二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、二項(xiàng)式定理一、教學(xué)目標(biāo)1知識目標(biāo)：掌握二項(xiàng)式定理及其簡單應(yīng)用 2過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問題，探求問題的能力，邏輯推理 能力以及科學(xué)的思維方式。3情感態(tài)度和價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡潔 美、和諧美和對稱美。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項(xiàng)公式 難點(diǎn)：展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別三、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)問題情境：今天是星期三， 15 天后星期幾， 30 天后星期幾， 8 100天后星期幾呢？ 前面幾個問題全班所有學(xué)生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學(xué)生 試圖用計(jì)算器算，還是覺得很

2、復(fù)雜，學(xué)習(xí)完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日 歷就能知道未來任何一天是星期幾新課講解：問題 1 a b c d 的展開式有多少項(xiàng)？有無同類項(xiàng)可以合并？ 由于這一節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個計(jì)數(shù)原理和排列組合知識之后學(xué)習(xí)的，所以學(xué)生能夠快速 的說出答案。2問題 2 a b a b 的 a b 2 原始展開式有多少項(xiàng)？有幾項(xiàng)是同類項(xiàng)？項(xiàng)是怎樣構(gòu)成 的？有規(guī)律嗎？學(xué)生根據(jù)乘法展開式也很快得出結(jié)論問題 3 a b a b a b 的 a b 3原始展開式有多少項(xiàng)？經(jīng)合并后又只能有幾項(xiàng)？ 是哪幾項(xiàng)？學(xué)生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案問題 4 a b a b a b a b 的 a b 4 的原始展開式有多少

3、項(xiàng)？問題 5 你能準(zhǔn)確快速地寫出 a b 4的原始展開式的 16 項(xiàng)嗎？經(jīng)合并后，又只能有哪幾 項(xiàng)？此時，學(xué)生能說出其中的一兩項(xiàng)，并不能全部回答出來所有的項(xiàng)，思維覺察到麻煩，困難， 易出錯借此“憤悱”之境，有效的實(shí)現(xiàn)思維的烘熱）啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a ,白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣 的取法？各種取法有多少種？在 4 個括號（袋子）中問題6其個數(shù)，為何恰好應(yīng)為該項(xiàng)的系數(shù)？問題7 a b n在合并后的展開式中，an rbr的系數(shù)應(yīng)該是多少？有理由嗎？問題8 那么，該如何將 a b n輕松、清晰地展開？請同學(xué)們歸納猜想學(xué)生們快速地說出a b n C0an Qan1bn Cn

4、2a 2b2Cna kbkCnbn n N*我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴(yán)密性和知識的嚴(yán)謹(jǐn)性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？思路：證明中主要運(yùn)用了計(jì)數(shù)原理！ 展開式中為什么會有那幾種類型的項(xiàng)？a b “是n個a b相乘，展開式中的每一項(xiàng)都是從這n個a b中各任取一個字母相乘得到的，每一項(xiàng)都是 n次的。故每一項(xiàng)都是 an kbk的形式，k 0,1,2, ,n 展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是怎么來的？an kbk是從n個a b中取k個b，和余下n k個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到an kbk，因此，該項(xiàng)的系數(shù)為 Cnk定義：一般地，對于任意正整數(shù) n ,上面的關(guān)系式也成立，即有n一n1.n 一 n2.

5、2,nk.k_ , n*a bC0a Cn1a b Ga bGab Cnb nN注:( 1)公式左邊叫做二項(xiàng)式，右邊叫做a b的二項(xiàng)展開式(2)定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數(shù)或式子什么的，只要是兩項(xiàng)相 加的n次幕，就能用二項(xiàng)式定理展開 例：把b換成b，貝U n a b_nn1.nn 2 2CnaCnab Cna b.“n k. k1 Cna b1 Cnbn n N練習(xí)：令a 1,b x，則An1 xCn0 CnX1 CX2CnkXk_nCn x n*N問題9二項(xiàng)式定理展開式中項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點(diǎn)是什么？哪一項(xiàng)最有代表性 公式特征：(1) 項(xiàng)數(shù)：共有n 1項(xiàng)(2) 指數(shù)規(guī)律： 各

6、項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的系數(shù)n (關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式) 字母a按降幕排列，次數(shù)由n遞減到0;字母b按升幕排列，次數(shù)由0遞增到n(3) 二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)：Tk 1 Cnkan kbk, k 0,1,2, ,n（4）二項(xiàng)式系數(shù)：依次為 Cn0,CnCn2, Gk ,Cn% 這里 Cnk（ k 0,1,2, ,n）稱為二 項(xiàng)式系數(shù)現(xiàn)在同學(xué)們能告訴老師 8100天后星期幾嗎？思考了一會兒，馬上有同學(xué)大聲喊：把8寫成7+1，再進(jìn)行展開，余數(shù)是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成 7+1，這時，所有學(xué)生都明白了，因?yàn)橐粋€星期7天，所以81007 1 100展開式中除了最后一項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都是7的倍

7、數(shù)，因此余數(shù)為Cnn 1,故應(yīng)為星期四。6例1求2嚴(yán)丄的展開式方法一：直接展開1 1 6技巧：將根式先化成幕的形式，再進(jìn)行計(jì)算，要簡單很多。即原式變成2xr x 2方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。變式一：展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？變式二：展開式中的第 3項(xiàng)是多少？變式三：展開式中的第 3項(xiàng)的系數(shù)是多少？變式四：展開式中的第 3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)是多少？注意：二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，二項(xiàng)式系數(shù)就是一個組合數(shù)，與a,b無關(guān)；系數(shù)與a,b有關(guān)。例2（ 1）求（1 2x）7的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)19（2） X 1 的展開式中X3的系數(shù)和中間項(xiàng)X例3 求（x a）

8、12的展開式中的倒數(shù)第 4項(xiàng)小結(jié)：（1 ）注意二項(xiàng)式定理中二項(xiàng)展開式的特征（2）區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)（3 ）掌握用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)及項(xiàng)。作業(yè)：P37 4，5教學(xué)反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設(shè)問題情境，一下子把全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都調(diào)動起來了，當(dāng)大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到8100天后星期幾，從而引出今天的課題：二項(xiàng)式定理。給大家設(shè)置這個懸念后，緊接著又 進(jìn)行一系列的問題教學(xué)，讓學(xué)生自己去探究去回答，最后學(xué)生之間合作交流歸納猜想出二 項(xiàng)式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。1. 知識與技能：（1） 理解二項(xiàng)式定理是代數(shù)乘法公式的推廣 .

9、（2） 理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理 .2. 過程與方法：通過學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括 的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程， 體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴(yán)謹(jǐn)二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析 的展開式，得到二項(xiàng)式定理 難點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式展開成單項(xiàng)式之和時各 項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律 .一、說教材1、地位及作用：二項(xiàng)式定理安排在高中數(shù)學(xué)選修 2-3 第三節(jié),是排列組合內(nèi)容后的一部分內(nèi)容，其形成 過程是

10、組合知識的應(yīng)用，同時也為隨后學(xué)習(xí)的概率知識及概率與統(tǒng)計(jì)，作知識上的鋪墊。二項(xiàng)展開式與多項(xiàng)式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識的學(xué)習(xí)，必然從更廣的視角和更高 的層次來審視初中學(xué)習(xí)的關(guān)于多項(xiàng)式變形的知識。運(yùn)用二項(xiàng)式定理可以解決一些比較典型 的數(shù)學(xué)問題，例如近似計(jì)算、整除問題、不等式的證明等。2、重點(diǎn)難點(diǎn)分析：重點(diǎn)： （1）使學(xué)生參與并深刻體會二項(xiàng)式定理形成過程，掌握二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律。 （2）能夠應(yīng)用二項(xiàng)式定理、對二項(xiàng)式進(jìn)行展開。難點(diǎn)：運(yùn)用多項(xiàng)式乘法以及組合知識推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的過程。A. 知識與技能（1）使學(xué)生參與并探討二項(xiàng)式定理的形成過程，掌握二項(xiàng)式系數(shù)、字母的冪次、 展開式項(xiàng)數(shù)的規(guī)律。（2）能夠應(yīng)用二項(xiàng)式定理對所給出的二項(xiàng)式進(jìn)行正確的展開。B. 過程與方法通過二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察，猜想，歸納的能力。C. 情感態(tài)度與價(jià)值觀（1）通過學(xué)生自主參與和探討二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的興趣 和信心。（2）通過學(xué)生自主參與和探討二項(xiàng)式定理的形成過程，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧對 稱美。三、說教法和學(xué)法1、教法 為了完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生主動探索展開式的由來是關(guān)鍵。本節(jié)課的教法貫 穿啟發(fā)式教學(xué)原則，采用多媒體輔助教學(xué)方法，以 “引導(dǎo)思考 ”為核心，設(shè)計(jì)課件展示，并 引導(dǎo)學(xué)生沿著積極的思維方向，逐步達(dá)到即定的教學(xué)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生