則來求，首先要注意它是不是不定