一副三角板擺放、旋轉等問題

1、.一副三角板擺放、旋轉等問題例1.(2004年福建南平）如圖1，將兩塊三角板的直角頂點重合后重疊在一起，如果 1=40，那么 2=_。同樣問題改變設問就是（山西臨汾）中考題：若AOD=145，則BOC= _。例2.(廣東梅州)如圖2,將一副三角板重疊在一起,使直角頂點重合于D點,則AOB+DOC= _。例3.（山東威海）如圖3，將一副三角尺如圖放置，已知AEBC,則AFD的度數是_例4.（2008揚州）一副三角板如圖4所示疊放在一起，則圖中 的度數是_。 觀察 與 1 易得所求問題相同。圖4是2010河南中考題例5.（2007浙江衢州）一副三角板按圖5所示疊放在一起，若固定AOB ，將ACD繞

2、著公共頂點A，按順時針方向旋轉度（0180），當ACD 的一邊與AOB 的某一邊平行時，相應的旋轉角 的值是_。 例6.（2006安徽）取一副三角板圖6（1）拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉一個大小為 的角（045）等到ABC，如圖6（2）所示。試問（1）當 為多少度時，能使得圖6（2）中的ABDC?（2）當旋轉至圖6（3）位置時，此時 又為多少度？圖中你能找出哪幾對相似三角形，并求出其中一對的相似比；（3）連接BD，當045時，探尋DBC+CAC+BDC值的大小變化情況，并給出你的證明。例7.（上海）將兩塊三角板如圖7放置，其中C=EDB=90, A=45,E=3

3、0,AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積。 如圖7,已知AB=14cm,求陰影部分面積（2010吉林）例8.（湖北荊門）將一副三角尺如圖8擺放在一起，連接AD，試求ADB的正切值。例9.(2008徐州)如圖9（1），一副三角板滿足AB=BC,AC=DE， 。操作：將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使DE與AB交于點P，EF與BC交于點Q。探究1：在旋轉過程中，（1）如圖9（2），當 =1 時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系，并給出證明。（2）如圖9（3），當=2 時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系，并說明理由。（3）根據你對（1）（2

4、）的探究結果，試寫出當=m時，EP與EQ滿足的數量關系式_，其中m的取值范圍是_.(直接寫出結論，不必證明）探究2：如圖9（3），若AC=30cm,連接PQ，設EPQ的面積為 S(cm2)，在旋轉過程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由。（2）隨著S取不同的值，對應EPQ的個數有哪些變化？求出相應S值的取值范圍。例10.（2007遼寧十二市）如圖10，小穎利用一個銳角是30的三角形測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離BE為5m,AB為1.5m（即小穎的眼睛距地面的距離），那么這課樹的高是_。 例11.（2008甘肅蘭州）如圖11，已知EF是O

5、的直徑，把A 為60的直角三角板ABC的一條直角邊放在直線EF上，斜邊AB與O交于點P，點B與點O重合，將三角板ABC沿OE方向平移，使得點B與點E重合為止，設POF=x，則x的取值范圍是_。例12.（2008遵義）如圖12，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點，一塊三角板的直角頂點與E點重合，將三角板繞點E按順時針方向旋轉，當三角形的兩直角邊與AB、BC分別相交于點M 、N時，觀察或測量BM與CN的長度，你能得到什么結論？并證明你的結論。例13.（2007河北）在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延長線于點G，一等腰直角三角尺按如圖13（1）所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為

6、F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊也恰好經過點B。（1）在圖13(1)中請你通過觀察，測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后證明你的猜想；（2）當三角尺沿AC方向平移到圖13（2）所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DEBA于點E。此時請你再通過觀察測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；（3）當三角尺在圖13（2）的基礎上沿AC方向平移到圖13（3）所示位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合)時，圖13（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）例14

7、.（吉林長春）用兩塊相同的含30角的三角尺如圖14放置，若AD=6 ，求三角尺各邊的長。 例15.（山東棗莊）如圖15，兩個全等的含30、60的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD中點M，連接ME,MC。試判斷EMC 的形狀，并說明理由。例16.（2008湖北荊門）將兩塊全等的含30角的三角尺如圖16（1）擺放在一起，它們的較短直角邊為3。（1）將ECD沿直線l向左平移到圖16（2）的位置，使E點落在AB上，則CC= _;（2）將ECD繞點C逆時針旋轉到圖16（3）的位置，使點E落在AB上，則ECD 繞點C旋轉的度數為_;（3）將ECD沿直線AC翻折到

8、圖16（4）的位置，ED與AB相交于點F，求證：AF=FD例17.（2006湖南常德）把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中ABC=DEF=90，C=F=45，AB=DE=4。把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交與點Q。（1）如圖17（1），當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證APDCDQ。此時，APCQ=_。（2）將三角板DEF由圖17（1）所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為，其中090，問APCQ的值是否改變？說明你的理由。（3）在（2）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y ,求y與x的函數關系式。例18.（2008山東威海）（1）把兩個含有45角的直角三角板如圖18（1）放置，點D在BC上，連結BE，AD，AD的延長線交BE于點F。求證:AFBE。（2）把兩個含有30角的直角三角板如圖18（2）放置，點D在BC上，連結BE,AD,AD的延長線交BE于點F。問AF與BE是否垂直？并說明理