振動(dòng)力學(xué)(兩自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng))ppt課件

1、第3章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),主講：沈火明,單自由度系統(tǒng)振動(dòng)問題，在我們所討論的范圍內(nèi)是線性定常方程。而多自由度系統(tǒng)則是二階多元聯(lián)立微分方程組，各廣義坐標(biāo)間存在相互“耦合”現(xiàn)象。 所謂耦合，就是變量之間互相聯(lián)系。由于這種耦合，使微分方程的求解變得非常困難。因此，分析多自由度系統(tǒng)振動(dòng)問題的重要內(nèi)容之一就是如何將方程“解耦”，然后按單自由度的分析方法求解。 兩自由度是多自由度系統(tǒng)最簡(jiǎn)單的情況,建立運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和單自由度系統(tǒng)基本一樣, 但難度更大,3.1.1 運(yùn)動(dòng)微分方程,3.1 兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,標(biāo)準(zhǔn)的m-k-c系統(tǒng)，對(duì)每一質(zhì)量利用牛頓定律得,坐標(biāo)原點(diǎn)仍取在靜平衡位置,

2、寫成矩陣形式,式中,M稱為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，K稱為剛度矩陣，C稱為阻尼矩陣，x為系統(tǒng)的位移列陣，F(xiàn)(t)為外激勵(lì)列陣。 對(duì)于其它形式的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)同樣可得到相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。 由于矩陣M、 K、 C的非對(duì)角線元素不為0，所以振動(dòng)微分方程是互相耦合的非獨(dú)立方程,3.1.2 剛度影響系數(shù)與剛度矩陣,剛度矩陣K中的元素稱為剛度影響系數(shù)，其kij的力學(xué)意義是：僅在j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義位移，系統(tǒng)平衡時(shí)需在i坐標(biāo)處施加的廣義力。 具體求解時(shí)，只假設(shè)j坐標(biāo)處的位移為1，其它各坐標(biāo)的位移均為0,5.2.3 慣性影響系數(shù)與質(zhì)量矩陣,質(zhì)量矩陣M中的元素稱為慣性（質(zhì)量）影響系數(shù)，其mij的力學(xué)意

3、義是：僅在j坐標(biāo)處產(chǎn)生單位廣義加速度，需在i坐標(biāo)處施加的廣義力。 具體求解時(shí)，只假設(shè)j坐標(biāo)處的加速度為1，其它各坐標(biāo)的加速度均為0,例：用剛度影響系數(shù)和慣性影響系數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)m-k-c系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣,柔度影響系數(shù)Rij的力學(xué)意義是：在j坐標(biāo)處作用單位廣義力，引起i坐標(biāo)處的廣義位移。由柔度影響系數(shù)就可以形成系統(tǒng)的柔度矩陣 R。 由材料力學(xué)的位移互等定理可知RijRji，即柔度矩陣是對(duì)稱的,3.2 兩自由度系統(tǒng)的位移方程 柔度矩陣,3.2.1 柔度影響系數(shù)與柔度矩陣,例：用柔度影響系數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)m-k-c系統(tǒng)的柔度矩陣,以柔度矩陣表示的方程為位移方程。 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)m-k-c振動(dòng)系統(tǒng)，質(zhì)量m1和m2上

4、的靜位移可以表示為xst=RF，而系統(tǒng)的動(dòng)位移為,這就是系統(tǒng)振動(dòng)方程的位移形式,3.2.2 位移方程,因?yàn)镽為正定矩陣，于是位移方程又可寫為,與力形式的方程比較知 K=R1，R=K1 即對(duì)于正定系統(tǒng)R和K互為逆矩陣,例3-1】求系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。已知梁的抗彎剛度為EI,解：用影響系數(shù)法。由材料力學(xué)撓度公式,則,而,則方程為,若寫為力方程形式,則方程為,下面用影響系數(shù)法直接求K,設(shè)x1=1,x2=0，則由材料力學(xué)公式有,同理有,求出各個(gè)剛度系數(shù)即組成剛度矩陣K,對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的m-k-c多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，用傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方法建立運(yùn)動(dòng)微分方程比較困難，更適合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程為

5、,用拉格朗日方程建立振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,拉格朗日方程,其中：T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為勢(shì)能，Qi為非有勢(shì)力的廣義力，drk為與非有勢(shì)廣義力Fk對(duì)應(yīng)的廣義虛位移。 實(shí)際計(jì)算廣義力Qi時(shí)，通常假設(shè)與xi對(duì)應(yīng)的廣義虛位移不等于零，其它虛位移都等于零,i1，2,例3-2】用拉格郎日方程推導(dǎo)兩自由度m-k-c系統(tǒng)微振動(dòng)微分方程,解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置,靜平衡位置,則,計(jì)算廣義力，設(shè)m1產(chǎn)生虛位移dx1，而dx20，則,同樣設(shè)m2產(chǎn)生虛位移dx2，而dx10，則,代入拉格朗日方程,得,整理寫成矩陣形式即可,例3-3】用拉格郎日方程建立系統(tǒng)微振動(dòng)微分方程,解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置

6、,而,則,所以,計(jì)算廣義力，設(shè)只有x1處產(chǎn)生虛位移dx1，則,同樣設(shè)x2處產(chǎn)生虛位移dx2，則,代入拉格朗日方程即可,只給出公式，不作嚴(yán)格推導(dǎo)。 1. 質(zhì)量矩陣的形成 系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示為,用能量法確定振動(dòng)系統(tǒng)的M、K、C,記,則,M即為所求的質(zhì)量矩陣，顯然為對(duì)稱陣。 2. 剛度矩陣的形成 勢(shì)能可寫為,K即為所求的剛度矩陣，也是對(duì)稱陣,3. 阻尼矩陣的形成 線性阻尼（黏滯阻尼）的耗能函數(shù)可寫為,C即為所求的阻尼矩陣，也是對(duì)稱陣,例3-4】求M和K,解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置,則,能量法,將余弦函數(shù)用級(jí)數(shù)展開，表示為,則,所以,無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為,3.3.1固有頻率與固有

7、振型,3.3 兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),假設(shè)方程解的形式為,這里：X1、X2為振動(dòng)幅值，w為固有頻率，a 為初相位。代入振動(dòng)方程可得,這是廣義的特征值問題，K-w2M稱為特征矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式為零。若M為對(duì)角陣，K為對(duì)稱陣，則有,上式稱為頻率方程或特征方程。由此可求出w2的兩個(gè)正實(shí)根。且規(guī)定w1 = w2 。 將這兩個(gè)根代入廣義特征值問題(Kw2M) X=0可得到相應(yīng)的振幅比值,式中X(i)表示對(duì)應(yīng)于第i個(gè)固有頻率的振幅(i=1, 2)。由數(shù)學(xué)概念知道，只能求出振幅的比值，而不能確定各振幅大小,和單自由度一樣，由于固有頻率和振幅比ui只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵(lì)

8、和初始條件無關(guān)，這表明它們都是系統(tǒng)的固有屬性。因此把wi稱為系統(tǒng)的固有頻率或主頻率，ui稱為系統(tǒng)的固有振型或主振型。 將振幅寫成矩陣形式,稱為振型向量或模態(tài)向量，組成的矩陣稱為振型矩陣,式中的X1可以取任意值。顯然兩個(gè)主振動(dòng)的疊加也是方程的解，即,3.4 系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng),5.4 兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),由解的形式可看出，系統(tǒng)兩質(zhì)量按相同的頻率和相位角作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為固有振動(dòng)或主振動(dòng)。 每一個(gè)主振動(dòng)稱為一個(gè)模態(tài)，wi和對(duì)應(yīng)的ui組成第i 階模態(tài)參數(shù)。 系統(tǒng)在主振動(dòng)中，各質(zhì)點(diǎn)同時(shí)達(dá)到平衡位置或最大位移，而在整個(gè)振動(dòng)過程中，各質(zhì)點(diǎn)位移的比值將始終保持不變，也就是說，在主振動(dòng)中，系統(tǒng)振

9、動(dòng)的形式保持不變，這就是振型的物理意義,式中的各個(gè)X、a和C均為任意常數(shù)，由初始條件確定,或?qū)憺橄旅娴男问?將初始條件代入可得,設(shè)初始條件為t0時(shí),綜上所述，系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)求解步驟為： （1）建立運(yùn)動(dòng)微分方程，求出質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K; （2）確定固有頻率wi 和振幅比ui ; （3）利用初始條件求響應(yīng),3-5】求系統(tǒng)的頻率方程,解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)和零勢(shì)能位置,則,將余弦函數(shù)表示為,則,所以,T5-26】求系統(tǒng)的固有頻率,解：用牛頓定律,而,解得,則方程為,頻率方程為,即,展開得,頻率方程為,解得,3-5】質(zhì)量為m2的物塊從高h(yuǎn)處自由落下，然后與彈簧質(zhì)量系統(tǒng)一起做自由振動(dòng)，已知

10、m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng),解:（1）用牛頓定律建立方程,2）頻率方程為,解得,3）求振型。利用,則,同理,4）求響應(yīng),初始條件,代入得,解得,響應(yīng)為,在二階振動(dòng)微分方程中，如果質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的各個(gè)元素都不為零，則在兩個(gè)方程中都同時(shí)包含坐標(biāo)x1和x2和它們的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這種情形稱為坐標(biāo)耦合。 把M為對(duì)角陣，K不是對(duì)角陣的情形稱為靜力耦合或彈性耦合（剛性耦合），把K為對(duì)角陣，M不是對(duì)角陣的情形稱為動(dòng)力耦合或慣性耦合,3.5 廣義坐標(biāo)與坐標(biāo)耦合,方程是否耦合與廣義坐標(biāo)的選取有關(guān)。前面分析的標(biāo)準(zhǔn)m-k-c系統(tǒng)就是靜力耦合。 對(duì)于下面的振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)桿的質(zhì)量為m，繞

11、質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC,若取質(zhì)心位移x和轉(zhuǎn)角q為廣義坐標(biāo)，則自由振動(dòng)方程是靜力耦合的,若坐標(biāo)x不取在質(zhì)心,而是選在滿足k1a1k2b2的O點(diǎn)位置，利用平面運(yùn)動(dòng)微分方程可得到,其中e為O點(diǎn)距質(zhì)心的距離，這時(shí)運(yùn)動(dòng)方程是動(dòng)力耦合的,O,C,同樣，若將坐標(biāo)x取在最左端A，利用平面運(yùn)動(dòng)微分方程得到運(yùn)動(dòng)方程為,這里的a和b如原圖所標(biāo)的位置。方程既是靜力耦合又是動(dòng)力耦合,從前面的分析可知，只要廣義坐標(biāo)形式選擇合適，就可以得到?jīng)]有坐標(biāo)耦合的運(yùn)動(dòng)微分方程，這時(shí)的廣義坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)。 主坐標(biāo)下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣除主對(duì)角線元素外，其余元素均為零，各個(gè)運(yùn)動(dòng)方程的坐標(biāo)之間不存在耦合,3.6 主坐標(biāo),其中u是前面得到的振

12、型矩陣,令,將x代入原振動(dòng)方程，化簡(jiǎn)后就可得到解耦的運(yùn)動(dòng)方程（下章證明,顯然上述解耦的方程的解可以用單自由度振動(dòng)的方法獨(dú)立求得,將其代入x=uP即可得到用原始坐標(biāo)x表示的一般解。 主坐標(biāo)的概念在強(qiáng)迫振動(dòng)中具有重要意義,利用主坐標(biāo)解耦的方法求解系統(tǒng)響應(yīng)的基本步驟為： （1）求出原振動(dòng)方程的固有頻率和振幅比，得到振型矩陣u； （2）求出主坐標(biāo)下的響應(yīng),3）利用式x=uP得出原廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)； （4）利用初始條件確定常系數(shù),例3-7】標(biāo)準(zhǔn)m-k-c系統(tǒng)中，設(shè)m1m, m22m, k1k2k, k32k, c=0, 求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。利用坐標(biāo)變換方法求系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)。設(shè)初始條件為,解

13、: （1）求固有頻率和振幅比,得到振型矩陣u,3）利用式x=uP得出,2）主坐標(biāo)下的響應(yīng),4）確定常系數(shù)。將初始條件代入得,聯(lián)立解得,所以,兩自由度振動(dòng)微分方程為,復(fù)數(shù)解法,3.7 兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng),設(shè)干擾力為諧和函數(shù)，并表示為復(fù)數(shù)形式,令方程的解為,其中X1和X2為復(fù)振幅。將上式代入方程得,其中,i, j=1, 2,若為無阻尼系統(tǒng)，則,振幅為,若干擾力為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，則前面分析中相關(guān)的eiw t 變?yōu)閟inw t 或cosw t 即可,即,由此可看出: （1）當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象，即無阻尼振幅將達(dá)到無窮大，所不同的是，兩自由度系統(tǒng)有兩個(gè)共振峰； （2

14、）阻尼的存在使共振振幅減小，在相同的阻尼下，頻率高的共振峰降低的程度比頻率低的大。因此實(shí)際結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)只需要考慮最低幾階模態(tài)的影響,和單自由度的概念類似，可以繪出頻率比與振幅之間隨阻尼比的變化曲線幅頻響應(yīng)曲線,頻率響應(yīng)曲線 共振現(xiàn)象,例3-8】在兩自由度標(biāo)準(zhǔn)m-k系統(tǒng)中，設(shè)m1m2m，k1k2k3k，在第一個(gè)質(zhì)量上作用有干擾力F1(t)=F0coswt，求系統(tǒng)的響應(yīng)。 解,設(shè)解為,代入振動(dòng)方程得,即,解得,因此系統(tǒng)的響應(yīng)為,3-9】圖示系統(tǒng)，xsa sinwt，當(dāng)w為基頻的0.707倍時(shí)，車體W2的振幅為a的多少倍。已知W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，

15、k23.136108 N/m,解: 振動(dòng)方程為,即,代入數(shù)據(jù)，求得固有頻率為 w118.04，w2282.97 機(jī)車振動(dòng)頻率為 w0.707 w1 0.707 18.04 12.76,利用前面的方法求得振幅為,當(dāng)機(jī)器轉(zhuǎn)速在共振區(qū)域附近時(shí)會(huì)引起劇烈的振動(dòng)，由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論知道，可以通過調(diào)整質(zhì)量或彈簧剛度或增加阻尼來使振動(dòng)情況得到緩解。 動(dòng)力吸振器的原理是在原系統(tǒng)上附加一個(gè)新的m-k或m-c系統(tǒng)，使其變成兩自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，利用前面研究的理論，使原振動(dòng)系統(tǒng)的振幅趨于零,動(dòng)力吸振器,m1-k1為原來的基本振動(dòng)系統(tǒng)，m2-k2為附加的吸振系統(tǒng)，這兩個(gè)系統(tǒng)組成了兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)。運(yùn)動(dòng)微分方程為,無

16、阻尼動(dòng)力吸振器,利用前面的方法求得振幅為,引入記號(hào),基本系統(tǒng)的固有頻率,吸振系統(tǒng)的固有頻率,基本系統(tǒng)的靜位移,吸振質(zhì)量與基本質(zhì)量之比,一般動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)成wnwa，引入頻率比r，則振幅可寫為,由此可看出： （1）r1即激振頻率w等于吸振系統(tǒng)固有頻率wa時(shí)，X10，即達(dá)到最佳吸振效果； （2）吸振器設(shè)計(jì)時(shí)一般只要求wawn，因此吸振系統(tǒng)的參數(shù)有廣泛的選擇余地。 通常，實(shí)際的設(shè)計(jì)選擇是要求適當(dāng)限制吸振系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的振幅X2。由X2/xst的式子可知，質(zhì)量比m越大，在r1時(shí)X2越小，因此我們?nèi) 值不能太小,3-9】機(jī)器質(zhì)量m190 kg，減振器質(zhì)量m22.25 kg，機(jī)器上偏心塊質(zhì)量為m0.5 kg，

17、偏心距e1 cm，機(jī)器轉(zhuǎn)速n1800 r/min。求,1）減振器剛度k2多大才能使機(jī)器振幅為0；（2）此時(shí)減振器的振幅為多大；（3）若使減振器的振幅不超過2 mm，應(yīng)如何改變減振器的參數(shù),解: 振動(dòng)方程為,其中,1）利用前面求得的振幅公式,代入數(shù)據(jù),令X10求得: k279943.8 N/m,代入公式求得減震器振幅為,3）設(shè)減震器振幅X2=0.002，同時(shí)設(shè)w1w2 求得k2,2）設(shè) 求得: k13215517.1 N/m,多自由度系統(tǒng)指的是可以用有限個(gè)自由度描述的振動(dòng)系統(tǒng)。一般來說，一個(gè)n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，其廣義位移可以用n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律通?？捎胣個(gè)二階常微分方程來確定。 多自

18、由度振動(dòng)系統(tǒng)的很多概念和研究方法在兩自由度系統(tǒng)中已經(jīng)討論,3.8 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和兩自由度系統(tǒng)一樣，包括一般的動(dòng)力學(xué)方法、影響系數(shù)法（剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù)）、拉格朗日方程和能量方法等,3.8.1 運(yùn)動(dòng)微分方程式,3-10】求系統(tǒng)的微振動(dòng)微分方程,無阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為,3.8.2.1 主振型方程式 特征值和特征向量,3.8.2無阻尼自由振動(dòng)的特征值問題,利用兩自由度系統(tǒng)的分析結(jié)果，假設(shè)方程解的形式為,式中X為振幅向量，w為固有頻率，a 為初相位。代入振動(dòng)方程可得,K-w2M稱為特征矩陣。要使上式有解，必須使其系數(shù)行列式為零,上式稱為頻率方程或特征方

19、程。由此可求出n個(gè)特征根w2,將每個(gè)特征根wi（固有頻率）代入廣義特征值問題(Kw2M)X=0, 可得到相應(yīng)的非零向量X(i), 稱為特征矢量,或稱特征向量、固有振型、固有向量、模態(tài)向量等。顯然,和兩自由度一樣，由上式只能求出振幅的比值，而不能確定各振幅大小。 固有頻率和特征向量只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵(lì)和初始條件無關(guān)，它們都是系統(tǒng)的固有屬性,例3-10中：設(shè)m1m31，m22，r1， k1k2k31。求固有頻率和振型,解：代入數(shù)值得,代入|K-w2M|=0得,理論求解很困難，一般通過試算或利用工具軟件，如Excel、MATLAB、Mathematica等,利用Excel計(jì)算固有

20、頻率步驟： (1)定義變量。如在A1格“插入”-“名稱”-“定義”w (2)輸入公式。如在A2格輸入 =w3-5*w2+6*w-1 (3)“工具”-“單變量求解”(只能求第一固有頻率) (4)高階特征值的求解要用 “工具”-“規(guī)劃求解” 固有頻率為,3.8.2.2 振型的基準(zhǔn)化和標(biāo)準(zhǔn)化,1.振型的基準(zhǔn)化 由于固有振型X(i) 只是振幅的比例關(guān)系，各階振型均 有一個(gè)未確定的常數(shù)比例因子。通常假設(shè)振型的某個(gè)元素 為1，則其它元素就可以表示為此元素的倍數(shù)，這種方法或 過程就是振型的基準(zhǔn)化。 一般假設(shè)振型的第一個(gè)元素為1,分別代入(K-w2M)X=0得,2. 振型的標(biāo)準(zhǔn)化 另外一種確定振型各元素?cái)?shù)值的

21、方法是以某個(gè)限制條件來確定振型中的常數(shù)因子。通常規(guī)定 XN(i)滿足條件,滿足這個(gè)限制條件的振型XN(i)稱為標(biāo)準(zhǔn)化（或正規(guī)化、歸一化）的振型,對(duì)方程(Kw2M)XN=0兩邊左乘XN(i)T 可得到,注意：這里的XN(i)均為正規(guī)化后的振型，而不是求解的原始主振型X(i),3. 標(biāo)準(zhǔn)化振型與主振型的關(guān)系 將主振型 X(i)進(jìn)行如下運(yùn)算,Mi稱為廣義質(zhì)量（主質(zhì)量、模態(tài)質(zhì)量）。設(shè)X(i)ci XN(i)，代入上式有,所以,3.8.3 自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求出特征方程的n個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量后，即得到振動(dòng)方程的n個(gè)線性無關(guān)的特解，系統(tǒng)按任意一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng)，稱之為主振動(dòng)，則第i 階主振動(dòng)為

22、,i1,2,n,因而方程的通解應(yīng)是上述特解的線性組合,或?qū)憺?其中常數(shù)ci、ai、Ai、Bi (i1,2,n)由初始條件確定。例如給出t0時(shí)的位移向量x0和速度向量v0 ，則得到含有2n個(gè)方程的方程組,或,3-11】圖示系統(tǒng)中, m1m2m3m, k1k2k3k, 設(shè)初始位移為1, 初始速度為0, 求初始激勵(lì)的自由振動(dòng)響應(yīng),解,則響應(yīng)為,將振型代入并展開,前面的例題已經(jīng)求得,解出各系數(shù)即可,代入初始條件得,由廣義特征值問題(Kw2M)X=0知,3.8.4 主振型的正交性,兩邊分別左乘X(j)T 和X(i)T得到,與第一式相減得,由于K和M都是對(duì)稱陣，上面第二式可寫為,顯然也有,ij,結(jié)論：當(dāng)剛

23、度矩陣K和質(zhì)量矩陣M都是對(duì)稱陣時(shí)，n個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)的固有振型之間關(guān)于K和M都是正交的,所以,ij,這里的Mi和Ki是兩個(gè)實(shí)常數(shù)，分別稱為系統(tǒng)的主質(zhì)量和主剛度（或稱模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度）。 由此可得到,當(dāng)ij 時(shí),變換矩陣即振型矩陣，就是各階振型組成的方陣,變換矩陣,3.8.5 主坐標(biāo),廣義質(zhì)量（主質(zhì)量、模態(tài)質(zhì)量）矩陣Mp和廣義剛度（主剛度、模態(tài)剛度）矩陣Kp：主對(duì)角線元素為相應(yīng)的主質(zhì)量和主剛度，其它元素為零。即,由主質(zhì)量矩陣Mp和主剛度矩陣Kp可得到如下關(guān)系,對(duì)振動(dòng)方程用振型矩陣進(jìn)行變換,用主坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程,代入方程后左乘QT得,或,i1，2，n,這樣原方程就變成了n個(gè)獨(dú)立的(解耦的)固有頻

24、率為wi的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這組廣義坐標(biāo)Z稱為主坐標(biāo),1. 標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣 即由標(biāo)準(zhǔn)振型構(gòu)成的方陣,標(biāo)準(zhǔn)振型（正則振型）為,標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo),則有如下關(guān)系,同理有,由于,還有如下關(guān)系,2. 標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）下的方程 對(duì)振動(dòng)方程用正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換,代入方程得到,i1，2，n,這組廣義坐標(biāo)ZN稱為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)(正則坐標(biāo),設(shè)振動(dòng)方程的初始條件為x0和,3.9 多自由度系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng),對(duì)其進(jìn)行正則坐標(biāo)變換，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）下的初始條件,利用單自由度的響應(yīng)公式可得到初始激勵(lì)下的正則坐標(biāo)響應(yīng),i1，2，n,再變換到廣義坐標(biāo)x下的響應(yīng),上述過程也可以在主坐標(biāo)下進(jìn)行,無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)分析步驟:

25、 （1）建立振動(dòng)方程，確定質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K; （2）求固有頻率和振型; （3）確定標(biāo)準(zhǔn)（正則）振型矩陣; （4）對(duì)初始條件標(biāo)準(zhǔn)（正則）化; （5）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)（正則）坐標(biāo)初始激勵(lì)響應(yīng); （6）計(jì)算廣義坐標(biāo)初始激勵(lì)響應(yīng),3-12】m1m2m3m，k1k2k3k,設(shè)初始位移為1，初始速度為0，用標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)變換方法求初始激勵(lì)下的自由振動(dòng)響應(yīng),解： （1,2,3）求正則振型矩陣,4）對(duì)初始條件正則化,5）正則坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng),6）廣義坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng),3.10 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng),求解強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的方法是振型迭加法或稱模態(tài)分析方法，其基本思想是：利用振型矩陣，把描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)變換到模

26、態(tài)坐標(biāo)（主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)），把運(yùn)動(dòng)方程變換成n個(gè)獨(dú)立的方程，求得系統(tǒng)在每個(gè)模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)，然后再得到系統(tǒng)在一般廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)。這種坐標(biāo)變換過程，實(shí)際上是將振型進(jìn)行組合迭加的過程和方法,對(duì)方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)變換x=QNZN并左乘QNT,利用其正交關(guān)系可得到,i1，2，n,或?qū)憺?n自由度無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為,再考慮前面給出的初始條件的響應(yīng),上述方程已經(jīng)解耦，所以可以利用單自由度的概念和方法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,i1，2，n,再變換到廣義坐標(biāo)x下,上述過程也可以在主坐標(biāo)下進(jìn)行,則標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的總響應(yīng)為,無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)分析步驟: （1）建立振動(dòng)方程，確定質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K; （

27、2）求固有頻率和振型; （3）確定標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣; （4）對(duì)初始條件標(biāo)準(zhǔn)化; （5）對(duì)激勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)化; （6）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)響應(yīng); （7）計(jì)算廣義坐標(biāo)響應(yīng),3-12】彈簧支撐的兩個(gè)剛性均質(zhì)桿，質(zhì)量均為m，在B點(diǎn)用鉸鏈連接, l3 m，若C點(diǎn)下面彈簧支撐點(diǎn)沿y軸方向按諧波函數(shù)yg=dsinwt運(yùn)動(dòng)。選B點(diǎn)的鉛垂位移y和兩桿繞B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),代入拉格朗日方程得,解： （1）用拉格朗日方程,則,2）求固有頻率和振型,求得,w1代入,求得,同理,3）求標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣,同理,5）標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng),利用單自由度系統(tǒng)正弦激勵(lì)下的響應(yīng)得,4）對(duì)激勵(lì)標(biāo)準(zhǔn)化,同理,6）廣義坐標(biāo)下的響應(yīng),這里,展開代

28、入數(shù)據(jù)即可,3.11 有黏滯阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng),n自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為,其中的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K和阻尼矩陣C通常為實(shí)對(duì)稱矩陣。 阻尼矩陣通過上節(jié)的坐標(biāo)變換一般不能化為對(duì)角陣，即方程不能解耦。因此多自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的求解非常困難,如果阻尼矩陣C是質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，則稱之為比例阻尼,其中a和b為常數(shù)。則對(duì)阻尼矩陣進(jìn)行正則變換后得,這樣，對(duì)振動(dòng)方程進(jìn)行正則變換后得到,i1，2，n） 由于方程已經(jīng)解耦，則可直接利用單自由度的理論求解正則坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,i1，2，n,其中,廣義坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,3.12 固有頻率相等或?yàn)榱愕那闆r,振動(dòng)系統(tǒng)的廣義特征值問題為,固有頻率相等的情況,這里HK-w2M為特征矩陣。由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性或